新高考数学一轮复习学案第4章第4讲 第3课时 利用导数探究函数的零点问题（含解析）

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考点一 判断、证明或讨论函数零点个数(综合型)
(2019·高考全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝2sin x－xcs x－x，f′(x)为f(x)的导数．证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点．
【证明】 设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cs x＋xsin x－1，g′(x)＝xcs x.
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，g′(x)>0；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，g′(x)0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在唯一零点．
所以f′(x)在(0，π)存在唯一零点．
eq \a\vs4\al()
判断函数零点个数的3种方法
已知f(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(ex,e)－3，F(x)＝ln x＋eq \f(ex,e)－3x＋2.
(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．
解：(1)f′(x)＝－eq \f(1,x2)＋eq \f(ex,e)＝eq \f(x2ex－e,ex2)，
令f′(x)＞0，解得x＞1，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，
所以f(x)在(0，1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增．
(2)F′(x)＝f(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(ex,e)－3，
由(1)得∃x1，x2，满足0＜x1＜1＜x2，
使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，＋∞)上大于0，
即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，
而F(1)＝0，x→0时，F(x)→－∞，x→＋∞时，
F(x)→＋∞，
画出函数F(x)的草图，如图所示．
故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个．
考点二 已知零点个数求参数范围(综合型)
函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图象如图所示：
(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求c的取值范围．
【解】 (1)因为f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋bx＋c，
所以f′(x)＝x2＋2ax＋b.
因为f′(x)＝0的两个根为－1，2，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＋2＝－2a，,－1×2＝b，))
解得a＝－eq \f(1,2)，b＝－2，
由导函数的图象可知(图略)，当－1