福建省宁德市2020-2021学年高二下学期期末数学试题（教师版含解析）

宁德市2020-2021学年度第二学期期末高二质量检测

数学试题

本试卷共6页，22题．考试时间120分钟，满分150分．

注意事项：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；填空题和解答题用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的．

1. 设为虚数单位，复数满足，则

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．

【详解】由z(1﹣i)＝2i，得z，

∴|z|．

故选B．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

2. 已知，(    )

A. 1 B.  C.  D. 0

【答案】D

【解析】

【分析】利用组合数公式求解即可.

【详解】.

故选：D

3. 已知，则(    )

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用赋值法求解.

【详解】因为，

令，

得，

故选：B

4. 2020年12月4日是第七个“国家宪法日”．某校开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为．用事件表示“甲同学答对第一道题”，事件表示“甲同学答对第二道题”，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用条件概率公式求解.

【详解】事件表示“甲同学答对第一道题”，事件表示“甲同学答对第二道题”，

则甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为，

所以，

故选：D

5. 如图，在直三棱柱中，，，则直线与直线夹角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先以为原点，，，分别为，，轴建系，设，再利用向量法求解即可.

【详解】以为原点，，，分别为，，轴建系，如图所示：

设，则，，，，

所以，.

设直线与直线夹角为，

则.

故选：A

6. 红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险．某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为(    )

附：若随机变量服从正态分布，则，，

A. 31.74% B. 27.18% C. 13.59% D. 4.56%

【答案】C

【解析】

【分析】首先由题意可知，结合题意和对称性得出，，再由，即可得出答案.

【详解】由题意可知

结合题意，并且根据对称性得出，，再由.

故选：C

7. 若直线是函数的一条切线，则函数不可能是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先设切点，由题知：，再依次判断选项即可.

【详解】设切点，由题知：.

对选项A，，所以，解得，故存在切线；

对选项B，，所以，解得，故存在切线；

对选项C，，所以，解得，，

故存在切线；

对选项D，，所以无解，故不存在切线；

故选：D

8. 设，若在处取得极小值，则实数的取值范围是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题可求导函数，再结合极小值的概念可得.

【详解】∵，

∴

由得，或，

∵在处取得极小值，

由极小值的定义可知.

故选：C.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．

9. 随机变量的取值为0，1，2．若，，则下列结论正确的是( )

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题意求出即可判断选项A，根据随机变量均值和方差的计算公式即可判断选项BD，根据均值的性质即可判断选项C.

【详解】由题意得，

，

，

，

.

故选：ABD

10. 直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是(    )

A. 若，则直线平面

B. 若，则直线平面

C. 若，则直线与平面所成角的大小为

D. 若，则平面，所成锐角的大小为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据直线的方向向量与平面法向量之间的关系，逐一判断线面、面面关系即可得结论.

【详解】对于A：若，则直线平面或在平面内，故选项A不正确；

对于B：若，则也是平面的一个法向量，所以直线平面；故选项B正确；

对于C：直线与平面夹角正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若，则直线与平面所成角的大小为，故选项C正确；

对于D：若，则平面，所成锐角的大小为或，故选项D正确，

故选：BCD.

11. 在的展开式中，下列说法正确的有(    )

A. 第3项为 B. 常数项为20

C. 系数最大的项为第4项 D. 二项式系数最大的项为第4项

【答案】AD

【解析】

【分析】先求得的展开式的通项公式，再逐项判断.

【详解】在的展开式的通项公式为，

A.令 ，得，故正确；

B.令 ，得，所以常数项为，故错误；

C.因为 ，故错误；   

D.因为二项式的次数，所以展开式共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，故正确，

故选：AD

12. 已知函数，，则下列说法正确的有(    )

A. 是奇函数

B. 是周期函数

C. 在区间上，有且只有一个极值点

D. 过作的切线，有且仅有2条

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用奇偶函数的定义判断A；

利用周期函数的定义判断B；

利用函数的导数和极值的应用判断C；

利用导数的几何意义求出切线方程即可判断D.

【详解】A：由函数，得

，故为奇函数，故A正确；

B：取一个数，则，所以不周期函数，故B错误；

C：由题意得，，令，

当时，函数与只有一个交点，即在上有且只有一个解，所以有且只有一个极值点，故C正确；

D：设切点的横坐标为t，则切线方程为：，

由于直线过，所以得到，解得或，

所以直线方程为，故D正确.

故选：ACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置，其中第15题，第一空2分，第二空3分．

13. 已知，_________．

【答案】

【解析】

【分析】先求导数，然后令即可.

【详解】，则，则.

故答案为：.

14. 6位同学站成一排，要求甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间，则不同排法有______种．(用数字作答)

【答案】48

【解析】

【分析】利用分步原理计算即可

【详解】先根据甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间有种排法，把甲乙丙捆绑在和剩下3位同学进行排列，有种排法，所以，总共有种排法

故答案：48

15. 已知一箱产品中有3件一等品，2件二等品，1件三等品．若从箱中任意取出3件产品检测，则抽出的3件产品中恰好有三等品的概率是_______；若从箱中逐一不放回地抽取产品进行检测，直到第4次才抽出第二件一等品的概率是________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】(1)可求出共有种情况，恰有1件三等品共有种情况，即可得概率；

(2)直到第4次才抽出第二件一等品的可能有事件为A:第一件一等品和第四件一等品；事件B：第二件一等品和第四件一等品；事件C：第三件一等品和第四件一等品，可得

，进而求解；

【详解】(1)从6件产品中抽出3件，共有种情况，

其中3件产品中恰有1件三等品共有种情况，

所以抽出的3件产品中恰有1件三等品的概率是；

(2)设从箱中逐一不放回地抽取产品进行检测，直到第4次才抽出第二件一等品的可能有事件为A:第一件一等品和第四件一等品；事件B：第二件一等品和第四件一等品；事件C：第三件一等品和第四件一等品，

则，，

从箱中逐一不放回地抽取产品进行检测，直到第4次才抽出第二件一等品的概率是

故答案为：①；②

【点睛】关键点睛：把直到第4次才抽出第二件一等品的可能有事件设为A:第一件一等品和第四件一等品；事件B：第二件一等品和第四件一等品；事件C：第三件一等品和第四件一等品，进而利用，求解即可，属于中档题.

16. 正六棱锥的侧面积为36，则此六棱锥的体积最大值为________

【答案】24

【解析】

【分析】画图，设底面边长的一半为，侧面与底面的夹角为，进而表达出体积关于和的关系，再消去得出体积与的关系，求导分析最大值即可

【详解】设此六棱锥顶点为，其中一个侧面的三角形为，在底面的投影为，作于，连接，设，

由正六棱锥的性质可得，，又，故，即，所以

又正六棱锥的体积

，

设，则，

设，则，易得的最大值为当，即时取得，此时，

故答案为：24

【点睛】本题主要考查了导数在解决立体几何最值问题中的运用，需要根据题意设合适的边长，再结合侧面积的值与夹角表达出体积，进而求导分析最值，属于难题

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知复数，其中，

(1)若是虚数时，求的取值范围；

(2)若复数表示的点在第四象限，求的取值范围．

【答案】(1)且；(2).

【解析】

【分析】(1)根据是虚数得出虚部不为0可求；

(2)根据复数表示的点在第四象限列出不等式即可求出.

【详解】解：(1)∵是虚数，∴，

解得：且；

(2)复数表示的点在第四象限，

∴，即，得：，

所以，的取值范围为.

18. 设函数

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数在区间内单调递减，求的取值范围．

【答案】(1)；(2).

【解析】

【分析】(1)利用切线方程的公式直接求解即可；

(2)根据在区间上恒成立，得到，进而得到，然后利用不等式的性质求解即可

【详解】解：法一：(1)∵，，，

，

∴在在点处的切线方程为

(2)

∵函数在区间内单调递减，

∴在区间上恒成立；

即，∵

∴

即在区间上恒成立

∴，

解得，

∴的取值范围是

法二：(1)同法一.

(2)

∵函数在区间内单调递减，

∴在区间上恒成立

，∵

∴

即在区间上恒成立

设

当时，，符合题意

当时，在单调递减，，解得，

得

当时，在单调递增，，解得，

得

∴的取值范围是

【点睛】关键点睛：根据在区间上恒成立，得到，进而分类讨论或者利用数形结合求解，属于中档题

19. “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年我省某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：

某机构调查了该地区60位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：

(1)求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与是否线性相关；

(2)请将上述列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；

参考公式：

相关系数；

，其中；

参考数据：，，．

备注：若，则可判断与线性相关．

卡方临界值表：

【答案】(1)0.96，与的线性相关；(2)表格见解析，有.

【解析】

【分析】(1)代入相关系数的公式计算再判断即可；

(2)补全表格，再求出再对比表中数据判断即可

【详解】解：(1)由表格知：，，

∴

由上，有，

(备注：未算出，直接判断的不扣分！)

则与的线性相关．

(2)依题意，完善表格如下：

故有99%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关．

20. 如图，四边形是直角梯形，∥，，，，平面，为的中点．

(1)求证：直线平面；

(2)若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

【分析】(1)取的中点，进而证明四边形是平行四边形，得到∥，最后根据线面平行的判定定理得到答案；

(2)利用等积法求出EC，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求出答案.

【详解】(1)取的中点，连接，，又∵是的中点，∴∥，.

∵∥，，

∴∥，且，

∴四边形是平行四边形，

∴∥，

∵平面，平面，

∴∥平面.

(2)∵AB∥DC，AB⊥AD，

∴∠ADC=90°，由AB=AD=1，则，且∠ADB=45°，

∴∠BDC=45°，

∵DC=2，则在中，由余弦定理：，∴，

∴，∴BD⊥BC.

又底面，设，

则，解得，

∵E为PC的中点，∴.

∴以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，，.

设平面的一个法向量为，则，令y=1，则.

设平面一个法向量为，则，令b=1，则.

∴，∴二面角的平面角的正弦值为.

21. 核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下三种方案：

方案一：逐个化验；

方案二：四个样本混合在一起化验；

方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．

在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．

(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；

(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？做出判断并说明理由．

【答案】(1)；(2)选择方案二最优，理由见解析.

【解析】

【分析】(1)用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则，从而可求出答案；

(2)分别研究三个方案的检测次数，对方案二和方案三要列出分布列，求出数学期望，并对数学期望进行比较,从而得出答案.

【详解】(1)用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则，

由题意可知，4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率为

；

(2)方案一：逐个检验，检验次数为4．

方案二：混合在一起检测，记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，所以

，

，

所以随机变量的分布列为：

所以方案二检测次数的数学期望为；

方案三：每组两个样本检测时，呈阴性的概率为，

设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为2，4，6，所以

，

，

，

所以随机变量的分布列为：

所以方案三检测次数的期望为，

因为，

所以选择方案二最优．

22. 已知函数．

(1)讨论函数的单调性，并求的最小值；

(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，最小值为2；

(2).

【解析】

【分析】(1)求出导函数，解不等式即可得到函数的单调性，进而可得最值；

(2)两边取对，参变分离，构造新函数求最值即可.

【详解】解：(1)∵的定义域为

∴

，

则，

所以在上单调递增，且

当时，，，则在上单调递减；

当时，，，则在上单调递增；

所以函数；

(2)，

令，则，令，

则，

∵，再由(1)知，即，则在上单调递增

所以，∴

所以的取值范围为．