高考数学一轮复习第三章规范解答系列(一)利用导数研究函数问题学案

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(1)讨论f (x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f (x)>2ln a＋32.
思维拆解
第一步：求导．
第二步：对a分类讨论，判断f ′(x)的符号，得函数f (x)的单调性．
第三步：利用(1)的结论，求函数f (x)的最值．
第四步：构造函数g(a)＝1＋a2＋ln a－2ln a－32，求导，判断其单调性．
第五步：求函数g(a)的最小值，得结论．
规范解答
(1)解：f ′(x)＝aex－1，1分
当a≤0时，f ′(x)＜0，
所以函数f (x)在R上单调递减．2分
当a>0时，令f ′(x)>0，得x>－ln a；
令f ′(x)0时，函数f (x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f (－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a．6分
令g(a)＝1＋a2＋ln a－2ln a－32＝a2－ln a－12，a＞0，7分
所以g′(a)＝2a－1a.
令g′(a)>0，得a>22；令g′(a)2ln a＋32成立．12分
阅卷细则
(1)正确求导得1分．
(2)写出a≤0时的单调性得1分．
(3)a＞0时，正确解不等式得1分．
(4)写出a＞0时的单调性得1分．
(5)综述单调性得1分．
(6)求出a＞0时f (x)的最小值得1分．
(7)构造函数g(x)得1分．
(8)研究g(a)的单调性得2分．
(9)写出g(a)的单调性得1分．
(10)求g(a)的最小值得1分．
(11)综述得1分．