第22讲 函数与方程8大题型总结-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
(2)零点存在性定理:
一般地，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根.
(3)相关结论:
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
2.二分法
(1)对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)对于给定精确度，利用二分法求函数零点近似值的步骤如下:
①确定区间，验证，给定精确度;
②求区间的中点;
③计算;
a.若，则就是函数的零点;
b.若，则令(此时零点);
c.若，则令(此时零点).
④判断是否达到精确度，即:若，则得到零点近似值(或);
否则重复②③④.
3.二次函数图象与零点的关系
4.嵌套函数（复合函数零点问题）
在某些情况下，我们可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数．在函数里面调用另外一个函数，就叫做函数嵌套．如果调用自己本身，就叫做递归调用，也叫递归嵌套．
【题型目录】
题型一：求函数的零点
题型二：函数的零点区间
题型三：判断函数的零点个数
题型四：根据函数零点的存在情况求参数
题型五：二分法的应用
题型六：函数等高问题
题型七：函数零点和问题
题型八：函数应用模型
【典型例题】
题型一：求函数的零点
【例1】已知函数，则函数的零点为（ ）
A．B．，0C．D．0
【答案】 D
【解析】函数
当时，令，解得
当时，令，解得（舍去）综上函数的零点为0.故选：D.
题型二：函数的零点区间
【例1】（2022贵州省瓮安第二中学）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】 C
【解析】因为是连续的减函数，
，
，，，
有，所以的零点所在的区间为．故选：C
【例2】（2022江西抚州·高一期末）已知a是函数的零点，则函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】 B
【解析】由题意，a是函数的零点，即，解得，
所以函数，
又由在上是增函数，且，，
可得，
根据零点存在性定理，可得函数的零点所在的区间为.
故选：B.
【例3】（2022广东）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于函数在上是连续增函数，
由于，，所以
【例4】（2022全国高一专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为和在上是增函数，
所以在上是增函数，
所以只需即可，即，解得.故选：D．
【例5】若则函数的两个零点分别位于区间
和内 和内
和内 和内
【答案】A
【解析】因为，，
所以，故选：A．
【题型专练】
1.（2022湖北十堰市高三）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知在上是连续增函数，因为，，所以的零点所在的大致区间是.
故选：B
2．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数，则下列区间中含零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出、、、的值，即可判断其正负号，利用零点存在定理则可选出答案.
【详解】由题意知：，，
，.
由零点存在定理可知在区间一定有零点.
故选：C.
题型三：判断函数的零点个数
【例1】（2022四川省成都市玉林中学高二期中（文））方程根的个数为（ ）
A．无穷多B．3C．1D．0
【答案】 C
【解析】方程可化为，设函数和，
在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：
∴由图象可知两个函数的交点个数为1个．故方程根的个数为1．故选：C．
【例2】函数的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B
【解析】令可得，即，
在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：
∴由图象可知两个函数的交点个数为1个．故零点个数为1．故选：B．
【例3】（2022张家口市第一中学高一月考）函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】函数，由，可得，作出和的图象，
由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，故选：C.
【例4】若函数，函数的零点个数是___________.
【答案】 C
【解析】设可得，即，当时，，所以
在坐标系中作出函数的图象如图：
由图可知有两个根
当时，，所以，由图可知有两个根，所以函数的零点个数为4
【例5】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 C
【解析】当时，令，可得，即
在坐标系中作出函数的图象如图：
由图可知有1个交点
又因为奇函数，所以当时，有一个零点，又因，所以一共有三个零点
【例6】已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
【答案】A
【解析】画出和的图像，如图所示
由图可知有10个交点
【例7】（2022年重庆二外高一上期末）奇函数f(x)、偶函数g(x)图象分别如图1、2所示，方程f(g(x))＝0、g(f(x))＝0的实根个数分别为a、b，则a＋b等于( )
A 14B. 10C. 7D. 3
【答案】 B
【解析】对于方程，设，则，由图一知，当时，由图二知可取，当时，由图二知可取，当时，由图二知可取，一共有7个实根，所以
对于方程，设，则，由图二知，其中，，当时，由图一知无解，当时，由图一知可取，当时，由图一知无解，一共有3个实根，所以
综上可知
【题型专练】
1.（2020·云南）函数零点的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得，所以函数零点的个数为方程
的根的个数，也即为两个函数，的图象交点的个数，
在坐标系中画出两个函数，的图象，
由图知：函数，的图象有个交点，所以函数零点的个数为，故选：D.
2.函数的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 D
【解析】当时，令可得，即，
在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：
∴由图象可知两个函数的交点个数为2个．故当时，零点个数为2个
当时，令可得，解得，符合题意
3.函数的零点个数为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【答案】 B
【解析】令可得，即，
在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：
∴由图象可知两个函数的交点个数为2个，零点个数为2个，故选：B
4.设函数,则函数的零点的个数为
A．4B．5C．6D．7
【答案】 C
【解析】令可得，即，
在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：
∴由图象可知两个函数的交点个数为6个，零点个数为6个，故选：C
5.（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（ ）
A．方程有且仅有三个解
B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有九个解
D．方程有且仅有一个解
【答案】AD
【分析】由函数图象和复合函数的性质依次判断即可.
【详解】由可得，
对于A，，结合图象可得，或，
结合的图象可得，，，各有一个解，即方程有且仅有三个解，A正确；
对于B，，结合图象可得，结合的图象可得， 有一个解，即方程有且仅有一个解，B错误；
对于C，，结合图象可得，或，又有3个解，，各有一个解，
即方程有且仅有五个解，C错误；
对于D，，结合图象可得，又有一个解，即方程有且仅有一个解，D正确.
故选：AD.
题型四：根据函数零点的存在情况求参数
【例1】（2022云南丽江·）已知函数，若关于x的方程有四个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】作出函数的图象，
关于x的方程有四个实数根，则函数与有四个交点，则，故选：C.
【例2】（2022年重庆南开高一）已知函数，若方程有四个不同实数解，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【解析】，画出的图像，如图所示
由图可知当时有一个根，所以只需有三个根即可，所以
【例3】定义域为的偶函数满足对，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因，令得，所以，所以的周期为2，令，得，画出和的图像，如图所示
由图可知若函数在上至少有三个零点，只需且即可，所以
【例4】（2022年重庆巴蜀高一上）函数，若函数有6个不同零点，则的取值范围为（ ）
B. C. D.
【答案】D
【解析】令，得，设，则，画出的图像，如图所示
只需有三个零点且，所以
【例5】（2022年重庆巴蜀高一上）已知函数，，若存在唯一的整数，满足，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】画出和的图像，如图所示
若存在唯一的整数，满足，需或，即
，解得
【例6】设函数,若关于的方程恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得，设，则，画出的图像，如图所示
若关于的方程恰好有六个不同的实数解，即在内有两个不同得实数根，所以，解得
【题型专练】
1.（2022广东潮州·）已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】作函数和的图象，如图所示，可知的取值范围是，
故选D．
2.（2022全国）已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（ ）
A．B．C．（0，1）D．
【答案】 C
【解析】因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．作出函数图象，由图可知，实数的取值范围是．故选：C．
3.若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是
A．m≤－1B．－1≤m<0C．m≥1 D．0【答案】 B
【解析】令可得，即，画出，如图所示
由图可知，解得
4.已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个不同的零点，则实数的取值范围是_______
【答案】
【解析】令可得，即，画出的图像，如图所示
由图可知，
题型五： 二分法的应用
【例1】（2022浙江高一单元测试）根据已给数据：
在精确度为0.1的要求下，方程的一个近似解可以为（ ）
A．B．1.5C．1.562D．1.7
【答案】C
【解析】，即，令，
则，
，
，
，
，
根据零点存在性定理可知：，使，
又，故的一个近似解可以为：1.562.故选：C.
【例2】（2022全国高一课时练习）若函数的一个零点附近的函数值如下表：
则用二分法可求得方程的一个近似解（精确度为0.04）为（ ）
A．1.5B．1.375C．1.4375D．1.25
【答案】C
【解析】由表格中的数据，可知，，
且，所以方程的一个近似解可取1.4375.故选：C．
【题型专练】
1.（2022·全国·高一课时练习）关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（ ）
A．用二分法求方程的近似解一定可以得到在内的所有根
B．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的重根
C．用二分法求方程的近似解有可能得出在内没有根
D．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的精确解
【答案】D
【分析】根据二分法求近似解的定义，可得答案.
【详解】利用二分法求方程在内的近似解，即在区间内肯定有根存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是内的精确解．
故选：D.
2．（2022·全国·高一课时练习）若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0.1）可以是（ ）
A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5
【答案】C
【分析】根据题干中所给的函数值，利用二分法求方程的近似解即可.
【详解】解：因为，，且1.375与1.4375精确到0.1的近似值都为1.4，
所以原方程的一个近似根为1.4．
故选：C.
题型六：函数等高问题
【例1】已知函数若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】画出的图像，如图所示
不妨设，则，所以（舍去）或者，所以
，又因，所以
【例2】（2022年重庆南开高一上期中）已知函数,若方程有四个不同解,且,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】画出的图像，如图所示
则，所以，所以
，又因，所以，
因为，所以
【例3】已知函数，函数有四个不同的零点且满足： ，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】画出的图像，如图所示
则，，所以，因为，所以
所以
【题型专练】
1.已知函数, 若， 互不相等，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】画出的图像，如图所示
不妨设，则，又因，所以
2.（2022浙江杭州高级中学高三模拟）已知函数若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数有四个不同的零点等价于函数的图象与直线有四个不同的交点.
画出的大致图象，如图所示.
由图可知.不妨设，则，且.
所以，所以，则，
因为，所以，所以，所以，
所以.故选：A
3.（2022湖南长沙市·长沙一中高三其他模拟）设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】画出的图像，如图所示
不妨设，则关于对称，所以，且，所以
。
4.（2022重庆高二期中）已知，若互不相等，且，则的范围是（ ）
B． C． D．
【答案】B
【解析】画出的图像，如图所示
不妨设，则，所以（舍去）或者，所以
，且，又，可得，所以
，又因，可得，故选B
5.已知函数，实数且，满足，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】画出的图像，如图所示
因关于对称，所以，因关于对称，所以，且，
所以，设，则在上单调递增，所以
题型七：函数零点和问题
【例1】已知为奇函数，函数与的图像关于对称，若，则（ ）
A.-1 B.1 C.-2 D.2
【答案】C
【解析】因为奇函数，所以关于对称，，所以关于点对称；又函数与的图像关于对称，所以的图像关于成中心对称，当时，，所以选C
【例2】（2022年重庆18中高一上期中）已知定义在R上的函数满足，若函数与的图象有m个交点，则( )
（注）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因，所以关于对称，而也关于对称，所以两个函数的交点也关于对称，所以每一组关于对称的点的横坐标之和为，纵坐标之和为，所以，故选D
【题型专练】
1.已知函数，函数满足，若函数有10个零点，则所有零点之和为___________．
【答案】10
【解析】因为奇函数，所以关于对称，，所以关于点对称；又函数函数满足，所以的图像关于成中心对称，所以函数有10个零点，就是有10个交点，并且关于对称，所以所有零点之和为10
2.（2022年重庆一中高一上期中）已知函数满足，若方程有个不同的实数根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因，所以关于对称，而也关于对称，所以函数的零点也关于对称，所以每一组关于对称的两根之和为，所以，故选B
题型八： 函数应用模型
【例1】（2021·福建厦门市高三模拟）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
【答案】AD
【解析】由函数图象可知，
当时，，即，解得，
，故正确，
药物刚好起效的时间，当，即，
药物刚好失效的时间，解得，
故药物有效时长为小时，
药物的有效时间不到6个小时，故错误，正确；
注射该药物小时后每毫升血液含药量为微克，故错误，故选：．
【例2】（2022全国）2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2019年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？
【答案】（1）；（2）产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元.
【解析】（1）当时，，
当时，.
综上所述，．
（2）当时，，所以当时，当时，，在上单调递增，在上单调递减；所以当时，所以当，即年年产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元.
【例3】（2021·河北高一期末）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，求：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）由图可知直线的斜率为，
所以图像中线段的方程为，
因为点在曲线上，所以，解得，
所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为，
（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，
即，解得，
所以从药物释放开始，至少需要经过小时，学生才能回到教室
【题型专练】
1.（2022湖南省邵东市第三中学高一月考）邵东市某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．
（1）设一天订住的房间数为，直接写出与的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若一天要保证利润不低于10800元，则提高的价格应该是多少？；
（3）在（2）情况下订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）（其中且为的整数倍）；（2）价格为；（3）一天订住34个房间时，最大利润是元．
【解析】（1）由题意，宾馆有50个房间供游客住宿，房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，可得与的函数关系式为（其中且为的整数倍）.
（2）由（1）可得订住的房间数为，
所以宾馆的利润为，
要使得一天要保证利润不低于10800元，
令，即，
整理得，解得，
又由且为的整数倍，所以提高的价格应元.
（3）由（2）知，宾馆的利润为，
可得抛物线的对称轴为，且开口向下，
因为，可得当时，函数单调递增，
所以当时，此时房间的价格为元，
利润取得最大值，最大值元，
此时订出的房间数为间.
2.（2021·乌鲁木齐市第三十一中学高一月考）随着国家宝藏的热播，人们对文物考古的兴趣日益高涨，越来越多的人走进博物馆．某市博物馆为了保护一件文物，需要在馆内一种透明且密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体，该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①需支付保护液体的费用，已知罩内该液体的体积比保护罩的容积少，且每立方米液体的费用为500元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为时，支付的保险费用为4000元．
（1）求该博物馆支付的总费用元与保护罩容积之间的函数关系式；
（2）求该博物馆支付的总费用的最小值．
【答案】(1)(2)3750
【解析】(1)设需支付的保险费用为元，
当时，，得，
所以；
(2) ，
当且仅当，即时等号成立，
所以该博物馆支付的总费用的最小值为3750元.
3.（2021·昭通市昭阳区第二中学高一期末）黑颈鹤是国家一级保护动物，主要在青藏高原繁殖，云贵高原过冬，是世界上15种鹤类中唯一在高原上繁殖和越冬的鹤类，数量十分稀少．截止2020年11月30日，大山包保护区黑颈鹤迁徙数据再破纪录，达1938只，是至今为止历年来大山包监测到黑颈鹤数量的最高纪录．研究鸟类的专家发现，黑颈鹤的飞行速度(单位：)与其耗氧量之间的关系为 (其中，是实数).据统计，黑颈鹤在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1．
（1）求出，的值；
（2）若黑颈鹤为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
【答案】（1），；（2）270.
【解析】（1）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blg3＝0，
即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有a＋blg3＝1，
整理得a＋2b＝1.
解方程组得,
(2)由(1)知，v＝－1＋lg3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，
则有v≥2，即－1＋lg3≥2，即lg3≥3，解得Q≥270,
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.
二次函数
的图象
零点个数
两个零点
一个零点
无零点
与轴交点
，
无交点
x
1.5
1.53125
1.5625
1.625
1.75
的近似值
5.196
5.378
5.565
5.961
6.839