高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题32指数函数的概念、图象与性质(原卷版+解析)

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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题32指数函数的概念、图象与性质(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了指数函数的定义，指数函数的图象和性质，新知拓展，下列函数，下列函数中，是指数函数的个数是，指出下列哪些是指数函数，函数y＝2ax是指数函数，则等内容，欢迎下载使用。

一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
温馨提示：指数函数解析式的3个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数．
(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
2．指数函数的图象和性质
3．新知拓展
(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0当a>b>1时，①若x>0，则ax>bx>1；②若x<0，则1>bx>ax>0.
当1>a>b>0时，①若x>0，则1>ax>bx>0；②若x<0，则bx>ax>1.
(2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x轴上方．
(3)当a>1时，x→－∞，y→0；当0题型一指数函数的概念
1．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x C． y＝3x－1 D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x
2．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x3
C．y＝3·2x D．y＝3－x
3．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－1.
A．0个B．1个
C．3个D．4个
4．下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
其中，指数函数的个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
5．下列函数中，是指数函数的个数是( )
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x.
A．1 B．2
C．3 D．0
6．指出下列哪些是指数函数．
(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；
(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；(8)y＝(2a－1)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＞\f(1,2)，且a≠1)).
7．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
8．函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝3B．a＝1
C．a＝3D．a>0且a≠1
9．函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________.
10．若函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是( )
A．4 B．1或3
C．3 D．1
11．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________.
12．指数函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是________．
13．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．
14．已知函数f(x)为指数函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)，则f(－2)＝________.
15．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(－2)＝________，f(1)＝________.
16．若点(a,27)在函数y＝(eq \r(3))x的图象上，则eq \r(a)的值为( )
A.eq \r(6) B．1
C．2eq \r(2) D．0
17．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a＝________，若g(x)＝4－x－2，
且g(x)＝f(x)，则x＝________.
18．已知f(x)＝2x＋eq \f(1,2x)，若f(a)＝5，则f(2a)＝________.
19．若f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，则eq \f(f2,f1)＋eq \f(f4,f3)＋eq \f(f6,f5)＋…＋eq \f(f2020,f2019)＝( )
A．1010 B．2020 C．2019 D．1009
题型二指数函数的图象及其应用
1．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))x的图象可能是( )
2．函数y＝3－x的图象是( )
A B C D
3．函数y＝2－|x|的大致图象是( )
4．函数y＝a－|x|(0A B C D
5．函数y＝－2－x的图象一定过第________象限．
6．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．07．已知08．若a>1，－1A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
9．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )
A．00B．a>1，且b>0
C．01，且b<0
10．若函数y＝ax＋m－1(a＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )
A．a＞1 B．a＞1，且m＜0
C．0＜a＜1，且m＞0 D．0＜a＜1
11．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
12．二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x的图象可能是( )
13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
14．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为( )
A．a15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
16．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
17．函数y＝2ax＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点( )
A．(0,1)B．(0，－1)
C．(－1,0)D．(1,0)
19．已知函数y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则m＋n＝( )
A．1 B．3
C．4 D．2
20．函数y＝a2x＋1＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
21．若函数y＝2－|x|－m的图象与x轴有交点，则( )
A．－1≤m＜0 B．0≤m≤1
C．0＜m≤1 D．m≥0
22．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.
23．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；
(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；
(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．
题型三指数函数的定义域与值域
1．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝eq \r(1－3x)；(2)y＝2 eq \s\up15(eq \f(1,x－4)) ; (3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15(eq \r(－|x|)) ; (4)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3；(5)y＝4x＋2x＋1＋2.
2．(1)求函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的定义域与值域；
(2)求函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x－1－4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋2，x∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x的值．
3．函数y＝eq \r(2x－1)的定义域是( )
A．(－∞，0)B．(－∞，0]
C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)
4．函数y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x)的定义域是________．
5．若函数y＝ eq \r(ax－1)的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为( )
A．a>0 B．a<1
C．06．若函数f(x)＝eq \r(ax－a)的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是( )
A．[0,1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(2，＋∞)
7．y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是( )
A．[1，＋∞)B．[2，＋∞)
C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)
8．函数y＝eq \r(16－4x)的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)
9．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x(x≥8)的值域是( )
A．R B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,256)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,256))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,256)，＋∞))
10．函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是( )
A．[0,1] B．[－1,0] C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
11．已知函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________．
12．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值域是________．
13．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－1的值域是________．
14．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x<0，,－2－x，x>0，))则函数f(x)的值域是________．
15．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
16．若定义运算a⊙b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a17．函数f(x)＝eq \f(3x,3x＋1)的值域是________．
18．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
19．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]．
(1)设t＝3x，x∈[－1,2]，求t的最大值与最小值；
(2)求f(x)的最大值与最小值．
a的范围
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
专题32 指数函数的概念、图象与性质
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
温馨提示：指数函数解析式的3个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数．
(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
2．指数函数的图象和性质
3．新知拓展
(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0当a>b>1时，①若x>0，则ax>bx>1；②若x<0，则1>bx>ax>0.
当1>a>b>0时，①若x>0，则1>ax>bx>0；②若x<0，则bx>ax>1.
(2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x轴上方．
(3)当a>1时，x→－∞，y→0；当0题型一指数函数的概念
1．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x C． y＝3x－1 D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x
[解析]由指数函数的定义知a>0且a≠1，故选D.
2．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x3
C．y＝3·2x D．y＝3－x
[解析]由指数函数的定义可知D正确．
3．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－1.
A．0个B．1个
C．3个D．4个
[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案] B
4．下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
其中，指数函数的个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
[解析]形如“y＝ax(a>0，且a≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B.
5．下列函数中，是指数函数的个数是( )
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x.
A．1 B．2
C．3 D．0
[解析] (1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数；
③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.
6．指出下列哪些是指数函数．
(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；
(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；(8)y＝(2a－1)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＞\f(1,2)，且a≠1)).
[解析] (2)是四次函数；(3)是－1与4x的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x不是常数．
它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数．
7．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
[解析]由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq \f(1,2)，且a≠1，
所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．
8．函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝3B．a＝1
C．a＝3D．a>0且a≠1
[解析]由指数函数的概念可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－22＝1，,a>0，,a≠1，))得a＝3.
9．函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________.
[解析]∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1.
10．若函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是( )
A．4 B．1或3
C．3 D．1
[解析]由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,a≠1，,a2－4a＋4＝1，))解得a＝3，故选C.
11．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________.
[解析]由指数函数的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2a＋2＝1，,a＋1>0，,a＋1≠1，))解得a＝1.
12．指数函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是________．
[解析]由题意知4＝a2，所以a＝2，因此f(x)＝2x，故f(－3)＝2－3＝eq \f(1,8).
13．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．
[解析]由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＋b＝5，,a0＋b＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝3，))
所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋3，所以f(－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2＋3＝4＋3＝7.
14．已知函数f(x)为指数函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)，则f(－2)＝________.
[解析]设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)得a－eq \f(3,2)＝eq \f(\r(3),9)，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，
所以f(－2)＝3－2＝eq \f(1,9).
15．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(－2)＝________，f(1)＝________.
[解析]设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，∵f(2)＝9，∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x.
∴f(－2)＝3－2＝eq \f(1,9)，f(1)＝3.
16．若点(a,27)在函数y＝(eq \r(3))x的图象上，则eq \r(a)的值为( )
A.eq \r(6) B．1
C．2eq \r(2) D．0
[解析]选A 点(a,27)在函数y＝(eq \r(3))x的图象上，∴27＝(eq \r(3))a，
即33＝3eq \f(a,2)，∴eq \f(a,2)＝3，解得a＝6，∴eq \r(a)＝eq \r(6).故选A.
17．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a＝________，若g(x)＝4－x－2，
且g(x)＝f(x)，则x＝________.
[解析]因为函数的图象过点(－1,2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－a＝2，所以a＝1，所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，
g(x)＝f(x)可变形为4－x－2－x－2＝0，解得2－x＝2，所以x＝－1.
18．已知f(x)＝2x＋eq \f(1,2x)，若f(a)＝5，则f(2a)＝________.
[解析]因为f(x)＝2x＋eq \f(1,2x)，f(a)＝5，则f(a)＝2a＋eq \f(1,2a)＝5.
所以f(2a)＝22a＋eq \f(1,22a)＝(2a)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(1,2a)))2－2＝23.
19．若f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，则eq \f(f2,f1)＋eq \f(f4,f3)＋eq \f(f6,f5)＋…＋eq \f(f2020,f2019)＝( )
A．1010 B．2020 C．2019 D．1009
[解析]不妨设f(x)＝2x，则eq \f(f2,f1)＝eq \f(f4,f3)＝…＝eq \f(f2020,f2019)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.
题型二指数函数的图象及其应用
1．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))x的图象可能是( )
[解析]02．函数y＝3－x的图象是( )
A B C D
[解析]∵y＝3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，∴B选项正确．
3．函数y＝2－|x|的大致图象是( )
[解析]y＝2－|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≥0.,2x，x<0，))画出图象，可知选C.
4．函数y＝a－|x|(0A B C D
[解析]y＝a－|x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))|x|，易知函数为偶函数，∵01，故当x>0时，函数为增函数，
当x<0时，函数为减函数，当x＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.
5．函数y＝－2－x的图象一定过第________象限．
[解析]y＝－2－x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x关于x轴对称，一定过第三、四象限．
6．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0[解析]从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0是由函数y＝ax(00，即b<0.
7．已知0[解析]由于0交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.
8．若a>1，－1A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
[解析]A,∵a>1，且－1]
9．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )
A．00B．a>1，且b>0
C．01，且b<0
[解析]函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(010．若函数y＝ax＋m－1(a＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )
A．a＞1 B．a＞1，且m＜0
C．0＜a＜1，且m＞0 D．0＜a＜1
[解析]选B,y＝ax(a＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y＝ax＋m－1的图象经过第一、三、四象限，必须将y＝ax向下移动．当0＜a＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1＜－1，所以m＜0，故选B.
11．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
[解析]当a>1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为选项A.
12．二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x的图象可能是( )
[解析]二次函数y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))2－eq \f(b2,4a)，其图象的顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，－\f(b2,4a)))，由指数函数的图象知0所以－eq \f(1,2)<－eq \f(b,2a)<0，再观察四个选项，只有A中的抛物线的顶点的横坐标在－eq \f(1,2)和0之间．
13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
[解析]由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知014．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为( )
A．a[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.
作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1解法二：根据图象可以先分两类：
③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．
15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
[解析]作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.
16．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
[解析]因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，
得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．
17．函数y＝2ax＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
[解析] 令x＋3＝0得x＝－3，此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.
即函数y＝2ax＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．
18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点( )
A．(0,1)B．(0，－1)
C．(－1,0)D．(1,0)
[解析] 当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1,0)．
19．已知函数y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则m＋n＝( )
A．1 B．3
C．4 D．2
[解析]选C,由题意知，当x＝1时，y＝3，故A(1,3)，m＋n＝4.
20．函数y＝a2x＋1＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
[解析]令2x＋1＝0得x＝－eq \f(1,2)，y＝2，所以函数图象恒过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2)).
21．若函数y＝2－|x|－m的图象与x轴有交点，则( )
A．－1≤m＜0 B．0≤m≤1
C．0＜m≤1 D．m≥0
[解析]易知y＝2－|x|－m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|－m.若函数y＝2－|x|－m的图象与x轴有交点，则方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|－m＝0有解，
即m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|有解．∵0＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|≤1，∴0＜m≤1.
22．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.
[解析] (1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．
(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．
(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．
(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．
(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．
23．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；
(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；
(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．
[解析] (1)f(x)的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b＝0，,a0＋b＝－2，))
又因为a＞0，且a≠1，所以a＝eq \r(3)，b＝－3.
(2)f(x)单调递减，所以0＜a＜1，又f(0)＜0.即a0＋b＜0，所以b＜－1.
故a的取值范围为(0,1)，b的取值范围为(－∞，－1)．
(3)画出|f(x)|＝|(eq \r(3))x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，
则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．
题型三指数函数的定义域与值域
1．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝eq \r(1－3x)；(2)y＝2 eq \s\up15(eq \f(1,x－4)) ; (3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15(eq \r(－|x|)) ; (4)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3；(5)y＝4x＋2x＋1＋2.
[解析] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，
故函数y＝eq \r(1－3x)的定义域为(－∞，0]．因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，
所以eq \r(1－3x)∈[0,1)，即函数y＝eq \r(1－3x)的值域为[0,1)．
(2)要使函数式有意义，则x－4≠0，解得x≠4.
所以函数y＝2 eq \s\up15(eq \f(1,x－4)) 的定义域为{x|x≠4}．
因为eq \f(1,x－4)≠0，所以2 eq \s\up15(eq \f(1,x－4)) ≠1，即函数y＝2 eq \s\up15(eq \f(1,x－4)) 的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(3)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0.所以函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15(eq \r(－|x|)) 的定义域为{x|x＝0}．
因为x＝0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15(eq \r(－|x|)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))0＝1，即函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15(eq \r(－|x|)) 的值域为{y|y＝1}．
(4)定义域为R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.
又∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3>0，∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3的值域为(0,16]．
(5)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.
因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
2．(1)求函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的定义域与值域；
(2)求函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x－1－4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋2，x∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x的值．
[解析] (1)由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}．当x≥2时，eq \r(x－2)≥0，
又因为0＜eq \f(1,3)＜1，所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \r(x－2)的值域为{y|0＜y≤1}．
(2)∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x－1－4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋2，∴y＝4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x－4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋2.令m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x＝m2.
由0≤x≤2，知eq \f(1,4)≤m≤1.∴f(m)＝4m2－4m＋2＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,2)))2＋1.
∴当m＝eq \f(1,2)，即当x＝1时，f(m)有最小值1；当m＝1，即x＝0时，f(m)有最大值2.
故函数的最大值是2，此时x＝0，函数的最小值为1，此时x＝1.
3．函数y＝eq \r(2x－1)的定义域是( )
A．(－∞，0)B．(－∞，0]
C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)
[解析]由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.[答案] C
4．函数y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x)的定义域是________．
[解析]由1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≥0得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，∴x≥0，∴函数y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x)的定义域为[0，＋∞)．
5．若函数y＝ eq \r(ax－1)的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为( )
A．a>0 B．a<1
C．0[解析]由ax－1≥0，得ax≥a0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴06．若函数f(x)＝eq \r(ax－a)的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是( )
A．[0,1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(2，＋∞)
[解析]∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a＞1.
7．y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是( )
A．[1，＋∞)B．[2，＋∞)
C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)
[解析]y＝2x在R上是增函数，且21＝2，故选B.
8．函数y＝eq \r(16－4x)的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)
[解析]要使函数有意义，须满足16－4x≥0.又因为4x＞0，所以0≤16－4x＜16，
即函数y＝eq \r(16－4x)的值域为[0,4)．
9．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x(x≥8)的值域是( )
A．R B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,256)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,256))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,256)，＋∞))
[解析]因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在[8，＋∞)上单调递减，所以010．函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是( )
A．[0,1] B．[－1,0] C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
[解析]∵0≤x≤1，∴1≤2x≤2，∴－1≤1－2x≤0，选B.
11．已知函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________．
[解析]∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在R上为减函数，∴m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－1＝3，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－2＝9，故m＋n＝12.
12．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值域是________．
[解析]设t＝－x2＋2x＝－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1，∴t≤1.
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1＝eq \f(1,2)，∴函数值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
13．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－1的值域是________．
[解析]∵x2－1≥－1，∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－1≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＝2，又y>0，∴函数值域为(0,2]．
14．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x<0，,－2－x，x>0，))则函数f(x)的值域是________．
[解析]由x<0，得0<2x<1；由x>0，∴－x<0,0<2－x<1，∴－1<－2－x<0，∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．
15．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
[解析](1)∵f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，∴a2－1＝eq \f(1,2)，则a＝eq \f(1,2).
(2)由(1)知，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1，x≥0.由x≥0，得x－1≥－1，于是0所以函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0,2]．
16．若定义运算a⊙b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a[解析]当x>0时，3x>3－x, f(x)＝3－x，f(x)∈(0,1)；当x＝0时，f(x)＝3x＝3－x＝1；
当x<0时，3x<3－x，f(x)＝3x，f(x)∈(0,1)．综上， f(x)的值域是(0,1]．
17．函数f(x)＝eq \f(3x,3x＋1)的值域是________．
[解析]数y＝f(x)＝eq \f(3x,3x＋1)，即有3x＝eq \f(－y,y－1)，由于3x＞0，则eq \f(－y,y－1)＞0，解得0＜y＜1，值域为(0,1)．
18．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
[解析]当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)为减函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a0－1＝2，,a2－1＝0))无解．
当a＞1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)为增函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a0－1＝0，,a2－1＝2，))解得a＝eq \r(3).
综上，a的值为eq \r(3).
19．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]．
(1)设t＝3x，x∈[－1,2]，求t的最大值与最小值；
(2)求f(x)的最大值与最小值．
[解析](1)设t＝3x，∵x∈[－1,2]，函数t＝3x在[－1,2]上是增函数，故有eq \f(1,3)≤t≤9，
故t的最大值为9，t的最小值为eq \f(1,3).
(2)由f(x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且eq \f(1,3)≤t≤9，
故当t＝1时，函数f(x)有最小值为3，当t＝9时，函数f(x)有最大值为67.
a的范围
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称