高考数学一轮复习作业本3.6 解三角形的综合应用（含答案）

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2020高考数学(理数)复习作业本3.6 解三角形的综合应用一         、选择题1.两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为(　　)                                          A. akm         B.2akm         C. akm                       D. akm 2.如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海上巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是(　　)A．5(＋)km                 B．5(－)kmC．10(－)km                D．10(＋)km 3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)A．10海里           B．10海里       C．20海里           D．20海里 4.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　　)A．①②　        B．②③            C．①③          D．①②③ 5.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)A．50 m            B．100 m           C．120 m           D．150 m 6.两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为(　　)A.akm                         B.2akm                         C.akm                         D.akm 7.某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是、、，则此人将(　　)A．不能作出满足要求的三角形B．能作出一个锐角三角形C．能作出一个直角三角形D．能作出一个钝角三角形 8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2ccos B=2a＋b，若△ABC的面积为c，则ab的最小值为(　　)A.              B．            C.              D．3 二         、填空题9.如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为________km/h.  10.沿海某四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC=60°，∠BCD=135°，AB=80 n mile，BC=(40＋30)n mile，CD=250 n mile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A出发以50 n mile/h的速度向D直线航行，60 min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ，则sin θ=________． 11.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10， AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，则BC的长为________． 12.已知△ABC中，AB=AC=4，BC=2.点D为AB延长线上一点，BD=2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC=________．   三         、解答题13.在某海域A处正东方向相距80海里的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40海里的C处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB前往B处救援．(1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间；(2)求tan θ的值．             14.某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD=∠CDE=，∠BAE=，DE=3BC=3CD= km.(1)求道路BE的长度；(2)求生活区△ABE面积的最大值．           15.已知函数f(x)=m·n，其中向量m=(sin ωx＋cos ωx，cos ωx)，n=(cos ωx－sin ωx，2sin ωx)，ω＞0，若f(x)的图象上相邻两个对称中心的距离大于等于π.(1)求ω的取值范围；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，当ω最大时，f(A)=1，求△ABC的面积的最大值．                  16.在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)．看台Ⅰ，看台Ⅱ分别是以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE中，CD=10米；三角形水域ABC的面积为400平方米．设∠BAC=θ.(1)当θ=时，求BC的长；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．             
答案解析1.D.                                          2.答案为：C.解析：由题意知∠BAC=60°－30°=30°，∠CBA=30°＋45°=75°，所以∠ACB=180°－30°－75°=75°，故AC=AB，因为AB=40×=20，所以AC=AB=20.在△ABC中，由余弦定理得，BC2=AC2＋AB2－2AC·ABcos∠CAB=400＋400－2×20×20cos30°=400(2－)，故BC===10(－)．  3.答案为：A.解析：画出示意图如图所示，易知，在△ABC中，AB=20海里，∠CAB=30°，∠ABC=40°＋65°=105°，∴∠ACB=45°，根据正弦定理得=，解得BC=10(海里)．4.答案为：D.解析：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．5.答案为：A.解析：作出示意图如图所示，设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A=60°，AC=h，AB=100，在Rt△BCD中，BC=h，根据余弦定理得，(h)2=h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000=0，即(h－50)(h＋100)=0，即h=50，故水柱的高度是50 m.6.D.7.答案为：D.解析：设三角形三边长为a，b，c.根据三角形面积相等得S=a×=c×=b×，∴a=26S，c=10S，b=22S.由大角对大边得26S对应的角最大，∴cos A==－＜0.又A∈(0，π)，∴∠A为钝角，故D正确．  8.答案为：B.解析：由正弦定理及2ccos B=2a＋b，得2sin Ccos B=2sin A＋sin B．因为A＋B＋C=π，所以sin A=sin(B＋C)，则2sin C·cos B=2sin(B＋C)＋sin B，即2sin B·cos C＋sin B=0，又0＜B＜π，所以sin B＞0，则cos C=－.因为0＜C＜π，所以C=，所以sin C=，则△ABC的面积为absin C=ab=c，即c=3ab，结合c2=a2＋b2－2ab·cos C，可得a2＋b2＋ab=9a2b2.∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号，∴2ab＋ab≤9a2b2，即ab≥，故ab的最小值是，故选B.9.答案为：6；解析：在Rt△PAB中，∠APB=60°，PA=，所以AB=3.在Rt△PAC中，∠APC=30°，所以AC=1.在△ACB中， ∠CAB=20°＋40°=60°，所以BC==.则船的航行速度为÷=6(km/h)．10.答案为：；解析：如图，设船行驶至F处时收到指令，为正北方向，为正南方向，则AF=50 n mile，连接AC，CF，过A作AE⊥BC于E，则AE=80sin 60°=40(n mile)，BE=ABcos60°=40(n mile)，CE=BC－BE=30n mile，AC==50n mile，cos∠ACE=，sin ∠ACE=，所以cos ∠ACD=cos(135°－∠ACE)==，所以∠CAD=90°.又AF=50 n mile，AC=50 n mile，所以∠AFC=60°，所以θ=∠CFN=∠AFN－∠AFC=∠MAF－∠AFC=15°，故sin θ=. 11.答案为：8；解析：在△ABD中，设BD=x，则BA2=BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142=x2＋102－2·10x·cos 60°，整理得x2－10x－96=0，解得x1=16，x2=－6(舍去)．在△BCD中，由正弦定理：=，所以BC=·sin 30°=8.   12.答案为：；；解析：由余弦定理得cos∠ABC==，∴cos∠CBD=－，sin∠CBD=，∴S△BDC=BD·BC·sin∠CBD=×2×2×=.又cos∠ABC=cos 2∠BDC=2cos2∠BDC－1=，0＜∠BDC＜，∴cos∠BDC=.13.解：(1)在题图中的△ABC中，AB=80，AC=40，∠BAC=120°，由余弦定理可知：BC2=AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°，即BC2=802＋402－2·80·40·=11 200，故BC=40，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为=小时．(2)在△ABC中，由正弦定理可得=⇒sin∠ACB=sin∠BAC=，显然∠ACB为锐角，故cos∠ACB=，tan∠ACB=，而θ=∠ACB＋30°.故tan θ=tan(∠ACB＋30°)==. 14.解：(1)如图，连接BD，在△BCD中，BD2=BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD=＋－2×cos =，∴BD= km.∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD==，又∠CDE=，∴∠BDE=.∴在Rt△BDE中，BE===(km)．故道路BE的长度为 km.(2)设∠ABE=α，∵∠BAE=，∴∠AEB=－α.在△ABE中，易得====，∴AB=sin，AE=sin α.∴S△ABE=AB·AEsin=sinsin α=≤=(km2)．∵0＜α＜，∴－＜2α－＜.∴当2α－=，即α=时，S△ABE取得最大值，最大值为 km2，故生活区△ABE面积的最大值为 km2. 15.解：(1)由题意知f(x)=m·n=cos2 ωx－sin2 ωx＋sin 2ωx=cos 2ωx＋sin 2ωx=2sin.∵=·=≥π，ω＞0，∴0＜ω≤.(2)由(1)知ωmax=，f(A)=2sin=1，即sin=.又0＜A＜π，∴＜A＋＜，∴A＋=，得A=.又由余弦定理得a2=3=b2＋c2－2bc×≥3bc，即bc≤1.∴S△ABC=bcsin A≤×1×=.∴△ABC的面积的最大值为.16.解：(1)因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB=AC.在△ABC中，S△ABC=AB·AC·sin θ=400，所以AC2=.由余弦定理可得BC2=AB2＋AC2－2AB·AC·cos θ=4AC2－2AC2·cos θ=－2×cos θ=1 600×，即BC=40，θ∈(0，π)．当θ=时，BC=40.(2)设表演台的总造价为W万元．因为CD=10米，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W=0.3CD·BC=120，θ∈(0，π)．记f(θ)=，θ∈(0，π)．则f′(θ)=.由f′(θ)==0(θ∈(0，π))，解得θ=.当θ∈时，f′(θ)<0；当θ∈时，f′(θ)>0.故f(θ)在θ∈上单调递减，在θ∈上单调递增，从而当θ=时，f(θ)取得最小值，最小值为f=1.所以Wmin=120(万元)．所以表演台的最低造价为120万元．