第17讲 指数函数及其性质八大题型总结-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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1.指数函数的定义及图像
(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(3)指数函数与的图象关于轴对称．
函数①；②；③；④的图象如图2-3-1所示，则；
即，(底大幂大)；时，．

图2-3-1 图2-3-2
(4)特殊函数：函数，，，的图象如图2-3-2所示．
2.指数式大小比较方法
①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．
③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．
④比较法：有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
1)若；若；若；
2)当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．
【题型目录】
题型一：指数函数的概念
题型二：指数函数的图像
题型三：指数函数的定点
题型四： 指数函数的奇偶性、单调性
题型五：利用指数函数性质比较大小
题型六：解指数函数不等式
题型七：指数函数的值域问题
题型八：指数函数的解答题
【典型例题】
题型一：指数函数的概念
【例1】函数是指数函数，求的值．
【例2】指出下列函数哪些是指数函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）．
【例3】下列函数式中，满足的是( )
A、 B、 C、 D、
【题型专练】
1.（2023·全国·高三专题练习）下列函数是指数函数的有（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·全国·高一专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
3.（2023·全国·高三专题练习）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或B．
C．D．
4.（2021·全国高一专题练习）若函数(，且)是指数函数，则______，______.
题型二：指数函数的图像
【例1】已知,则函数的图像必定不经过（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
【例2】（2022·浙江·绍兴市教育教学研究院高二期末）在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【例3】（2022·山东青岛·高二期末）函数与函数的图象（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线对称
【例4】（2022·全国·高一专题练习）如图所示，函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【例5】如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．
【例6】（2022·全国·高一）已知函数，实数，满足，则（ ）
A．B．，，使得
C．D．
【题型专练】
1．（2021·上海交大附中高一期中）在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
2.（2022·全国·高一专题练习）函数(是自然底数)的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·浙江衢州·高二阶段练习）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））函数的图象的大致形状是（ ）
A．B．C．D．
题型三： 指数函数的定点
【例1】当且时，函数必过定点 .
【例2】（2021·高邮市临泽中学高一月考）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．
【题型专练】
1.（2021·上海高一专题练习）函数的图像恒过定点______.
2.（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
题型四： 指数函数的奇偶性、单调性
【例1】判断函数的奇偶性
【例2】设函数是偶函数，则实数a的值为________．
【例3】若函数，分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有
A．B．
C．D．
【例4】已知，则下列正确的是（ ）
A．奇函数，在R上为增函数 B．偶函数，在R上为增函数
C．奇函数，在R上为减函数 D．偶函数，在R上为减函数
【例5】函数的单调递增区间是（ ）
A． B．C．D．
【例6】若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为
A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)
【例7】已知函数，如果对任意，恒成立，则满足条件的的取值范围是 ．
【例8】已知函数，则不等式的解集是 ．
【题型专练】
1.（2021新高考1卷）已知函数是偶函数，则__________．
2.函数在R上是减函数，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
3.（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数则关于t的不等式的解集为________.
4.函数的单调递减区间是 .
5.（2022·全国·高一单元测试）已知函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
6.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
7.已知函数,则使得不等式成立的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
题型五：利用指数函数性质比较大小
【例1】判断下列各数的大小关系：
(1)1.8a与1.8a+1； (2) (3)，(2.5)0，
【例2】设eq \f(1,3)<(eq \f(1,3))b<(eq \f(1,3))a<1，则( )
A．aa【例3】已知a= 0.80.7,b= 0.80.9,c= 1.20.8，则a、b、c的大小关系是
【例4】【2016高考新课标3理数】已知，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【例5】（2021·江西高安中学高一月考）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【例6】（2022·全国·高一单元测试）若实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【题型专练】
1．（2021·全国高一课时练习）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国高一课时练习）下列判断正确的是（ ）
A．2.52.5＞2.53B．0.82＜0.83
C．4＜πD．0.90.3＞0.90.5
3.（2022·全国·高一课时练习）已知，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
题型六：解指数函数不等式
【例1】若，则实数a的取值范围是 .
【例2】已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型专练】
1.解不等式
2.（2021·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）若满足不等式，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
3.（2021·全国高一课时练习）函数，若有，则的取值范围是________.
题型七：指数函数的值域问题
【例1】已知，求的最小值与最大值。
【例2】若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为____________
【例3】已知实数且,若函数值域为,则的取值范围是( )
A. B. C D.
【例4】（2022河南高一期末）函数的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
【例5】（2022·浙江省义乌中学高一期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数": 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如: ，已知，则函数 的值域为（ ）
A．B．C．D．
【题型专练】
1.函数在上的最大值与最小值的和为3，则=( )
A. B.2 C.4 D.
2.（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为____.
3.（2022·全国·高一专题练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．
4.（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为RB．函数的值域为
C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减
5.（2021·江苏·矿大附中高三阶段练习多选题）函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（ ）
A．B．C．D．
题型八：指数函数解答题
【例1】（重庆巴蜀中学高一期末）已知函数是上的奇函数
（1）求实数的值
（2）解不等式
【例2】(重庆巴川中学高一期中) 已知定义域为R函数是奇函数．
（1）求实数a，b：
（2）定义证明f（x）在(-∞，+∞)上的单调性，
（3）若不等式对有解，求t的范围．
【例3】（重庆八中高一半期）已知函数在区间上的最大值为，最小值为
（1）求实数，的值
（2）若方程在上有两个不同的实数解，求的取值范围
【例4】（2022·广东韶关·高一期末）双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数是自然对数的底数，）．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)已知，记函数，的最小值为，求．
【例5】（2022·河南洛阳·高一期末（文））设函数（且）是定义域为的奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若，，且当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【题型专练】
1.（2022·天津南开·高一期末）已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数在时的值域.
2．（2018·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)当取何值时，方程在上有实数解.
3.（2022·辽宁营口·高二期末）已知函数．
(1)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若的最大值为2，求实数m的值；
(3)若对任意的，，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数m的取值范围．
4．（2022·河南洛阳·高一期末（理））设函数（且）是定义域为的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若，，且在上的最小值为，求实数的值.
5．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知定义在上的函数是偶函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数在上的单调性并证明；
(3)解不等式：．
6．（2022·全国·高一专题练习）已知定义在上的奇函数．在时，．
(1)试求的表达式；
(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
7．（2022·福建福州·高二期末）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数在上的解析式；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围．
8．（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
图象

性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数