福建省宁德市2020-2021学年高二下学期期末数学试题（学生版）

宁德市2020-2021学年度第二学期期末高二质量检测

数学试题

本试卷共6页，22题．考试时间120分钟，满分150分．

注意事项：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；填空题和解答题用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的．

1. 设为虚数单位，复数满足，则

A. 1 B.  C.  D. 2

2. 已知，(    )

A. 1 B.  C.  D. 0

3. 已知，则(    )

A. 1 B.  C. 2 D.

4. 2020年12月4日是第七个“国家宪法日”．某校开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为．用事件表示“甲同学答对第一道题”，事件表示“甲同学答对第二道题”，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在直三棱柱中，，，则直线与直线夹角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险．某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为(    )

附：若随机变量服从正态分布，则，，

A. 31.74% B. 27.18% C. 13.59% D. 4.56%

7. 若直线是函数的一条切线，则函数不可能是(    )

A.  B.

C.  D.

8. 设，若在处取得极小值，则实数的取值范围是(    )

A.  B.

C.  D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．

9. 随机变量取值为0，1，2．若，，则下列结论正确的是( )

A.  B.

C.  D.

10. 直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是(    )

A. 若，则直线平面

B. 若，则直线平面

C. 若，则直线与平面所成角的大小为

D. 若，则平面，所成锐角的大小为

11. 在的展开式中，下列说法正确的有(    )

A. 第3项为 B. 常数项为20

C. 系数最大的项为第4项 D. 二项式系数最大的项为第4项

12. 已知函数，，则下列说法正确的有(    )

A. 是奇函数

B. 是周期函数

C. 区间上，有且只有一个极值点

D. 过作的切线，有且仅有2条

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置，其中第15题，第一空2分，第二空3分．

13. 已知，_________．

14. 6位同学站成一排，要求甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间，则不同排法有______种．(用数字作答)

15. 已知一箱产品中有3件一等品，2件二等品，1件三等品．若从箱中任意取出3件产品检测，则抽出的3件产品中恰好有三等品的概率是_______；若从箱中逐一不放回地抽取产品进行检测，直到第4次才抽出第二件一等品的概率是________．

16. 正六棱锥的侧面积为36，则此六棱锥的体积最大值为________

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知复数，其中，

(1)若是虚数时，求的取值范围；

(2)若复数表示的点在第四象限，求的取值范围．

18. 设函数

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数在区间内单调递减，求取值范围．

19. “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年我省某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：

某机构调查了该地区60位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：

(1)求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与是否线性相关；

(2)请将上述列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；

参考公式：

相关系数；

，其中；

参考数据：，，．

备注：若，则可判断与线性相关．

卡方临界值表：

20. 如图，四边形是直角梯形，∥，，，，平面，为的中点．

(1)求证：直线平面；

(2)若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．

21. 核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下三种方案：

方案一：逐个化验；

方案二：四个样本混合在一起化验；

方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．

在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数期望值越小，则方案越“优”．

(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；

(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？做出判断并说明理由．

22. 已知函数．

(1)讨论函数的单调性，并求的最小值；

(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．