数学人教版9年级上册第21单元精准教学★★★★★题库

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数学人教版9年级上册
第21单元精准教学★★★★★题库
一、单选题
1．已知多项式，多项式．
①若，则代数式的值为；
②当，时，代数式的最小值为；
③当时，若，则关于x的方程有两个实数根；
④当时，若，则x的取值范围是．
以上结论正确的个数是（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．从盛满20升纯消毒液的容器中，倒出x升消毒液后，用水加满，第二次倒出x升混合后的消毒液，再用水加满，此时容器内的消毒液浓度为，则根据题意列出的方程正确的是（    ）
A． B．
C． D．
3．已知，且有及，则的值为（    ）
A． B．2018 C．3 D．
4．已知是方程的两个实数根，则的值为（    ）
A． B． C． D．3
5．一个等腰的底边为4，腰是方程的一个根．则这个等腰三角形的周长可能是（    ）
A．8 B．10 C．8或10 D．9
6．定义新运算：对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如．若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（    ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
7．电影《流浪地球2》于2023年1月22日在中国上映，第一天票房约4亿，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天票房累计约10亿，若把增长率记作x，则方程可以列为（    ）
A． B．
C． D．
8．用配方法解方程，若配方后结果为，则的值为（    ）
A． B．3 C． D．6
9．如图，矩形中，，将矩形沿对角线翻折，点B的对应点为点，交于点E，若，则（    ）

A．2 B．3 C． D．
10．函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
11．如图，A点坐标为，直线与坐标轴交于点B、C，连，如果，则的值为（    ）

A． B． C． D．
12．定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（    ）
①若，，则的值为；
②若为常数，关于的方程与的解相同，则；
③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
13．如图，学校有一块空地，生物组老师带领学生开发出一块长为15米、宽为10米的矩形菜园作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟三条等宽的小道，要使种植面积为88平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（    ）

A． B．
C． D．
14．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（    ）
A．4 B．3 C． D．
15．若整数a使得关于x的不等式组有解，也使得关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的和为（　　）
A． B．9 C．6 D．5
16．某企业 年初投资 万元生产适销对路产品，年底将获得的利润与年初的投资的和作为 年初的投资，到 2年底，两年共获利润 万元．已知 年的年获利率比 年的获利率多 个百分点．如果设 年的获利率是 ，那么下列所列出的方程中正确的是（   ）
A．
B．
C．
D．
17．某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（    ）
A． B．
C． D．
18．关于方程的根的说法错误的是（    ）
A．有两个不相等的实数根 B．两实数根的平方和为
C．两实数根的和为 D．两实数根的积为
19．关于一元二次方程，下列说法：①若方程的两个实根中有且只有一个根为，则；②若，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若是方程的根，则．其中所有正确结论的序号是（    ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
20．如图，正方形的对角线与相交于点O，的角平分线分别交、于M、N两点．若，则线段的长为(   )

A． B． C． D．
21．对于实数a，b，定义新运算，则下列结论正确的有（　　）
①；
②当时， ；
③；
④若，是一元二次方程的两个根，则或﹣17；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（　　）
A． B．
C． D．
23．关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是（　　）
A． B．
C． D．
24．有两个关于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四个结论中，
①如果，那么方程M和方程N有一个公共根为1；
②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；
③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是．其中错误的结论的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
25．关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k
26．用配方法解方程时．变形结果正确的是（    ）
A． B．
C． D．
27．若方程的根是2和3，那么代数式可分解因式为(    )
A．(x-2)(x-3) B．(x+2)(x+3) C．(x+2)(x-3) D．(x-2)(x+3)
28．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降，两年前生产一吨药的成本是6000元，现在生产一吨药的成本是5000元．设生产成本的年平均下降为x，下列所列的方程正确的是（　　）
A．6000（1+x）2＝5000 B．5000（1+x）2＝6000
C．6000（1﹣x）2＝5000 D．5000（1﹣x）2＝6000
29．下列说法正确的是（　　）
①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
30．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．连结，并延长交于点N．若，，则的长为（    ）

A．2 B． C． D．3
二、填空题
31．若实数x，y满足关系式，则的最大值为______．
32．如图所示，中，，点P沿射线AB方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发， ________________ 秒后，的面积为．

33．如图，平面直角坐标系中，点D在直线上，点E为x轴上任意一点，点，若为正三角形时，则点D的坐标为____________．

34．如图所示，在矩形中，，，点P从点A出发沿以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动．

（1）当秒时，线段__．
（2）当__秒时，的面积是24．
35．对于实数m，n，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数x的值为______．
36．如图，四边形ABCD中，，连接AC，，，若，，则AC的长为______．

37．非零实数m，满足，，则______．
38．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则它有一根为﹣1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
其中正确的______．
39．已知a、b为非零常数，，满足，则__________．
40．已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则__________．
三、解答题
41．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟背上有妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．

(1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为______．
(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化，如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为的4倍，且，求的值．
(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中为9个数中的最大数，且满足求P及的值．
42．综合与实践
问题解决：
（1）已知在中，，，四边形是正方形，为所在的直线与的交点；如图，当点在上时，请判断和的关系，并说明理由.

问题探究：
（2）如图，将正方形绕点旋转，当点在直线右侧时，求证：；

问题拓展：
（3）将正方形绕点旋转一周，当时，若，，请直接写出线段的长.
43．已知关于的方程有实数根．
(1)若方程的两根之和为整数，求的值；
(2)若方程的根为有理根，求整数的值．
44．已知方程的两根是、．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于、的倒数的立方．（参考公式：．
45．（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．
（2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出，的值．
②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明．
46．如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动、同时点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．

(1)的面积能否等于？请说明理由．
(2)几秒后，四边形的面积等于？请写出过程．
47．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围．
48．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
(1)若是倍根方程，求的值；
(2)关于x的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图像上，求此倍根方程的表达式．
49．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒．

(1)求线段的长．
(2)连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；
(3)已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为(如图2)，在整个运动过程中，若点恰好落在内部(不含边界)，请直接写出的取值范围．
50．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若，方程的两个实数根分别为（其中），若y是m的函数，且，求这个函数的解析式．
(3)若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根都是整数，a与分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值．
51．如图1，在坐标系中的，点A、B在x轴，点C在y轴，且，，，D是的中点，

(1)求直线的表达式．
(2)如图2，若E、F分别是边的中点，矩形的顶点都在的边上．
①请直接写出下列线段的长度：______，______．
②将矩形沿射线AB向右平移，设矩形移动的距离为m，矩形与重叠部分的面积为S，当时，请直接写出平移距离m的值．
(3)如图3，在矩形平移过程中，当点F在边上时停止平移，再将矩形绕点G按顺时针方向旋转，当点H落在直线上时，此时矩形记作，由向x轴作垂线，垂足为Q，则______．
52．如图，在矩形中，，，点从点出发，每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知点、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，连接，设运动时间为秒．

(1)_________，_________；
(2)当为何值时，；
(3)在运动过程中，是否存在一个时刻，使所得沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(4)当点关于点的对称点落在的内部（不包括边上）时，请直接写出的取值范围．
53．阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．
54．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京胜利召开，在冬奥会期间，北京某校打算组织部分师生利用周日时间到现场观看比赛，经了解在离学校最近的比赛场馆当日共有A、B两场比赛，两场比赛的票价如下图所示，其中x轴表示一次性购票人数，y轴表示每张票的价格，如：一次性购买A场比赛门票10张，票价为400元/张，若一次性购买A场比赛门票80张，则每张票价为200元．

(1)若一次性购买B场比赛门票10张，则每张票价为___________元（直接写出结果）．
(2)若一次性购买A场比赛门票张，需支付门票费用多少元？（用a的代数式表示）
(3)该校共组织120人（每人购买一张门票）分两组分别观看A、B两场比赛，共花费32160元，若观看A场比赛的人数不足50人，则有多少人观看了B场比赛？
55．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．

(1)求梯形ABCD的高和∠A的度数；
(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
56．葡萄不仅味美可口，营养价值很高，而且用途广泛，堪称“果中珍品”，它既可鲜食又可加工成各种产品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．当下正值食用葡萄的好时节，经过市场调研顾客最喜欢“黑珍珠”、“仙粉黛”两个品种，某商店老板看准商机，决定购进这两种葡萄销售，商店原计划在6月购进“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄共200千克，其中“仙粉黛”的质量至少是“黑珍珠”质量的3倍．
（1）那么原计划今年6月至少购进“仙粉黛”多少千克？
（2）今年6月商店按照原计划购进并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄，且“仙粉黛”的质量恰好是原计划的最小值．今年7月商店按照“黑珍珠”与“仙粉黛”的质量比为1∶3购进两种葡萄一共160千克，按照单价4∶3售出，共得销售额1040元．通过7月对市场的观察，商店老板决定增加两种葡萄的进货量，同时降价促销；8月商店购进“黑珍珠”、“仙粉黛”的质量在6月的基础上分别增加了，同时为了尽快全部售出，每千克售价在今年7月份的基础上分别降价（降价幅度不超过50%），最终8月的销售额比7月的销售额增加了535元．求的值．
57．上午8点，某台风中心在A岛正南方向处由南向北匀速移动，同时在A岛正西方向处有一艘补给船向A岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀速驶去，如图所示是台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象．已知台风影响的半径是（包含边界），请结合图象解答下列问题：

（1）台风的速度是_________，补给船在到达A岛前的速度是_________，图中点P的实际意义是_______________；
（2）从几点开始，补给船将受到台风的影响？
（3）设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，出于安全考虑，补给船速度不超过、．求出图中补给船航行时间m的正整数值及此时补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间．
58．返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设学校共买了瓶免洗抑菌洗手液．
（1）当时，每瓶洗手液的价格是______元；当时，每瓶洗手液的价格是______元；当时，每瓶洗衣手液的价格为______元（用含的式子表示）；
（2）若学校一次性购买洗手液共花费1250元，问一共购买了多少瓶洗手液？
59．已知：如图，菱形中，对角线，相交于点O，且，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，直线从点D出发，沿方向匀速运动，速度为，，且与分别交于点E，Q，F；当直线停止运动时，点P也停止运动．连接，设运动时间为．解答下列问题：

（1）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（2）设四边形的面积为，求出y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
60．学校有一块长14米，宽10米的矩形空地，准备将其规划，设计图案如图，阴影应为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区为路面，且四周出口一样宽广且宽度不小于2米，不大于5米，路面造价为每平方米200元，绿化区为每平方米150元，设绿化区的长边长为x米．
（1）用x表示绿化区短边的长为______米，x的取值范围为______．
（2）学校计划投资25000元用于此项工程建设，求绿化区的长边长．


参考答案
1．B
2．B
3．D
4．B
5．B
6．B
7．D
8．B
9．D
10．C
11．C
12．C
13．D
14．A
15．A
16．D
17．C
18．C
19．D
20．A
21．B
22．C
23．B
24．B
25．A
26．A
27．B
28．C
29．B
30．C
31．4
32．或7或
33．或
34． 20 2或3/3或2
35．3
36．4
37．/
38．①②④
39．3
40．2
41．（1）由题意可知，，解得，
故答案为：4；
（2）解：由题意得：中心数，幻和为：，
又∵新三阶幻方的幻和为的4倍，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
即，
∴ ，
∴
（3）∵数中最大的数，
∴， ，，
∴，
∵，
∴，即：，
又∵，
∴
又∵①
∴②
又∵，
∴即
∴，
∴带入②得
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∴，
∴， ．
42．解：（1），；
理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，

∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在线段上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；

（3）分两种情况：①如图，当，，三点共线时，；
同理可证明：，，且，，
∵，
∴，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得或（舍去）；

②如图，当，，三点共线时，，设，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，线段的长为或.

43．（1）解：∵关于的方程有两个根，且为实数根，
∴，且，
根据一元二次方程的根与系数的关系，可知，
若方程的两根之和为整数，即为整数，
∵，
∴是整数，
∴，
当时，，不符合题意；
当时，，，为整数，符合题意；
∴的值为；
（2）当时，此时关于的方程为，解得；
当时，对于关于的方程的根为：，
若方程的根为有理根，且为整数，
则为完全平方数，
设（为正整数），
则：，
∵为整数，
设（为正整数），
∴，
∴或或或，
解得：或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）
∴或；
当时，解得或（舍去）；
当时，解得或，
综上所述，若方程的根为有理根，则整数的值为0或10或或12．
44．（1）解：∵方程的两根是、
∴
∴
∴；
（2）解：由（1）可知：，




，
∴（负值舍去）；
（3）解：由题意可得新一元二次方程的两个根为和
则






所以新的一元二次方程．
45．解：（1）∵是关于的一元二次方程的两实根，
∴，，
∴，
整理，得：，
解得：，．
当时，，
∴此时原方程没有实数根，
∴不符合题意；
当时，，
∴此时原方程有两个不相等的实数根，
∴符合题意，
∴的值为1；
（2）①∵，
∴．
∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，；
②猜想：．
证明：根据一元二次方程根的定义可得出，两边都乘以，得：①，
同理可得：②，
由①+②，得：，
∵，，，
∴，即．
46．（1）解：的面积不能等于，理由如下：
s，s，
运动时间的取值范围为：，
根据题意可得：cm， cm，cm，
假设的面积等于，
则，
整理得：，
，
所列方程没有实数根，
的面积不能等于；
（2）解：由（1）得：cm， cm，cm，运动时间的取值范围为：，
四边形的面积等于，
，
整理得：，
解得，，
当当时，点重合，不符合题意，舍去，
，
答：1s后，四边形的面积等于．
47．（1）解：，
，
∴或，
∴．
∵，，
∴此方程为“限根方程”；
（2）∵方程的两个根分比为，
∴， ．
∵，
∴，
解得：，．
分类讨论：①当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程是“限根方程”，
∴符合题意；
②当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程不是“限根方程”，
∴不符合题意．
综上可知k的值为2；
（3），
，
∴或，
∴或．
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴，即，
∴且．
分类讨论：①当时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②当时，
∴，
∵，
∴，
解得：．
综上所述，m的取值范围为或．
48．（1）整理得：，
∵是倍根方程，
∴，
∴．
（2）∵是倍根方程，
∴，
整理得：．
∵在一次函数的图像上，
∴，
∴，，
∴此方程的表达式为
49．（1）解：∵点的坐标为，点B的坐标是，
∴，
∴;
（2）当时，如图，过点作轴于点，轴于点，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设,
在中，，
在中，，
∴
即
解得：，
∴；
当时，如图，过点作轴于点，轴于点，过点作于点，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，，
在中，，
解得：，
即，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得：，
∴，
当时，如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或或，
（3）如图，当在上时，过点作轴于点，过点作，过点作轴于点，

∵点为的中点，
由（2）可知，，
则，
∵， ，
∴，
∴，
∴,
∴，
∵，
∴，
∵对称，∴，，
∴，
即，
∴，
在中，
∴
解得（舍去）或
当点运动到点，此时重合，此时，解得，
∴当时，点恰好落在内部(不含边界) ．
50．（1）解：由题意可知，
方程有两个实数根；
（2）
解：由（1）可知，方程有两个实数根，
，
，
，
，，
．
．
（3）解：a与分别是关于x的方程的两个根．
，，
与是整数，
与同为整数，
是正整数，
，
方程为，
，
，
将代入
原式

．
51．（1）解：在中，
∵，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
设直线的表达式为．
∴，
∴，
∴直线的表达式为；
（2）解：①∵D是的中点，
∴，
又∵E、F分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
故答案为：2，；
②设矩形移动的距离为m，
当时，如图，

∴．
∴，
依题意得，
∴(负值已舍)；
当时，如图，

此时G、D重合，
∴，
∴，此情况不存在；
∴当重叠部分为多边形时，都不存在；
当时，如图，

∴．
∴，
依题意得，
∴(舍)或；
综上，m的值为或；
（3）解：当点F在边上时，
在中，，
∴，，

设，则，
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
解之得（负值已舍），
∴，
∴．
故答案为：．
52．（1）解：在矩形中，∠B=90°，
∵，
∴AC=2BC，
∵，
∴，
解得：BC=3或-3（舍去），
∴AC=6；
故答案为：3，6
（2）解：根据题意得：，CQ=2t，
∴，
∵，
∴，
解得；
（3）解：存在，
根据题意得：，
①当时，沿折叠，所得四边形为菱形．

由（2）得：；
②当时，沿折叠，所得四边形为菱形．

过点P作PM⊥AC于点M，则，
∵∠BAC=30°，
∴，
∵，
∴，
解得：或-6（舍去）；
③当时，沿折叠，所得四边形为菱形．

过点Q作QM⊥AB于点M，则，
∵∠BAC=30°，
∴，
∵，
∴，
解得：或6（舍去）．
综上所述，t的值为或或；
（4）解：根据题意得：，

如图，以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，点D（0，3），，
过点Q作QN⊥AB于点N，
∵∠BAC=30°，
∴，
∴，
∴点，
∴点，
∵点关于点的对称点落在的内部（不包括边上），
∴，解得：．
53．（1），；
故答案为；；
（2），，且，
、可看作方程，
，，
；
（3）把变形为，
实数和可看作方程的两根，
，，




．
54．（1）解：对于B场门票，当时，票价与购票人数之间的函数关系式为，
∵该直线过点(70，240)，(0，450)，
∴可得 ，解得，
∴，
∴当时，，
∴一次性购买B场比赛门票10张，则每张票价为元，
故答案为：；

（2）解：对于A场门票，当时，票价与购票人数之间的函数关系式为，
∵该直线过点(30，400)，(70，200)，
∴可得 ，解得，
∴，
∴当时，，
∴若一次性购买A场比赛门票张，需支付门票费用元；
（3）解：设观看A场比赛的人数为人，，则观看B场比赛的人数为人，根据题意应分两种情况：
第一种情况：当，
由题意得，
解得，
∴观看了B场比赛的有人；
第二种情况：
当时，由题意得，
解得(不合题意舍去)，
∴观看B场比赛的人数有人，
综上可得，观看A场比赛的人数不足50人，则有人或72人观看了B场比赛．
55．（1）解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图1所示：

∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC，AB∥CD，
∴DE⊥CD，CF⊥CD，
∴∠DEF=∠CFE=∠CDE=90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE=CF，DC=EF=2cm，
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），
∴AE=BF，
∴AE=BF=（AB-EF）=×（8-2）=3（cm），
∵AD=6cm，
∴AE=AD，
∴∠ADE=30°，
∴∠A=60°，
DE=（cm），
∴梯形ABCD的高为cm；
（2）解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图2所示：

同（1）得：四边形CDEF是矩形，
当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，
∵CQ=t，
∴DQ=EP=2-t，
∵AP=AE+EP，
∴2t=3+2-t，
解得：t=；
（3）解：存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，理由如下：
∵S梯形ABCD=（8+2）×3=15（cm2），
当S四边形PBCQ=S梯形ABCD时，
①若点Q在CD上，即0≤t≤2，如图3所示：

则CQ=t，BP=8-2t，
S四边形PBCQ=（t+8-2t）×3=，
解得：t=3（不合题意舍去）；
②若点Q在AD上，即2＜t≤4，
过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H，如图4所示：

则AQ=AD+DC-t=6+2-t=8-t，
在Rt△AGQ中，∠A=60°，
∴∠AQG=90°-60°=30°，
∴AG=AQ，
∴QG=，
同理：QH=DQ=（8-8+t-2）=（t-2），
∵S四边形PBCQ=S梯形ABCD，
∴S△APQ+S△CDQ=S四边形PBCQ，
∴×2t×（8-t）+×2×（t-2）=，
整理得：t2-9t+17=0，
解得：t1=（不合题意舍去），t2=，
综上所述，存在t为s时，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半．
56．解：（1）设原计划今年6月购进“仙粉黛”x千克，则：x≥3（200-x）．
解得：x≥150，
答：原计划今年6月至少购进“仙粉黛”150千克；
（2）由题可得：6月购进“黑珍珠”50千克，“仙粉黛”150千克；7月购进“黑珍珠”40千克，“仙粉黛”120千克．
设7月“黑珍珠”单价为4m，“仙粉黛”单价为3m，则有：40×4m+120×3m=1040，
∴m=2．
则7月“黑珍珠”单价为8元/千克，“仙粉黛”单价为6元/千克．
列方程为：50(1+2a%)×8(1−a%)+150(1+a%)×6(1−a%)=1040+535．
令a%=t，则：80t2-134t+33=0，
∴t1=，t2=．
又∵当t=时，
a%=＞，舍去．
∴t=．
∴a=30．
答：a的值是30．
57．（1）由题分析得，线段DE为台风中心与A岛之间的距离S与时间t的图像，

∴台风的速度,
线段FG是补给船与A岛的距离S与时间t的图像，
∴补给船的速度，
∴点P表示：补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等；
（2）如图所示开始受影响，即BH=100km，

设t小时后补给船开始受台风影响，
则
在中，由勾股定理得，
，

解得，（不合题意，舍去），
∴补给船出发（分钟），开始受台风影响，
∴从8点12分开始补给船开始受台风影响；
（3）由图可得，补给船离开A岛时，台风已经移动了1小时，
台风中心距离A岛的距离为：
，
由图可知，补给船离开A岛驶向C港的路程为120km，时间为，
故补给船离开A岛驶向C港的速度为：(km/h)，
∵补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，
∴
解得，
∵
∴，
由图可知，
去分母得，
解得：，
又∵补给船速度不超过，
∴
由图可知，
去分母得，
解得：
∴
∵m为正整数，
∴
当
即补给船驶出A岛到驶到C港之前受台风影响的时间为，
在补给船出发驶向A岛的过程中，有没有受台风影响，
∴补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间．
58．解：（1）∵80＜100，
∴每瓶洗手液的价格是8元；
当x＝150时，每瓶洗手液的价格是：8﹣1＝7（元），
当时，每瓶洗手液的价格是：（元），
故答案为：8，7，；
（2）①0≤x≤100时，8×100＝800＜1250（舍去）；
②∵最低价格不能低于每瓶5元，
∴，
解得，x≤250，
∴当100＜x≤250时，．
解得，x1＝x2＝250，
答：一共购买了250瓶洗手液．
59．解：（1）四边形为菱形，
，，，
，
由题意可知：，，则，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
当时，四边形为平行四边形，
则，
；
当时，四边形是平行四边形；
（2）过作于，
则，
，
，
，
则；
（3）存在，
，
，
则，
，
解得：，（舍去），
，
符合题意，
当时，．

60．解：（1）路面宽为（14-2x）米，则绿化区短边的长为：[10-（14-2x）]÷2=（x-2）米，
依题意得：2≤14-2x≤5，
解得：≤x≤6；
故答案为：（x-2），≤x≤6．
（2）设绿化区的长边长为x米．
由题意列方程得：150×4x（x-2）+200[14×10-4x（x-2）]=25000，
整理得：x2-2x-15=0，
解得：x1=5，x2=-3（不合题意，舍去）．
答：绿化区的长边长为5米．