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综合检测02-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册全册综合课时练习，共11页。试卷主要包含了已知下列命题等内容，欢迎下载使用。
2020—2021学年高二数学下学期
综合检测02
满分： 100分 时间： 60分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。
1.设数列 {an} 是公差为2的等差数列，且首项 a0=2 ，若 sn+1=a0Cn0+a1Cn1+a2Cn2+⋅⋅⋅+anCnn ，则 s11= （ ）
A. 12224 B. 12288 C. 12688 D. 13312
2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，正方形ABCD外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”．现从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为（ ）．
A. 37 B. 47 C. 314 D. 1114
3.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9;②他恰好击中目标3次的概率是 0.93×0.1 ；③他至少击中目标1次的概率是 1－0.14 ;④他恰好有连续2次击中目标的概率为 3×0.93×0.1 ;其中正确结论的序号是（ ）
A. ①④ B. ①③ C. ②③ D. ②④
4.设 m,n>0 ，若随机变量 ξ,η 的分布列如下：
ξ
-1
0
2
η
-52
12
132
P
m
12
n
则下列说法错误的是（ ）
A. m+n=12 B. P(ξ>0)0) C. E(ξ)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6.“十三五”期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人均收入持续增长.下面散点图反映了2016-2020年我国居民人均可支配收入(单位：元)情况.根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（ ）
A. 2016-2020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元
B. 2017-2020年，全国居民人均可支配收入均逐年增加
C. 根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元
D. 根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入一定大于30000元
7.习近平总书记在湖南省湘西州花垣县十八洞村考察时，首次提出“精准扶贫”概念，“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略.为配合国家“精准扶贫”战略，某省农业厅派出6名农业技术专家（4男2女）分成两组，到该省两个贫困县参加扶贫工作，若要求女专家不单独成组，且每组至多4人，则不同的选派方案共有（ ）种
A. 48 B. 68 C. 38 D. 34
8.从装有 n+1 个不同小球的口袋中取出 m 个小球（ 0
9.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为 P1=0.3 ；同时，有 n 个水平相同的人也在研究项目M ， 他们各自独立地解决项目M的概率都是 0.1 .现在李某单独研究项目M ， 且这 n 个人组成的团队也同时研究项目M ， 设这个 n 人团队解决项目M的概率为 P2 ，若 P2≥P1 ，则 n 的最小值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附：若X~Nμ-σ-2 ， 则Pμ-σ
11.两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是（ ）
A. y＝a•xb B. y＝a•ebx C. y＝a+blnx D. y=a⋅bex
12.某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表：
苗木长度 x (厘米)
38
48
58
68
78
88
售价 y (元)
16.8
18.8
20.8
22.8
24
258.8
由表可知，苗木长度 x (厘米)与售价 y (元)之间存在线性相关关系，回归方程为 y=0.2x+a ，则当苗木长度为150厘米时，售价大约为（ ）
A. 33.3 B. 35.5 C. 38.9 D. 41.5
第Ⅱ卷（非选择题 共40分）
二、填空题：本题共计4小题，共计16分。
13.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美､和谐的音乐，蟋蟀鸣叫的频率 y (每分钟鸣叫的次数)与气温 x (单位： ∘C )存在着较强的线性相关关系.某地研究人员根据当地的气温和蟋蟀鸣叫的频率得到了如下数据：
x(∘C)
21
22
23
24
25
26
27
y (次数/分钟)
24
28
31
39
43
47
54
利用上表中的数据求得回归直线方程为 y=bx+a ，若利用该方程知，当该地的气温为 30∘C 时，蟋蟀每分钟鸣叫次数的预报值为68，则 b 的值为________.
14.某同学在上学路要经过两个红绿灯十字路口，已知他在第一个十字路口遇到红灯的概率为 12 ，若他在第一个十字路口遇到红灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为 13 ；若他在第一个十字路口遇到绿灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为 23 .记他在上学路上遇到红灯的次数为 ξ ，则 P(ξ=0)= ________， ξ 的数学期望为________.
15.随着《生物多样性公约》第十五次缔约方大会(COP15)重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办，“生物多样性”的目标､方法和全球通力合作，又成为国际范围的热点关注内容.昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产云南，国家二级保护植物.为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株滇山茶测量胸径D(厘米)作为样本，通过数据分析得到 D∼N(12.5,4.52) ，若将 D≥21.5 的植株建档重点监测，据此估算10000株滇山茶建档的约有________株.附∶若 X~N(μ,σ2) ，则 P(μ-σ
三、解答题：本题共计4小题，共计24分。
17.从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表．
（1）共有多少种不同的选派方法？
（2）若女生甲必须担任语文科代表，共有多少种不同的选派方法？
（3）若男生乙不能担任英语科代表，共有多少种不同的选派方法？
（注意：用文字简要叙述解题思路，然后列出算式求值．）
18.下图是随机调查某城市1000名有固定工作的市民月收入状况所得的频率分布直方图：
（1）以频率估计概率，在该市任取一人，其月收入以所在区间的中点值为代表，记为 X ，求 X 的分布列､数学期望 E(X) 和方差 D(X) (计算结果保留小数点后一位).
（2）从频率分布直方图上看，该市具有固定工作的市民月收入近似服从正态分布，以样本估计总体的思想，用样本的数学期望估计 μ ，用样本的方差估计 σ2 ，就上述正态分布求解下列问题：
①计算该市具有固定工作的市民月收入不低于8500元的概率；
②在该市任取100名具有固定工作的市民，记这100人中月收入不低于8500元的人数为 Y ，求 Y 的数学期望(结果保留整数).
附：若 X∼N(μ,σ2) ，则 p(μ-σ
（2）当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品A，B两个系统进行检测．从A，B两个系统能够正常工作概率的大小判断，应优先检测哪个系统？
20.随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：
平均每周进行长跑训练天数
不大于2天
3天或4天
不少于5天
人数
30
130
40
若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”
附： k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) （n为样本容量）
P（k2≥k0）
0.500
0.400
0.250
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（1）经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数；
（2）根据上表的数据，填写下列 2×2 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关？
热烈参与者
非热烈参与者
合计
男
140
女
55
合计
答案解析
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】解：由等差数列的性质得a0+an=a1+an-1=a2+an-2=……=am+an-m ，
且Cn0=Cnn,Cn1=Cnn-1,Cn2=Cnn-2,…,Cnm=Cnn-m ， an=2(n+1)，
则Cnmam+Cnn-man-m=am+an-mCnm ，
所以sn+1=a0Cn0+a1Cn1+…+amCnm+…+anCnnsn+1=anCnn+an-1Cnn-1+…+an-mCnn-m+…+a0Cn0 ，
上式相加得，2sn+1=a0+anCn0+a1+an-1Cn1+…+an+a0Cnn
=a0+anCn0+Cn1+…+Cnn=2n+42n,
则sn+1=n+22n,
所以s11=12×210=12288
故答案为：B
2.【答案】 A
【解析】解： 从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点 ，共有N=C82种情况， 又任取的2个顶点取自同一片“风叶” 共有n=C41C32 ， 故由古典概型可知所求概率P=nN=C41C32C82=37
故答案为：A
3.【答案】 B
【解析】解：对于①，由题意易知，4次射击是相互之间没有影响，故正确；
对于②，由二项分布得恰好击中目标3次的概率是 C43×0.93×0.1 ， 故错误；
对于③， “至少击中目标1次”的对立事件为“4次射击都没射中”，故所求概率为 1－0.14 ，故正确；
对于④， 由题意知“恰好有连续2次击中目标的概率为 ”3×0.92×0.12 ， 故错误.
故答案为：B
4.【答案】 C
【解析】由分布列的性质可知 m+12+n=1 ，所以有 m+n=12 ，所以A项正确；
P(ξ>0)=P(ξ=2)=n ，
P(η>0)=P(η=12)+P(η=132)=12+n ，
因为 m,n>0 ，所以 12+n>n ，所以B项正确；
E(ξ)=(-1)⋅m+0⋅12+2⋅n=2n-m ， E(η)=-52⋅m+12⋅12+132⋅n=-52m+132n+14 ，
E(ξ)-E(η)=2n-m+52m-132n-14=32m-92n-14=32m-92(12-m)-14=6m-52 ，
因为 0
=m3-3m2n-32m2+6mn-6n2+4n3+4n
D(η)=m(6m-52+52)2+12(6m-52-12)2+n(6m-52-132)2
=36m3+18m2-18m+36m2n-108mn+81n+92 ，
且 m+n=12 ，
所以有 D(ξ)-D(η)=-35m3-392m2+4n3-6n2-77n-39m2n+114mn-92
=70m3-153m2+137m-44 ，
令 h(m)=70m3-153m2+137m-44 ，
所以 h'(m)=210m2-306m+137 ， Δ<0 ，所以 h'(m)>0 ，
所以 h(m) 在 (0,12) 上单调递增，
h(m)max=h(12)=70×18-153×14+137×12-44<0 ，
所以 D(ξ)
故答案为：C.
5.【答案】 B
【解析】①独立性检验可知，99%的把握认为物理成绩和数学成绩相关，不是99%物理成绩和数学成绩一样优秀，故①错误;
②由回归分析可知，相关指数R2越大，拟合效果越好，故②正确; .
③残差分析中，残差点分布宽度越窄，其拟合精度越高，故③正确;
④由逻辑联结词的真假可知④正确;
所以真命题有②③④，共3个
故答案为：B
6.【答案】 D
【解析】A：由散点图可知：2016-2020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元，所以本判断正确；
B：由散点图可知：2017-2020年，全国居民人均可支配收入均逐年增加，所以本判断正确；
C：根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元，所以本判断正确；
D：根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入有可能大于30000元，不是一定大于30000元，所以本判断不正确，
故答案为：D
7.【答案】 A
【解析】这样的6名专家第一类分组为2人、4人并派往两个贫困县参加扶贫工作，不考虑女专家不单独成组共有 C62⋅C44⋅A22 种，而女专家单独成组共有 1⋅A22 种，故此类共有 C62⋅C44⋅A22-1⋅A22=28 种；
第二类分组为3人、3人并派往两个贫困县参加扶贫工作，此类共有 C63⋅C332!⋅A22=20 种；
故不同的选派方案共有28+20=48种。
故答案为：A
8.【答案】 A
【解析】在 Cnm+Ck1⋅Cnm-1+Ck2⋅Cnm-2+…+Ckk⋅Cnm-k 中，从第一项到最后一项分别表示：
从装有 n 个白球， k 个黑球的袋子里，取出 m 个球的所有情况取法总数的和，故答案为从装有 n+k 个球中取出 m 个球的不同取法数 Cn+km ，故答案为：A.
9.【答案】 B
【解析】 ∵ 李某智商较高，他独自一人解决项目 M 的概率为 P1=0.3 ，
有 n 个水平相同的人也在研究项目 M ，他们各自独立地解决项目 M 的概率都是0.1，
现在李某单独研究项目 M ，且这 n 个人组成的团队也同时研究 M ，
设这个 n 人团队解决项目 M 的概率为 P2 ，
则 P2=1-Cn0(0.9)n ，
∵P2⩾P1 ， ∴1-0.9n⩾0.3 ，
解得 n≥4 ．
∴n 的最小值是4．
故答案为： B ．
10.【答案】 C
【解析】根据正态分布的性质，P0
【解析】解：由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数y＝a+blnx模型进行拟合，而A、B、D中函数值只能为负或只能为正，所以不符合散点图.
故答案为：C.
12.【答案】 C
【解析】因为 x=38+48+58+68+78+886 =63 ，
y=16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.86 =21.5 ，
所以样本点中心为 (63,21.5) ，
又回归直线 y=0.2x+a 经过 (63,21.5) ，
所以 21.5=0.2×63+a ，所以 a=8.9 ，
所以回归方程为 y=0.2x+8.9 ，
当 x=150 时， y=38.9 厘米.
则当苗木长度为150厘米时，售价大约为38.9厘米.
故答案为：C
二、填空题
13.【答案】 5
【解析】由题得 x=17(21+22+23+24+25+26+27)=24 ，
y=17(24+28+31+39+43+47+54)=38 ，
所以 38=24b+a ①，又 68=30b+a ②，
联立①②解方程组得 b=5 .
故答案为：5
14.【答案】 16；1
【解析】空一： P(ξ=0)=(1-12)⋅(1-23)=12×13=16 ；
空二： P(ξ=0)=16 ， P(ξ=1)=12×23+(1-12)×23=23 ， P(ξ=2)=12×13=16 ，
所以 ξ 的数学期望为 Eξ=0×16+1×23+2×16=1 ，
故答案为： 16 ；1
15.【答案】 228
【解析】由题意知： P(D≥21.5)=P(D≥μ+2σ) ，而 P(μ-2σ
故答案为：228。
16.【答案】 1121
【解析】所求概率 P=1-C52C72=1121。
故答案为： 1121。
三、解答题
17.【答案】 （1）解：先选后排.所以有 C53⋅C42⋅A55=7200 种
（2）解：先满足女生甲担任语文科代表，然后再选3男1女，担任其它学科课代表.有 C31⋅C53⋅A55=720 种.
（3）解：要分两类研究：一是选出男生乙，满足条件应该有 A41C42C42A44 种.
二是没选出男生乙 C43C42A55 种.所以共有 C43C42A55+A41C42C42A44C=6336 种方法
【解析】 （1）利用从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表，先选后拍了得到结论；
（2）根据女生甲必须担任语文科代表，先定特殊元素，然后剩余的任意选择即可；
（3）男生乙不能担任英语科代表，先定英语课代表，然后其余任意排列即可。
18.【答案】 （1）解：依题意得 X=2,4,6,8,10
由频率分布直方图得每段的频率依次为0.1，0.25，0.3，0.2，0.15，
所以频率估计概率得 P(X=2)=0.1,P(X=4)=0.25,P(X=6)=0.3,P(X=8)=0.2,P(X=10)=0.15
其分布列为：
X
2
4
6
8
10
P
0.1
0.25
0.3
0.2
0.15
所以 E(X)=0.1×2+0.25×4+0.3×6+0.2×8+0.15×10=6.1 ，
D(X)=0.1×(2-6.1)2+0.25×(4-6.1)2+0.3×(6-6.1)+0.2×(8-6.1)2+0.15×(10-6.1)2 =2×(0.05×4.12+0.125×2.12+0.15×0.12+0.1×1.92+0.075×3.92)=2×2.9 =5.8 ；
（2）解：依题意 X∼N(6.1,2.42) ， μ=6.1,σ=2.4 ，
①由 μ+σ=8.5 ，知 p(X≥8.5)=1-p(μ-σ
【解析】(1)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出 的分布列 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
(2) ①由正态分布中的数据代入数值计算出概率值； ②依题意结合正态分布中的数据代入到期望公式计算出答案即可。
19.【答案】 （1）解：A系统需要维修的概率为 C3112(12)2+(12)3=12 ，
B系统需要维修的概率为 C52(12)2(12)3+C5112(12)4+(12)5=12 ，
设X为该电子产品需要维修的系统个数，则 X~B(2,12) ， ξ=200X ．
P(ξ=200k)=P(X=k)=C2k⋅(12)k⋅(12)2-k(k=0,1,2) ，
∴ ξ 的分布列为
ξ
0
200
400
P
14
12
14
∴ Eξ=200×2×12=200 ．
（2）解：A系统3个元件至少有2个正常工作的概率为 PA=C32p2(1-p)+p3=-2p3+3p2 ，B系统5个元件至少有3个正常工作的概率为 PB=C53p3(1-p)2+C54p4(1-p)+p5=6p5-15p4+10p3 ，则
f(p)=PB-PA=6p5-15p4+12p3-3p2=3p2(p-1)2(2p-1) ．
∵ 00 ，解得 12
【解析】 （1）求出A系统需要维修的概率，B系统需要维修的概率，设X为该电子产品需要维修的系统个数， X~B(2,12) ， ξ=200X ， 求出概率得到分布列，然后求解期望；
（2）求出A系统3个元件至少有2个正常工作的概率，B系统5个元件至少有3个正常工作的概率，令 f(p)>0 ，解得 12
则 P(A)=40200=15
所以 x=30000×15=6000 人
（2）解：
热烈参与者
非热烈参与者
合计
男
35
105
140
女
5
55
60
合计
40
160
200
k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)≈7.292>6.635
所以热烈参与马拉松”与性别有关。
【解析】（1）根据古典概型的求法，结合题意直接求解即可；
（2）利用2×2列联表 ，根据独立性检验的求法直接求解.
2020—2021学年高二数学下学期
综合检测02
满分： 100分 时间： 60分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。
1.设数列 {an} 是公差为2的等差数列，且首项 a0=2 ，若 sn+1=a0Cn0+a1Cn1+a2Cn2+⋅⋅⋅+anCnn ，则 s11= （ ）
A. 12224 B. 12288 C. 12688 D. 13312
2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，正方形ABCD外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”．现从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为（ ）．
A. 37 B. 47 C. 314 D. 1114
3.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9;②他恰好击中目标3次的概率是 0.93×0.1 ；③他至少击中目标1次的概率是 1－0.14 ;④他恰好有连续2次击中目标的概率为 3×0.93×0.1 ;其中正确结论的序号是（ ）
A. ①④ B. ①③ C. ②③ D. ②④
4.设 m,n>0 ，若随机变量 ξ,η 的分布列如下：
ξ
-1
0
2
η
-52
12
132
P
m
12
n
则下列说法错误的是（ ）
A. m+n=12 B. P(ξ>0)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6.“十三五”期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人均收入持续增长.下面散点图反映了2016-2020年我国居民人均可支配收入(单位：元)情况.根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（ ）
A. 2016-2020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元
B. 2017-2020年，全国居民人均可支配收入均逐年增加
C. 根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元
D. 根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入一定大于30000元
7.习近平总书记在湖南省湘西州花垣县十八洞村考察时，首次提出“精准扶贫”概念，“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略.为配合国家“精准扶贫”战略，某省农业厅派出6名农业技术专家（4男2女）分成两组，到该省两个贫困县参加扶贫工作，若要求女专家不单独成组，且每组至多4人，则不同的选派方案共有（ ）种
A. 48 B. 68 C. 38 D. 34
8.从装有 n+1 个不同小球的口袋中取出 m 个小球（ 0
9.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为 P1=0.3 ；同时，有 n 个水平相同的人也在研究项目M ， 他们各自独立地解决项目M的概率都是 0.1 .现在李某单独研究项目M ， 且这 n 个人组成的团队也同时研究项目M ， 设这个 n 人团队解决项目M的概率为 P2 ，若 P2≥P1 ，则 n 的最小值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附：若X~Nμ-σ-2 ， 则Pμ-σ
11.两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是（ ）
A. y＝a•xb B. y＝a•ebx C. y＝a+blnx D. y=a⋅bex
12.某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表：
苗木长度 x (厘米)
38
48
58
68
78
88
售价 y (元)
16.8
18.8
20.8
22.8
24
258.8
由表可知，苗木长度 x (厘米)与售价 y (元)之间存在线性相关关系，回归方程为 y=0.2x+a ，则当苗木长度为150厘米时，售价大约为（ ）
A. 33.3 B. 35.5 C. 38.9 D. 41.5
第Ⅱ卷（非选择题 共40分）
二、填空题：本题共计4小题，共计16分。
13.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美､和谐的音乐，蟋蟀鸣叫的频率 y (每分钟鸣叫的次数)与气温 x (单位： ∘C )存在着较强的线性相关关系.某地研究人员根据当地的气温和蟋蟀鸣叫的频率得到了如下数据：
x(∘C)
21
22
23
24
25
26
27
y (次数/分钟)
24
28
31
39
43
47
54
利用上表中的数据求得回归直线方程为 y=bx+a ，若利用该方程知，当该地的气温为 30∘C 时，蟋蟀每分钟鸣叫次数的预报值为68，则 b 的值为________.
14.某同学在上学路要经过两个红绿灯十字路口，已知他在第一个十字路口遇到红灯的概率为 12 ，若他在第一个十字路口遇到红灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为 13 ；若他在第一个十字路口遇到绿灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为 23 .记他在上学路上遇到红灯的次数为 ξ ，则 P(ξ=0)= ________， ξ 的数学期望为________.
15.随着《生物多样性公约》第十五次缔约方大会(COP15)重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办，“生物多样性”的目标､方法和全球通力合作，又成为国际范围的热点关注内容.昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产云南，国家二级保护植物.为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株滇山茶测量胸径D(厘米)作为样本，通过数据分析得到 D∼N(12.5,4.52) ，若将 D≥21.5 的植株建档重点监测，据此估算10000株滇山茶建档的约有________株.附∶若 X~N(μ,σ2) ，则 P(μ-σ
三、解答题：本题共计4小题，共计24分。
17.从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表．
（1）共有多少种不同的选派方法？
（2）若女生甲必须担任语文科代表，共有多少种不同的选派方法？
（3）若男生乙不能担任英语科代表，共有多少种不同的选派方法？
（注意：用文字简要叙述解题思路，然后列出算式求值．）
18.下图是随机调查某城市1000名有固定工作的市民月收入状况所得的频率分布直方图：
（1）以频率估计概率，在该市任取一人，其月收入以所在区间的中点值为代表，记为 X ，求 X 的分布列､数学期望 E(X) 和方差 D(X) (计算结果保留小数点后一位).
（2）从频率分布直方图上看，该市具有固定工作的市民月收入近似服从正态分布，以样本估计总体的思想，用样本的数学期望估计 μ ，用样本的方差估计 σ2 ，就上述正态分布求解下列问题：
①计算该市具有固定工作的市民月收入不低于8500元的概率；
②在该市任取100名具有固定工作的市民，记这100人中月收入不低于8500元的人数为 Y ，求 Y 的数学期望(结果保留整数).
附：若 X∼N(μ,σ2) ，则 p(μ-σ
（2）当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品A，B两个系统进行检测．从A，B两个系统能够正常工作概率的大小判断，应优先检测哪个系统？
20.随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：
平均每周进行长跑训练天数
不大于2天
3天或4天
不少于5天
人数
30
130
40
若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”
附： k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) （n为样本容量）
P（k2≥k0）
0.500
0.400
0.250
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（1）经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数；
（2）根据上表的数据，填写下列 2×2 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关？
热烈参与者
非热烈参与者
合计
男
140
女
55
合计
答案解析
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】解：由等差数列的性质得a0+an=a1+an-1=a2+an-2=……=am+an-m ，
且Cn0=Cnn,Cn1=Cnn-1,Cn2=Cnn-2,…,Cnm=Cnn-m ， an=2(n+1)，
则Cnmam+Cnn-man-m=am+an-mCnm ，
所以sn+1=a0Cn0+a1Cn1+…+amCnm+…+anCnnsn+1=anCnn+an-1Cnn-1+…+an-mCnn-m+…+a0Cn0 ，
上式相加得，2sn+1=a0+anCn0+a1+an-1Cn1+…+an+a0Cnn
=a0+anCn0+Cn1+…+Cnn=2n+42n,
则sn+1=n+22n,
所以s11=12×210=12288
故答案为：B
2.【答案】 A
【解析】解： 从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点 ，共有N=C82种情况， 又任取的2个顶点取自同一片“风叶” 共有n=C41C32 ， 故由古典概型可知所求概率P=nN=C41C32C82=37
故答案为：A
3.【答案】 B
【解析】解：对于①，由题意易知，4次射击是相互之间没有影响，故正确；
对于②，由二项分布得恰好击中目标3次的概率是 C43×0.93×0.1 ， 故错误；
对于③， “至少击中目标1次”的对立事件为“4次射击都没射中”，故所求概率为 1－0.14 ，故正确；
对于④， 由题意知“恰好有连续2次击中目标的概率为 ”3×0.92×0.12 ， 故错误.
故答案为：B
4.【答案】 C
【解析】由分布列的性质可知 m+12+n=1 ，所以有 m+n=12 ，所以A项正确；
P(ξ>0)=P(ξ=2)=n ，
P(η>0)=P(η=12)+P(η=132)=12+n ，
因为 m,n>0 ，所以 12+n>n ，所以B项正确；
E(ξ)=(-1)⋅m+0⋅12+2⋅n=2n-m ， E(η)=-52⋅m+12⋅12+132⋅n=-52m+132n+14 ，
E(ξ)-E(η)=2n-m+52m-132n-14=32m-92n-14=32m-92(12-m)-14=6m-52 ，
因为 0
=m3-3m2n-32m2+6mn-6n2+4n3+4n
D(η)=m(6m-52+52)2+12(6m-52-12)2+n(6m-52-132)2
=36m3+18m2-18m+36m2n-108mn+81n+92 ，
且 m+n=12 ，
所以有 D(ξ)-D(η)=-35m3-392m2+4n3-6n2-77n-39m2n+114mn-92
=70m3-153m2+137m-44 ，
令 h(m)=70m3-153m2+137m-44 ，
所以 h'(m)=210m2-306m+137 ， Δ<0 ，所以 h'(m)>0 ，
所以 h(m) 在 (0,12) 上单调递增，
h(m)max=h(12)=70×18-153×14+137×12-44<0 ，
所以 D(ξ)
故答案为：C.
5.【答案】 B
【解析】①独立性检验可知，99%的把握认为物理成绩和数学成绩相关，不是99%物理成绩和数学成绩一样优秀，故①错误;
②由回归分析可知，相关指数R2越大，拟合效果越好，故②正确; .
③残差分析中，残差点分布宽度越窄，其拟合精度越高，故③正确;
④由逻辑联结词的真假可知④正确;
所以真命题有②③④，共3个
故答案为：B
6.【答案】 D
【解析】A：由散点图可知：2016-2020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元，所以本判断正确；
B：由散点图可知：2017-2020年，全国居民人均可支配收入均逐年增加，所以本判断正确；
C：根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元，所以本判断正确；
D：根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入有可能大于30000元，不是一定大于30000元，所以本判断不正确，
故答案为：D
7.【答案】 A
【解析】这样的6名专家第一类分组为2人、4人并派往两个贫困县参加扶贫工作，不考虑女专家不单独成组共有 C62⋅C44⋅A22 种，而女专家单独成组共有 1⋅A22 种，故此类共有 C62⋅C44⋅A22-1⋅A22=28 种；
第二类分组为3人、3人并派往两个贫困县参加扶贫工作，此类共有 C63⋅C332!⋅A22=20 种；
故不同的选派方案共有28+20=48种。
故答案为：A
8.【答案】 A
【解析】在 Cnm+Ck1⋅Cnm-1+Ck2⋅Cnm-2+…+Ckk⋅Cnm-k 中，从第一项到最后一项分别表示：
从装有 n 个白球， k 个黑球的袋子里，取出 m 个球的所有情况取法总数的和，故答案为从装有 n+k 个球中取出 m 个球的不同取法数 Cn+km ，故答案为：A.
9.【答案】 B
【解析】 ∵ 李某智商较高，他独自一人解决项目 M 的概率为 P1=0.3 ，
有 n 个水平相同的人也在研究项目 M ，他们各自独立地解决项目 M 的概率都是0.1，
现在李某单独研究项目 M ，且这 n 个人组成的团队也同时研究 M ，
设这个 n 人团队解决项目 M 的概率为 P2 ，
则 P2=1-Cn0(0.9)n ，
∵P2⩾P1 ， ∴1-0.9n⩾0.3 ，
解得 n≥4 ．
∴n 的最小值是4．
故答案为： B ．
10.【答案】 C
【解析】根据正态分布的性质，P0
【解析】解：由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数y＝a+blnx模型进行拟合，而A、B、D中函数值只能为负或只能为正，所以不符合散点图.
故答案为：C.
12.【答案】 C
【解析】因为 x=38+48+58+68+78+886 =63 ，
y=16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.86 =21.5 ，
所以样本点中心为 (63,21.5) ，
又回归直线 y=0.2x+a 经过 (63,21.5) ，
所以 21.5=0.2×63+a ，所以 a=8.9 ，
所以回归方程为 y=0.2x+8.9 ，
当 x=150 时， y=38.9 厘米.
则当苗木长度为150厘米时，售价大约为38.9厘米.
故答案为：C
二、填空题
13.【答案】 5
【解析】由题得 x=17(21+22+23+24+25+26+27)=24 ，
y=17(24+28+31+39+43+47+54)=38 ，
所以 38=24b+a ①，又 68=30b+a ②，
联立①②解方程组得 b=5 .
故答案为：5
14.【答案】 16；1
【解析】空一： P(ξ=0)=(1-12)⋅(1-23)=12×13=16 ；
空二： P(ξ=0)=16 ， P(ξ=1)=12×23+(1-12)×23=23 ， P(ξ=2)=12×13=16 ，
所以 ξ 的数学期望为 Eξ=0×16+1×23+2×16=1 ，
故答案为： 16 ；1
15.【答案】 228
【解析】由题意知： P(D≥21.5)=P(D≥μ+2σ) ，而 P(μ-2σ
故答案为：228。
16.【答案】 1121
【解析】所求概率 P=1-C52C72=1121。
故答案为： 1121。
三、解答题
17.【答案】 （1）解：先选后排.所以有 C53⋅C42⋅A55=7200 种
（2）解：先满足女生甲担任语文科代表，然后再选3男1女，担任其它学科课代表.有 C31⋅C53⋅A55=720 种.
（3）解：要分两类研究：一是选出男生乙，满足条件应该有 A41C42C42A44 种.
二是没选出男生乙 C43C42A55 种.所以共有 C43C42A55+A41C42C42A44C=6336 种方法
【解析】 （1）利用从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表，先选后拍了得到结论；
（2）根据女生甲必须担任语文科代表，先定特殊元素，然后剩余的任意选择即可；
（3）男生乙不能担任英语科代表，先定英语课代表，然后其余任意排列即可。
18.【答案】 （1）解：依题意得 X=2,4,6,8,10
由频率分布直方图得每段的频率依次为0.1，0.25，0.3，0.2，0.15，
所以频率估计概率得 P(X=2)=0.1,P(X=4)=0.25,P(X=6)=0.3,P(X=8)=0.2,P(X=10)=0.15
其分布列为：
X
2
4
6
8
10
P
0.1
0.25
0.3
0.2
0.15
所以 E(X)=0.1×2+0.25×4+0.3×6+0.2×8+0.15×10=6.1 ，
D(X)=0.1×(2-6.1)2+0.25×(4-6.1)2+0.3×(6-6.1)+0.2×(8-6.1)2+0.15×(10-6.1)2 =2×(0.05×4.12+0.125×2.12+0.15×0.12+0.1×1.92+0.075×3.92)=2×2.9 =5.8 ；
（2）解：依题意 X∼N(6.1,2.42) ， μ=6.1,σ=2.4 ，
①由 μ+σ=8.5 ，知 p(X≥8.5)=1-p(μ-σ
【解析】(1)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出 的分布列 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
(2) ①由正态分布中的数据代入数值计算出概率值； ②依题意结合正态分布中的数据代入到期望公式计算出答案即可。
19.【答案】 （1）解：A系统需要维修的概率为 C3112(12)2+(12)3=12 ，
B系统需要维修的概率为 C52(12)2(12)3+C5112(12)4+(12)5=12 ，
设X为该电子产品需要维修的系统个数，则 X~B(2,12) ， ξ=200X ．
P(ξ=200k)=P(X=k)=C2k⋅(12)k⋅(12)2-k(k=0,1,2) ，
∴ ξ 的分布列为
ξ
0
200
400
P
14
12
14
∴ Eξ=200×2×12=200 ．
（2）解：A系统3个元件至少有2个正常工作的概率为 PA=C32p2(1-p)+p3=-2p3+3p2 ，B系统5个元件至少有3个正常工作的概率为 PB=C53p3(1-p)2+C54p4(1-p)+p5=6p5-15p4+10p3 ，则
f(p)=PB-PA=6p5-15p4+12p3-3p2=3p2(p-1)2(2p-1) ．
∵ 0
【解析】 （1）求出A系统需要维修的概率，B系统需要维修的概率，设X为该电子产品需要维修的系统个数， X~B(2,12) ， ξ=200X ， 求出概率得到分布列，然后求解期望；
（2）求出A系统3个元件至少有2个正常工作的概率，B系统5个元件至少有3个正常工作的概率，令 f(p)>0 ，解得 12
则 P(A)=40200=15
所以 x=30000×15=6000 人
（2）解：
热烈参与者
非热烈参与者
合计
男
35
105
140
女
5
55
60
合计
40
160
200
k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)≈7.292>6.635
所以热烈参与马拉松”与性别有关。
【解析】（1）根据古典概型的求法，结合题意直接求解即可；
（2）利用2×2列联表 ，根据独立性检验的求法直接求解.
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