2022-2023学年福建省宁德第一中学高二下学期3月月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年福建省宁德第一中学高二下学期3月月考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省宁德第一中学高二下学期3月月考数学试题 一、单选题1．设函数可导，则等于（    ）A．  B． C．  D． 【答案】A【分析】根据导数的定义，即可求出结果.【详解】．故选:A.2．函数递增区间为A． B． C． D．【答案】A【分析】先求函数的定义域，然后求函数f（x）的导数，令导函数大于0求出x的范围与定义域求交集即可．【详解】∵f（x）＝lnx﹣4x+1定义域是{x|x＞0}∵f'（x）4当f'（x）＞0时，0＜x，所以函数递增区间为，故选A．【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，属于基础题．3．已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由导数的几何意义可求曲线在点处的切线斜率，然后根据直线垂直的条件可求的值．【详解】解：因为，所以，∵点为曲线上一点，∴曲线在点处的切线斜率，由条件知，，∴.故选：D4．已知，，，是空间不共面的四点，且满足，，点为的中点，则是（    ）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能【答案】C【分析】根据题意，结合向量的线性运算与数量积，可得，进而可知为直角三角形.【详解】∵点为的中点，∴，∴，∴，∴为直角三角形.故选：C.5．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导得到导函数，计算，再代入计算得到答案.【详解】，则，，.，.故选：B6．已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为，上的点，，设，则向量用为基底表示为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】通过寻找封闭的三角形，将相关向量一步步用基底表示即可.【详解】.故选：D7．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学､航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中P0为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（    ）A．20天 B．30天 C．45天 D．60天【答案】D【分析】根据题中条件，先求出，再令，代入解析式求解，即可得出结果.【详解】由得，因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为，即，解得，则，当该放射性同位素含量为贝克时，即，所以，即，所以，解得.故选：D.8．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设，由已知得函数在R上单调递增，且，根据函数的单调性建立不等式可得选项.【详解】由题可设，又，则，所以函数在R上单调递增，，将不等式转化为，所以，即，有，故得，所以不等式的解集为，故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的问题关键在于构造函数，并且得出函数的单调性，根据函数的单调性得出不等式，解之得选项. 二、多选题9．下列结论中，正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可【详解】对于A，，所以A错误，对于B， ，所以B正确，对于C，，所以C正确，对于D，，所以D正确，故选：BCD10．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值【答案】ABC【分析】利用导数与函数单调性的关系以及函数在某点取得极值的条件即可判断．【详解】解：由函数导函数的图象可知：当及时，，即在和上单调递减；当及时，，即在和上单调递增．所以的单调减区间为，，单调增区间为，，在，处取得极小值，在处取得极大值，故选：ABC．11．下列说法不正确的是（    ）A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是B．若，，不共线，且，则，，、四点共面C．对同一平面内给定的三个向量，，，一定存在唯一的一对实数，，使得.D．中，若，则一定是钝角三角形.【答案】ACD【分析】对于A，由与的数量积大于0且不共线计算判断；对于B，变形，由空间共面向量定理判断；对于C，由平面向量基本定理判断；对于D，利用平面向量数量积运算判断作答.【详解】对于A，依题意，，且与不同向共线，求得，解得：且，A错误；对于B，由，则，即，于是得共面，且公共起点C，而，，不共线，，，，四点共面，B正确；对于C，同一平面内不共线的非零向量，，，才存在唯一的一对实数，，使得，否则不成立，C错误；对于D，在中，，则，于是得是锐角，不能确定是钝角三角形，D错误.故选：ACD12．在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（    ）A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值B．若平面，则AQ的最小值为C．若的外心为M，则为定值2D．若，则点Q的轨迹长度为【答案】ABD【分析】由题易证得面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，可判断A；取的中点分别为，连接，由面面平行的判定定理可得平面面，因为面，所以平面，当时，AQ有最小值可判断B；由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断C；在上取点，使得，易知点Q的轨迹为圆弧可判断D.【详解】对于A，因为，又因为面， 面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；对于B，取的中点分别为，连接，则易证明：，面，面，所以面，又因为，，面，面，所以面，，所以平面面，面，所以平面当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，所以则AQ的最小值为，故B正确；对于C，若的外心为M，，过作于点，则.故C错误；对于D，过作于点，易知平面，在上取点，使得，则，所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，又因为所以，则圆弧等于，故D正确.故选：ABD. 三、填空题13．在空间直角坐标系中，若点关于y轴的对称点的坐标为，则的值为______．【答案】【分析】根据题意，结合空间点的表示，列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】由空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点 ，可得，解得，所以.故答案为：.14．已知E､F､G､H分别是正方体，边AB，CD，，的中点，则异面直线EH与GF所成角的余弦值为___________.【答案】【分析】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】，，设该正方体的棱长为，显然，于是有，所以，，所以，因此异面直线EH与GF所成角的余弦值为，故答案为：15．已知空间直角坐标系中ΔABC三个顶点坐标分别为:，AD是边BC上的高，则AD的长为__________．【答案】/【分析】根据点在边上，且AD是边BC上的高，可求得的坐标，然后根据空间向量的模长公式，即可得到结果.【详解】因为，则，，因为点在边上，设且由AD是边BC上的高可得，解得所以则故答案为: 16．已知函数，若函数f(x)在处取得极大值，则实数a的取值范围是______.【答案】.【解析】求出函数的导数，讨论a的取值范围，得到函数的单调区间，结合函数的最大值，可得a的取值范围.【详解】解：由，可得，设，，当，，，函数单调递增，当，，，函数单调递增；，，函数单调递减；由f(x)在处取得极大值，可得，当时，单调递增，当，，单调递减；当，，单调递增，所以f(x)在处取得极小值，与题意不符；当时，即，可得：在单调递增，所以当，，当，，即f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)在处取得极小值，与题意不符；当时，即，在单调递增，在单调递减，所以当，，单调递减，与题意不符；当，即可，当，，函数单调递增；当，，函数单调递减，所以f(x)在处取得极大值，符合题意，故答案为：.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的参数及含参函数的极值问题，综合性大，属于难题. 四、解答题17．已知空间三点，，，设，．(1)若，，求；(2)求，夹角的余弦值．【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）根据已知条件，结合向量平行的性质，以及向量模公式，即可求解；（2）根据已知条件，结合空间向量的夹角公式，即可求解．【详解】（1），，则，，可设，，，，解得，或；（2），，，，，．18．已知函数.（1）求的单调区间和极值；（2）若直线是函数图象的一条切线，求的值.【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为；（2）或.【分析】（1）求得函数的导数，分别解不等式、可得出函数的单调递增区间和单调递减区间，并由此可求得该函数的极大值和极小值；（2）令，可求得切点的横坐标，进而可求得切点的坐标，再将切点坐标代入切线方程可求得实数的值.【详解】（1），定义域为，.令，解得或；令，解得.所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，函数的极大值为，极小值为；（2）令，解得或，，，所以，切点坐标为或，则有或，解得或.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间与极值，同时也考查了利用函数的切线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.19．如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4．(1)求点A到平面PCD的距离；(2)线段BP上是否存在点E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由．【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）利用等积法，根据线面垂直，面面垂直的判定及性质结合条件即得；（2）利用坐标法，设，结合条件可得，进而即得.【详解】（1）由题意，，由PB⊥平面ABCD，PB⊂平面PBC，可得平面PBC⊥平面ABCD，而DC⊥BC，且平面平面，平面ABCD，∴DC⊥平面PBC，平面PBC，可得DC⊥PC，∵CD＝3，PC＝，∴，设A到平面PCD的距离为h，则，即h＝，∴点A到平面PCD的距离为；（2）以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D（3，3，0），C（3，0，0），P（0，0，4），设，则，，若DE⊥平面PAC，则，解得，不合题意，故线段BP上不存在点E，使得DE⊥平面PAC．20．如图所示，在四棱锥中，，，，点分别为的中点．（1）证明：面；（2）若，且，面面，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接，交于点，连接，推导出，从而，由此能证明面．（2）取中点，连接，以分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【详解】（1）证明：连接，交于点，连接，∵，∴，∵面，平面，∴面．（2）取中点，连接，由，∵面面，∴面，由，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，为面的一个法向量，设面的法向量为，则，取，得，，∵二面角为钝角，∴二面角的余弦值为．21．已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.(1)证明：；(2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【分析】（1）根据为矩形，且是中点得到，利用勾股定理得到，然后利用面面垂直的性质定理得到平面，再结合平面即可证明；（2）建立空间直角坐标系，根据得到，然后利用向量的方法求与平面所成的角的正弦值，列方程求即可.【详解】（1）依题意矩形，，，是中点，所以，又，所以，，，因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以.（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，设是的中点，因为，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，，假设存在满足题意的，则由.可得，.设平面的一个法向量为，则，令，可得，，即，设与平面所成的角为，所以解得（舍去），综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为.22．已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有三个零点，，，求证：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）先判断出，将转化为，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.【详解】（1）由，可知定义域，，令，则，①当时，，则成立，即成立，所以在上单调递增；②当时，令，得，记，，当变化时，，的变化情况如下表+0-0+↗极大值↘极小值↗所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（2）因为函数有三个零点，，，不妨设，所以，即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.由，知，故，因为，所以，即，因此，令，所以，令，则在上单调递减，且，，成立，所以在上单调递减，且，因此，则，所以.【点睛】利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，要在定义域的范围内求解单调性.当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，分类标准的制定可结合二次函数的知识来进行.