北师大版九年级上册2 用配方法求解一元二次方程同步达标检测题

第09讲 用配方法解一元二次方程

1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；

2．会把一元二次方程化为一般形式．

一、直接开方法解一元二次方程：

　　(1)直接开方法解一元二次方程：

　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

　　(2)直接开平方法的理论依据：

　　　 平方根的定义.

　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根；

　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

　　　 　若，则方程无实数根．

　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是

　　　　 .

要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

二、配方法解一元二次方程：

　　(1)配方法解一元二次方程：

　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.

　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

　　　①把原方程化为的形式；

　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

要点：

（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

（3）配方法的理论依据是完全平方公式．

三、配方法的应用

1．用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.

2．用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．

3．用于求最值：

“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．

4．用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．

考点1：直接开平方法解一元二次方程

例1．一元二次方程的解为（     ）

A． B．， C． D．

例2．若，则是（       ）

A．-2 B．2 C．-2或2 D．4

例3．方程x2- =0的根为_______．

例4．有关方程的解说法正确的是（       ）

A．有两不等实数根3和 B．有两个相等的实数根3

C．有两个相等的实数根 D．无实数根

例5．若方程的两个根分别是与，则_____．

例6．解方程：

（1）；                                （2）；

（3）；                              （4）．

例7．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的结果分别为（　　）

A．x＝±，y＝± B．x＝±，y＝

C．x＝﹣，y＝ D．x＝﹣或﹣，y＝

例8．一元二次方程的实数根为（       ）

A． B．

C． D．

考点2：直接开平方法解一元二次方程的条件

例9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是(   )

A． B． C． D．

例10．方程y2＝-a有实数根的条件是（       ）

A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数

例11．有下列方程：①x2-2x=0；②9x2-25=0；③(2x-1)2=1；④．其中能用直接开平方法做的是(     )

A． B． C． D．

例12．方程 x2=（x﹣1）0  的解为（       ）

A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0

例13．如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（       ）.

A． B．

C． D．任意实数

例14．已知方程有实数根，则与的关系是（       ）.

A． B．或、异号

C．或、同号 D．是的整数倍

考点3：直接开平方法解一元二次方程的复合型

例15．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（     ）

A． B．

C． D．

例16．方程的解为（       ）

A． B．

C． D．

例17．解方程：

（1）；（2）．

考点4：一元二次方程的根的概念深入理解

例18．一元二次方程的根与的根（       ）

A．都相等 B．都不相等 C．有一个根相等 D．无法确定

考点5：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式

例19．关于x的方程(x+a) =b(b>0)的根是（             ）

A．x=±-a B．x=±a+

C．当b≥0时，x=-a± D．当a≥0时，x=a±

例20．形如的方程，下列说法错误的是（       ）

A．时，原方程有两个不相等的实数根

B．时，原方程有两个相等的实数根

C．时，原方程无实数根

D．原方程的根为

考点6：直接开平方法解一元二次方程-降次

例21．方程的根的个数是（          ）

A．1 B．2 C．3 D．4

考点7：直接开平方法解一元二次方程-换元法

例22．若，则的值为(       )

A．7 B．-3 C．7或-3 D．21

考点8：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充

例23．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，从而对于任意正整数n，我们可以得到，同理可得．那么的值为________．

考点9：配方法解一元二次方程

例24．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（       ）

A． B． C． D．

例25．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（       ）

A． B． C．2 D．

例26．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（       ）

A．化为 B．化为

C．化为 D．化为

例27．关于y的方程，用___________法解，得__，__．

例28．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

例29．用配方法解方程，正确的是（       ）

A． B．

C．，原方程无实数解 D．，原方程无实数解

例30．用配方法解下列方程：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)．

考点10：配方法的应用1-三角形问题

例31．的三边分别为、、，若，，按边分类，则是______三角形

例32．如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是______

例33．已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（       ）

A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13

考点11：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题

例34．若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（　　）

A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N

例35．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）

A．0 B．1 C．3 D．不确定

例36．已知实数，，满足，，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

考点12：配方法的应用3-最值问题

例37．若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（       ）

A． B． C． D．

例38．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2－2x－4y+16的值总是_______数．

例39．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（　　）

A．总大于7 B．总不小于9

C．总不小于﹣9 D．为任意有理数

例40．若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（　　）

A．3 B． C． D．6

例41．关于代数式，有以下几种说法，

①当时，则的值为-4.

②若值为2，则.

③若，则存在最小值且最小值为0.

在上述说法中正确的是（　　）

A．① B．①② C．①③ D．①②③

考点13：配方法的应用4-配方法在二次根式与分式中的应用

例42．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________．

例43．已知（x，y均为实数），则y的最大值是______．

例44．已知，则____________

例45．已知，无论取任何实数，这个式子都有意义，则c的取值范围_______.

例46．（1）设，求的值．

（2）已知代数式，先用配方法说明：不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？

考点14：配方法的应用5-创新与阅读材料题

例47．选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：或；③选取一次项和常数项配方：．

根据上述材料解决下面问题：

（1）写出的两种不同形式的配方．

（2）已知，求的值．

（3）已知a、b、c为三条线段，且满足，试判断a、b、c能否围成三角形，并说明理由．

例48．若实数x，y，z满足x＜y＜z时，则称x，y，z为正序排列．已知x=﹣m2+2m﹣1，y=﹣m2+2m，若当m时，x，y，z必为正序排列，则z可以是(　　)

A．m B．﹣2m+4 C．m2 D．1

一、单选题

1．（2022·山东东营·统考中考真题）一元二次方程的解是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2022·四川雅安·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）

A．﹣3 B．0 C．3 D．9

二、填空题

3．（2019·江苏徐州·统考中考真题）方程的根是______．

4．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是_____．

5．（2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______．

三、解答题

6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：

7．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）用配方法求一元二次方程的实数根．

8．（2017·山东滨州·中考真题）根据要求，解答下列问题．

（1）根据要求，解答下列问题．

①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；

②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；

③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；

…… ……

（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：

①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；

②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．

（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．

一、单选题

1．方程的根为（    ）

A． B． C． D．

2．如果是方程的一个根，则这个方程的其它根是（　　　）

A． B． C． D．

3．用直接开平方法解方程(x﹣3)2＝8，得方程的根为（　　）

A．x＝3+2 B．x＝3﹣2 C．x＝3±2 D．x＝3±2

4．关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（    ）

A．方程无实数解 B．方程有一个实数解

C．有两个相等的实数解 D．方程有两个不相等的实数解

5．关于的方程，下列说法正确的是（    ）

A．有两个解 B．当，有两个解

C．当，有两个解 D．当时，方程无实数根

6．用配方法解方程：，开始出现错误的一步是（    ）

①，②，③，④．

A．① B．② C．③ D．④

7．对于方程，下列各配方式中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

8．下列各式：①；②；③；④；⑤变形中，正确的有（    ）

A．①④ B．① C．④ D．②④

9．设一元二次方程（）（）=m（m＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（    ）

A．-1＜α＜β＜3 B．α＜-1且β＞3 C．α＜-1＜β＜3 D．-1＜α＜3＜β

10．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ）

A．2011 B．2013 C．2018 D．2023

二、填空题

11．一元二次方程的两根分别为_____________．

12．方程2x2 ﹣8＝0的解是_____．

13．若关于x的一元二次方程的一个根为－1，则m的值是______．

14．把方程用配方法化为的形式，则的值是________．

15．用配方法解方程，将方程变为的形式，则_____．

16．已知，，满足，，则的值是___________

17．已知,,若的值为2014,则n的值为______ .

18．已知实数x，y满足，则x+y的最大值为_______．

三、解答题

19．用直接开平方法解下列方程：

（1）；

（2）．

20．解方程：．

21．解方程：

(1)；

(2)．

22．用配方法解关于的方程：．

23．用配方法解方程：

(1)；

(2)．

24．用配方法解方程．

25．用配方法解下列一元二次方程：

(1)；

(2)．

26．用配方法解下列方程：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

27．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，对于的情况，她是这样做的：

由于a≠0，方程变形为：

……第一步

……第二步

……第三步

，……第四步

……第五步

(1)嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当时，方程的求根公式是______；

(2)用配方法解方程：．

28．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．

例如，把二次三项式进行配方．

解：．

我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”．

(1)【问题解决】请你再写一个小于10的“完美数” ；并判断40是否为“完美数” ；

(2)【问题解决】若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为 ；

(3)【问题探究】已知“完美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为 ；

(4)【问题探究】已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值．

(5)【问题拓展】已知实数x，y满足，求的最小值．