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所属成套资源：高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)(原卷版+解析)
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高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)17指数函数的图象和性质的常考点方法总结(原卷版+解析)
展开这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)17指数函数的图象和性质的常考点方法总结(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了指数函数的图象与性质等内容，欢迎下载使用。
1.任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称；
2.当a>1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0
方法指导
一、指数型函数的图象问题
1.图象的识别
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，观察选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；
(2)解指数型函数图象问题，一般从指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论；
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；
(4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较；
二、指数函数的性质的应用
1.利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是先看能否化成同底数幂，能化成同底数幂的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小，不能化成同底数幂的，一般引入“1”等中间量比较大小；
2.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解；
3.指数函数性质的综合应用，其方法是首先研究指数型函数的性质，再利用其性质求解。
题型探究一
探究一：指数函数的图像判断
函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：先根据函数的奇偶性排除B，再根据时函数值的符号排除D，最后结合趋近于时函数值的范围求解即可。
【变式练习】
1．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
探究二：求指数函数的值域
设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，.那么函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：根据条件先判断函数f（x）的奇偶性和求值范围，然后讨论和的取值范围，结合的定义进行求解即可。
【变式练习】
1．已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A．B．C．D．
2．已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
探究三：指数函数的单调性问题
设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：证明函数是偶函数，在是是增函数，然后由奇偶性、单调性转化求解。
【变式练习】
1．若实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
探究四：指数函数的最值问题
对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：问题就是方程在有解，变形为，引入新函数，求得函数的值域即可得结论。
【变式练习】
1．设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，使得当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．函数在区间上最小值是（ ）
A．1B．3C．6D．9
题型突破训练
一、单选题
1．设，则a，b，c的大小关系（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数满足对，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．若，则下列选项错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数满足对任意，都有 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．函数（其中是自然对数的底数）的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
8．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，函数，则函数的值不可能为（ ）
A．0B．C．2D．4
10．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．图象关于点成中心对称
C．的最大值为
D．幂函数在上为减函数，则的值为1
11．已知函数（，且），则下列结论正确的是（ ）
A．函数恒过定点
B．函数的值域为
C．函数在区间上单调递增
D．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a的取值范围是
12．下列函数中，对任意，，，满足条件的有（ ）．
A．B．
C．D．
三、填空题
13．已知，，则__________.
14．函数的定义域为_______.
15．奇函数在区间上单调递减，则不等式的解集为______.
16．已知函数（），若函数在的最小值为，则实数的值为________.
四、解答题
17．设函数（且，，），若是定义在上的奇函数且．
(1)求k和a的值；
(2)判断其单调性（无需证明），并求关于t的不等式成立时，实数t的取值范围；
(3)函数，，求的值域．
18．已知是定义域为的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，不需要证明；
(3)解关于的不等式：.
19．已知函数（是自然对数的底数）.
(1)讨论的单调性；
(2)是否存在实数a使得的图象关于点（0，1）对称？若存在，请求出实数a，若不存在，请说明理由.
20．已知函数.若为奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)判断函数在上的单调性，并给予证明；
(3)若成立，求实数t的取值范围.
21．已知函数．
(1)若对任意，不等式恒成立，求的最小值；
(2)对于函数，若，b，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求实数的取值范围．
22．已知实数，且函数，，，，，当时，的最小值记为.
(1)若，求函数的单调递减区间；
(2)，，，求实数m的取值范围.函数
(a>0且a≠1)
图象
a>1
0
在x轴上方，过定点(0，1)
当x逐渐增大时，图象逐渐上升
当x逐渐增大时，图象逐渐下降
性质
定义域
R
值域
(0，+∞)
单调性
单调递增
单调递减
函数值变化规律
当x=0时，y=1
当x<0时，0
当x<0时，y>1；
当x>0时，0
必备知识
1.任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称；
2.当a>1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0
方法指导
一、指数型函数的图象问题
1.图象的识别
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，观察选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；
(2)解指数型函数图象问题，一般从指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论；
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；
(4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较；
二、指数函数的性质的应用
1.利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是先看能否化成同底数幂，能化成同底数幂的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小，不能化成同底数幂的，一般引入“1”等中间量比较大小；
2.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解；
3.指数函数性质的综合应用，其方法是首先研究指数型函数的性质，再利用其性质求解。
题型探究一
探究一：指数函数的图像判断
函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：先根据函数的奇偶性排除B，再根据时函数值的符号排除D，最后结合趋近于时函数值的范围求解即可。
答案：C
【详解】解：函数的定义域为，，
所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B选项，
因为当时，，
所以当时，，时，，故排除D，
当趋近于时，由于指数呈爆炸型增长，故函数值趋近于，故排除A选项，
故选：C
【变式练习】
1．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】解：函数的定义域为，，
所以函数为奇函数，故排除D，
由于，故当时，，故排除AB，
故选：C
2．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】解：因为的定义域为R，，
所以为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除C，D；
当趋近于时，趋近于，趋近于， 趋近于0，
但是比增长速度快得多，所以趋近于0，故排除A．
故选：B.
探究二：求指数函数的值域
设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，.那么函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：根据条件先判断函数f（x）的奇偶性和求值范围，然后讨论和的取值范围，结合的定义进行求解即可。
答案：B
【详解】因为，所以，则是奇函数，
，
因为，所以，则，则，即的值域为，
①若，由，则，
所以
②若，由，则，
所以
③若，则，所以.
综上所述，函数的值域为.
故选：B.
【变式练习】
1．已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A．B．C．D．
答案：B
【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，
于是有，当时，，此时，，
当时，，此时，，
所以函数的值域为.
故选：B
2．已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】因函数的值域是，于是得函数的值域是，
因存在实数，使得，则，
因此，，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
探究三：指数函数的单调性问题
设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：证明函数是偶函数，在是是增函数，然后由奇偶性、单调性转化求解。
答案：A
【详解】的定义域是，
，是偶函数，
时，设，
，，，从而，
所以，即，是增函数，
不等式化为，
所以，，解得．
故选：A.
【变式练习】
1．若实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】令，由于，均为上的增函数，所以是上的增函数．
因为，所以，即，所以，所以．
故选：C．
2．已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】因为，
，
由，
得
因为单调递减，
所以单调递减，
又时，在上单调递减；
所以，
解得，
所以实数的取值范围为，
故选：A
探究四：指数函数的最值问题
对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：问题就是方程在有解，变形为，引入新函数，求得函数的值域即可得结论。
答案：A
【详解】因为是定义在上的“倒戈函数，
存在满足，
，
，
构造函数，，
令，，
在单调递增，
在单调递减，所以取得最大值0，
或取得最小值，，
，，
故选：A．
【变式练习】
1．设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，使得当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】解：因为，，且为偶函数，为奇函数
所以
所以，即
因为，
所以，.
因为当时，
所以当时，不等式恒成立等价于当时，恒成立，即当时，恒成立，
令，由于函数在单调递增，
所以根据复合函数单调性得在单调递增，
所以，
所以当时，恒成立时，.
所以的最小值为.
故选：A
2．函数在区间上最小值是（ ）
A．1B．3C．6D．9
答案：B
【详解】∵在上单调递增，
∴.
故选：B.
题型突破训练
一、单选题
1．设，则a，b，c的大小关系（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】因在上单调递增，则,得.
因在上单调递减，则，得.则.
故选：A
2．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】，得，
，即.故选：B
3．已知函数满足对，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】由题意得在上单调递增，
则，解得，
故选：C
4．若，则下列选项错误的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】因为，则；A.，则，，，A正确；B.在上单调递增，当时，，B正确；C.当时，，C错误；D.当时，，D正确；故选：C.
5．若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】即在上有解.
根据题意，为定义域上的“有点奇函数”，即在上有解.
即在上有解.
即在上有解.
即在上有解.
设（当且仅当时等号成立）
也即在上有解.
即在上有解.
，当且仅当,即时等号成立.
所以实数m的取值范围是
故选：B
6．已知函数满足对任意，都有 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】解：函数满足对任意，都有 成立，
则函数在上单调递增，所以，解得.
故选：B.
7．函数（其中是自然对数的底数）的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】函数的定义域是，，为偶函数，排除CD选项，，排除B，故选：A．
8．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】解：因为，所以，
设，
因为，
令==，
令,则，
所以 ，
因为，
由对勾函数的性质可得，
所以，
所以，
所以以，
即函数的值域为.
故选：A.
二、多选题
9．已知函数，函数，则函数的值不可能为（ ）
A．0B．C．2D．4
答案：AB
【详解】∵当时，为单调递增函数，
∴，
又∵当时，为单调递减函数，
∴，
∴综上可知，函数的最小值为2，
故选：AB．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．图象关于点成中心对称
C．的最大值为
D．幂函数在上为减函数，则的值为1
答案：BD
【详解】A选项，函数的定义域为，
所以对于函数，有，即的定义域是，A选项错误.
B选项，，所以图象关于点成中心对称，B选项正确.
C选项，，所以，
即的最小值为，C选项错误.
D选项，是幂函数，
所以，解得或，
当时，，在上递减，
当时，，在上递增，
所以D选项正确.
故选：BD
11．已知函数（，且），则下列结论正确的是（ ）
A．函数恒过定点
B．函数的值域为
C．函数在区间上单调递增
D．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a的取值范围是
答案：BC
【详解】解：已知函数（，且），则
对于A，，函数恒过定点，故A错误；
对于B，，则，所以，函数的值域为，故B正确；
对于C，任取，则，当时，函数单调递增，则，当，则恒成立，所以；当时，函数单调递减，则，当，则恒成立，所以，则恒成立，所以函数在区间上单调递增，故C正确；
对于D，的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和两种情况分别作图，如图所示：
当时不合题意；时，需要，即，故D错误；
故选：BC.
12．下列函数中，对任意，，，满足条件的有（ ）．
A．B．
C．D．
答案：ABD
【详解】由题意可知，在上是下凸函数，
由指数函数的图像和性质可知，AB正确；
由幂函数的图像和性质可知， C错误，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知，，则__________.
答案：
【详解】，，
设，在上递增，
而，
所以，则.
故答案为：
14．函数的定义域为_______.
答案：
【详解】由已知得，解得
即函数的定义域为
故答案为：
15．奇函数在区间上单调递减，则不等式的解集为______.
答案：
【详解】解：奇函数在区间上单调递减，则，所以在区间上单调递减，于是可得在上单调递减
由不等式，得，又函数在上单调递增
所以，即不等式得解集为.
故答案为：.
16．已知函数（），若函数在的最小值为，则实数的值为________.
答案：
【详解】令，则当时，，，对称轴为；当，即时，在上单调递增，，
解得：（舍）；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得：（舍）或；当，即时，在上单调递减，，解得：（舍）；综上所述：.
故答案为：.
四、解答题
17．设函数（且，，），若是定义在上的奇函数且．
(1)求k和a的值；
(2)判断其单调性（无需证明），并求关于t的不等式成立时，实数t的取值范围；
(3)函数，，求的值域．
答案：(1)，
(2)增函数，或
(3)
【详解】（1）∵是定义域为上的奇函数，
∴，得．此时，，，即是R上的奇函数．
∵，∴，即，∴或（舍去）
故，
（2）明显地，为增函数，则只需，，
∴或．
（3）∴，
令，由（2），易知在上为增函数，
∴，∴
当时，有最大值；
当时，有最小值，∴的值域是．
18．已知是定义域为的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，不需要证明；
(3)解关于的不等式：.
答案：(1)；
(2)单调递增；
(3).
【详解】（1）令，则，，又为奇函数，所以，
所以.
（2）在上单调递增.
（3），由为奇函数可得，
因为在上单调递增，所以，解得，
所以不等式的解集为.
19．已知函数（是自然对数的底数）.
(1)讨论的单调性；
(2)是否存在实数a使得的图象关于点（0，1）对称？若存在，请求出实数a，若不存在，请说明理由.
答案：(1)答案详见解析
(2)存在，且.
【详解】（1），所以的定义域为，
，
根据复合函数单调性同增异减可知：
当时，，没有单调性.
当时，的单调递减区间是.
当时，的单调递增区间是.
（2）的定义域为，
假设存在实数，使的图象关于点对称，
此时，
，
，
.
20．已知函数.若为奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)判断函数在上的单调性，并给予证明；
(3)若成立，求实数t的取值范围.
答案：(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
【详解】（1）因为为奇函数，且由得
所以，即.
∴
∴，∴
（2）由（1）得，在上为递减的函数.设对，且，则
∵，且，∴，
∴
∴，即，所以在上单调递减.
（3）由题意得，
因为而∵，∴∴，
（令，则∴或）
∴所以，∴.
21．已知函数．
(1)若对任意，不等式恒成立，求的最小值；
(2)对于函数，若，b，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求实数的取值范围．
答案：(1)；(2).
【详解】（1）不等式，即为，
化简，即对任意恒成立，
记．
由于时，，则，
所以，故的最小值为．
（2）由于函数是“可构造三角形函数”，
首先，必有才能保证；其次，必需即可，
当时，是上的增函数，则的值域为，由得：；
当时，，符合题意；
当时，是上的减函数，则的值域为，由得：，
综上，实数的取值范围为.
22．已知实数，且函数，，，，，当时，的最小值记为.
(1)若，求函数的单调递减区间；
(2)，，，求实数m的取值范围.
答案：(1)；(2)
【详解】（1）解：当时，，，
由，解得，
由，解得或，
即，
，
，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
故函数的单调递减区间为.
（2）解：令，
得，解得或，
，解得，
，解得或，
，
，，
又因为函数关于直线对称，
故，
所以，
令，由，得，
由，有成立，
可知，
故，
又时，，
所以，解得.
函数
(a>0且a≠1)
图象
a>1
0
在x轴上方，过定点(0，1)
当x逐渐增大时，图象逐渐上升
当x逐渐增大时，图象逐渐下降
性质
定义域
R
值域
(0，+∞)
单调性
单调递增
单调递减
函数值变化规律
当x=0时，y=1
当x<0时，0
当x<0时，y>1；
当x>0时，0
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