高考数学科学创新复习方案提升版第21讲利用导数研究函数的零点问题学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第21讲利用导数研究函数的零点问题学案（Word版附解析），共22页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
例1 (2022·新高考Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex－x，g(x)＝x－ln x.
(1)判断直线y＝b与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点分别有几个；
(2)证明：曲线y＝f(x)和y＝g(x)有且只有一个公共点；
(3)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
解 (1)设S(x)＝ex－x－b，S′(x)＝ex－1，
当x0，
故S(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，
所以S(x)min＝S(0)＝1－b.
当b0，S(x)无零点；
当b＝1时，S(x)min＝1－b＝0，S(x)有1个零点；
当b>1时，S(x)min＝1－b0，S(b)＝eb－2b，
设u(b)＝eb－2b，则当b>1时，u′(b)＝eb－2>0，
故u(b)在(1，＋∞)上为增函数，故u(b)>u(1)＝e－2>0，
故S(b)>0，故S(x)＝ex－x－b有两个不同的零点．
设T(x)＝x－ln x－b，T′(x)＝eq \f(x－1,x)，
当01时，T(x)min＝1－b0，T(eb)＝eb－2b>0，
所以T(x)＝x－ln x－b有两个不同的零点．
综上可知，当b1时，直线y＝b与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点个数都是2.
(2)证明：由f(x)＝g(x)得ex－x＝x－ln x，即ex＋ln x－2x＝0，
设h(x)＝ex＋ln x－2x，其中x>0，故h′(x)＝ex＋eq \f(1,x)－2，
设s(x)＝ex－x－1，则当x>0时，s′(x)＝ex－1>0，
故s(x)在(0，＋∞)上为增函数，
故s(x)＞s(0)＝0，即ex>x＋1，
所以h′(x)>x＋eq \f(1,x)－1≥2－1>0，
所以h(x)在(0，＋∞)上为增函数，
而h(1)＝e－2>0，heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e3)))＝eeq \f(1,e3)－3－eq \f(2,e3)