2024届高考数学一轮复习第3章第2节第5课时利用导数研究函数的零点问题学案

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考点1 讨论函数的零点个数——综合性
已知函数f(x)＝lnxx.
(1)判断f(x)的单调性，并比较2 0202 021与2 0212 020的大小；
(2)若函数g(x)＝a2(x－2)2＋x(2f(x)－1)，其中12≤a≤e2，判断g(x)的零点的个数，并说明理由．参考数据：ln 2≈0.693.
解：(1)函数f(x)＝lnxx，定义域是(0，＋∞)，
故f′(x)＝1-lnxx2.
令f′(x)＞0，解得0＜x＜e；令f′(x)＜0，解得x＞e，
故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
则f(2 020)＞f(2 021)，即ln20202 020＞ln20212 021，
故2 021ln 2 020＞2 020ln 2 021，
故ln 2 0202 021＞ln 2 0212 020，故2 0202 021＞2 0212 020.
(2)因为g(x)＝a2(x2－4x＋4)＋2ln x－x12≤a≤e2，
所以g′(x)＝ax＋2x－2a－1＝ax-1x-2x.
令g′(x)＝0，解得x＝2或x＝1a，
①当a＝12时，则g′(x)＝x-222x≥0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且g(2)＝2ln 2－2＜0，g(6)＝2ln 6－2＞0，
故g(2)g(6)＜0，故存在x0∈(2，6)，使得g(x0)＝0，故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点；
②当12