人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理优秀同步测试题

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考点分析及解题方法归纳：考点包含：分类加法计数原理；分布乘法计数原理；实际问题中的计数原理；代数中的计数原理；几何中的计数原理
课堂知识小结
考点巩固提升
知识归纳
一、两个计数原理
1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法
2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法
3、两个计数原理的区别
考点讲解
考点1：分类加法计数原理
例1．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．7种B．9种C．14种D．70种
【方法技巧】
根据分类加法计数原理求解即可
【变式训练】
1．为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立了19个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（ ）
A．11种B．19种C．30种D．209种
2．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.
3．如图，将钢琴上的12个键依次记为设．若且，则称为原位大三和弦；若且，则称为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为__________．
考点2：分布乘法计数原理
例2．如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法数为________.
【方法技巧】
【变式训练】
1．为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（ ）
A．120种B．150种C．210种D．216种
2．从地到地要经过地，已知从地到地有三条路，从地到地有四条路，则从地到地不同的走法有______种．
3．（1）将4封信投入3个信箱中，共有_______种不同的投法；
（2）某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有_________种不同的选法．
考点3：实际问题中的计数原理
例3．某同学从4本不同的数学资料，2本不同的语文资料，2本不同的英语资料中任选一本购买，则不同的选法共有（ ）
A．6种B．8种C．12种D．16种
【方法技巧】
根据题设条件直接确定不同的选法数.
【变式训练】
1．安排A，B，C三名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排的方法共有（ ）种.
A．1B．2C．3D．4
2．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
3．如图所示，在A，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有___________种.
考点4：代数中的计数原理
例4．用0，1，2，3，…，9十个数字可组成多少个不同的
(1)三位数？
(2)无重复数字的三位数？
(3)小于500且没有重复数字的自然数？
【方法技巧】
（1）根据分步乘法计数原理计算出正确答案.
（2）根据分步乘法计数原理计算出正确答案.
（3）根据分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.
【变式训练】
1．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )
A．18个B．15个
C．12个D．9个
2．甲､乙两人做从装有14个玻璃球的盒子中抓取玻璃球的游戏，规定：甲､乙两人轮流抓取，每次至少抓取1个，最多抓取4个，最后一次取完者获胜.若甲先抓取，为确保甲一定获胜，则甲第一次应该抓取的玻璃球个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为___________.
考点5：几何中的计数原理
例5．已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（ ）个.
A．10B．12
C．16D．20
【方法技巧】
本题以分子为载体，考查空间问题的计数问题，考查空间想象能力与推理能力
【变式训练】
1．凸八边形的对角线有（ ）条
A．20B．28C．48D．56
2．已知直线中的、、是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角．那么这样的直线的条数是______．
知识小结
一、两个计数原理
1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法
2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法
3、两个计数原理的区别
巩固提升
1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．若一个、均为非负整数的有序数对，在做的加法时，各位均不进位，则称为“简单的有序实数对”，称为有序实数对之值，则值为2004的“简单的有序实数对”的个数是（ ）．
A．10B．15C．20D．25
3．核糖核酸RNA是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体．参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ）
A．18B．16C．14D．10
5．某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ）
A．30B．14C．33D．90
6．某省新高考采用“”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（ ）
A．4种B．6种C．8种D．12种
7．仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（ ）种.
A．B．C．D．
8．元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（ ）
A．6种B．9种C．11种D．23种
二、多选题
9．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
10．现有6位同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每位同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数错误的是（ ）.
A．B．C．D．6×5×4×3×2
三、填空题
11．五名高中生报考三所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法有______种．
12．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有______种
13．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种．
14．若，则符合条件的二次函数的解析式有______个．
四、解答题
15．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
(1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
(2)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
16．书架的第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书.
(1)从这些书中任取1本数学､1本语文和1本英语共3本书的不同取法有多少种？
(2)从这些书中任取3本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？