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(时间:120分钟,满分150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )
A.36 B.35
C.34 D.33
【答案】D 【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为CCA=36,但集合B,C中有相同元素1,由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个,故所求的个数为36-3=33.
2.在4次独立重复试验中,事件A出现的概率相同,若事件A至少发生一次的概率是,则事件A在一次试验中出现的概率是( )
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】设事件A在一次试验中出现的概率是p.由事件A至少发生1次的概率为,可知事件A一次都不发生的概率为1-=,所以(1-p)4=,则p=.
3.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…,则P(2<X≤4)等于( )
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=+=.
4.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】记事件A表示“第一次正面向上”,事件B表示“第二次反面向上”,则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==.
5.已知二项式n的展开式的二项式系数之和为64,则展开式中含x3项的系数是( )
A.1 B.
C. D.3
【答案】D 【解析】由2n=64得n=6,Tr+1=Cx6-r·r=Cx6-3r,令6-3r=3,得r=1,故含x3项的系数为C=3.
6.为了考察某种中成药预防流感的效果,抽样调查40人,得到如下数据:
项目 | 患流感 | 未患流感 |
服用药 | 2 | 18 |
未服用药 | 8 | 12 |
下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值:
α | 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 |
xα | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.579 |
根据表中数据,计算χ2=,若由此认为“该药物有效”,则该结论出错的概率不超过( )
A.0.05 B.0.1
C.0.01 D.0.005
【答案】A 【解析】完成2×2列联表
项目 | 患流感 | 未患流感 | 合计 |
服用药 | 2 | 18 | 20 |
未服用药 | 8 | 12 | 20 |
合计 | 10 | 30 | 40 |
χ2==4.8>3.841=x0.05.
7.某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析,得到如下数据:
记忆能力x | 4 | 6 | 8 | 10 |
识图能力y | 3 | 5 | 6 | 8 |
由表中数据,求得经验回归方程为=0.8x+,若某儿童记忆能力为12,则预测他的识图能力为( )
A.9.5 B.9.8
C.9.2 D.10
【答案】A 【解析】∵=×(4+6+8+10)=7,=×(3+5+6+8)=5.5,∴样本点的中心为(7,5.5),代入回归方程得5.5=0.8×7+,∴=-0.1,∴y=0.8x-0.1,当x=12时,y=0.8×12-0.1=9.5.
8.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有( )
A.40种 B.30种
C.20种 D.60种
【答案】C 【解析】分类解决.甲排周一,乙,丙只能是周二至周五4天中选两天进行安排,有A=12(种)方法;甲排周二,乙,丙只能是周三至周五选两天安排,有A=6(种)方法;甲排周三,乙,丙只能安排在周四和周五,有A=2(种)方法.由分类加法计数原理可知,共有12+6+2=20(种)方法.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则( )
A.a0=1
B.a1+a2+…+a7=129
C.a1+a3+a5+a7=8 256
D.a0+a2+a4+a6=8 128
【答案】BC 【解析】令x=0,则a0=-1,A错误;令x=1,得a7+a6+…+a1+a0=27=128①,所以a1+a2+…+a7=129,B正确;令x=-1,得-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7②,①-②,得2(a1+a3+a5+a7)=128-(-4)7,∴a1+a3+a5+a7=8 256,C正确;①+②,得2(a0+a2+a4+a6)=128+(-4)7,∴a0+a2+a4+a6=-8 128,D错误.
10.设离散型随机变量X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P | q | 0.4 | 0.1 | 0.2 | 0.2 |
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有( )
A.E(X)=2 B.D(X)=1.4
C.E(Y)=5 D.D(Y)=7.2
【答案】ACD 【解析】由离散型随机变量X的分布列的性质得q=1-0.4-0.1-0.2-0.2=0.1,E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,∵离散型随机变量Y满足Y=2X+1,∴E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2.故选ACD.
11.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是( )
A.若任意选择三门课程,选法总数为A
B.若物理和化学至少选一门,选法总数为CC
C.若物理和历史不能同时选,选法总数为C-C
D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,选法总数为CC-C
【答案】ABD 【解析】对于A,若任意选择三门课程,选法总数为C,错误;对于B,若物理和化学选一门,有C种方法,其余两门从剩余的5门中选,有C种选法,选法为CC;若物理和化学选两门,有C种选法,剩下一门从剩余的5门中选,有C种选法,有CC种,由分类加法计数原理知,总数为CC+CC,错误;对于C,若物理和历史不能同时选,选法总数为C-CC=(C-C)种,正确;对于D,有3种情况:①只选物理且物理和历史不同时选,有CC种选法;②选化学,不选物理,有CC种选法;③物理与化学都选,有CC种选法,故总数为CC+CC+CC=6+10+4=20(种),错误.故选ABD.
12.为研究需要,统计了两个变量x,y的数据情况如下表:
x | x1 | x2 | x3 | … | xn |
y | y1 | y2 | y3 | … | yn |
其中数据x1,x2,x3,…,xn和数据y1,y2,y3,…,yn的平均数分别为和,并且计算相关系数r=-0.8,经验回归方程为=+,则下列结论正确的为( )
A.点(,)必在回归直线上,即= +
B.变量x,y的相关性强
C.当x=x1,则必有y=y1
D.<0
【答案】ABD 【解析】A.回归直线=x+过样本点中心(,),即= +,所以A正确;B.相关系数r=-0.8,|r|>0.75,变量x,y的相关性强,所以B正确;C.当x=x1时,不一定有y=y1,因此C错误;D.因为r=-0.8<0,是负相关,所以<0,D正确;故选ABD.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.一射击测试中,每人射击3次,每击中目标一次记10分,没有击中目标记0分,某人每次击中目标的概率为,则此人得分的均值是________,得分的方差是________.
【答案】20 【解析】记此人3次射击击中目标η次,得分为ξ分,则η~B,ξ=10η,所以E(ξ)=10E(η)=10×3×=20,D(ξ)=100D(η)=100×3××=.
14.在二项式(+x)9的展开式中,常数项是________.
【答案】16 【解析】由二项展开式的通项公式可知Tr+1=C·()9-r·xr,令r=0,得常数项为C·()9·x0=()9=16.
15.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯,为了节省用电而又不能影响正常的照明,可以熄灭其中的3盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯,则熄灯的方法有________种(填数字).
【答案】56 【解析】由题意可知,最终剩余的亮着的灯共有9盏,且两端的必须亮着,所以可用插空的方法,共有8个空可选,所以应为C=56(种).
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.某校高三年级有6个班,现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛,且规定每班至少要选1人参加.求这10个名额有多少种不同的分配方法.
解:除每班1个名额以外,其余4个名额也需要分配.这4个名额的分配方案可以分为以下几类:
(1)4个名额全部分给某一个班,有C种分法;
(2)4个名额分给两个班,每班2个,有C种分法;
(3)4个名额分给两个班,其中一个班1个,一个班3个,共有A种分法;
(4)4个名额分给三个班,其中一个班2个,其余两个班每班1个,共有C·C种分法;
(5)4个名额分给四个班,每班1个,共有C种分法.
故共有C+C+A+C·C+C=126(种)分配方法.
17.已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a的值.
解:5的展开式的通项为Tr+1=C5-r·r=5-rCx,
令20-5r=0,得r=4,故常数项T5=×C=16.
又(a2+1)4展开式的各项系数之和等于2n,
由题意知2n=16,得n=4,
由二项式系数的性质知,(a2+1)4展开式中系数最大的项是中间项T3,
故有Ca4=54,解得a=±.
18.某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定为3 500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2 800元,否则月工资定为2 100元.令X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
(1)求X的分布列;
(2)求此员工月工资的均值.
解:(1)依题意知X所有可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
P(X=4)==.所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
(2)令Y表示此员工的月工资,则Y的所有可能取值为2 100,2 800,3 500,
则P(Y=3 500)=P(X=4)=,
P(Y=2 800)=P(X=3)=,
P(Y=2 100)=P(X≤2)=++=.
所以E(Y)=×3 500+×2 800+×2 100=2 280(元).所以此员工月工资的均值为2 280元.
19.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:
态度 | 性别 | 合计 | |
男性 | 女性 | ||
反感 | 10 |
|
|
不反感 |
| 8 |
|
总计 |
|
| 30 |
已知在这30人中随机抽取1人,抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析是否有90%的把握认为反感“中国式过马路”与性别是否有关?
(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和均值.
附:χ2=.
α | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
xα | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
解:(1)补充列联表如下:
态度 | 性别 | 合计 | |
男性 | 女性 | ||
反感 | 10 | 6 | 16 |
不反感 | 6 | 8 | 14 |
合计 | 16 | 14 | 30 |
由已知数据得χ2=≈1.158<2.706=x0.1.所以,没有90%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关.
(2)X的可能取值为0,1,2,P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==.
所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 |
P |
X的均值为E(X)=0×+1×+2×=.
20.近年来,随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加,某市空气中的PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势,如图是根据该市环保部门提供的2016年至2020年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图(为便于计算,把2016年编号为1,2017年编号为2,…,2020年编号为5).
(1)以PM2.5年均浓度值为因变量,年份的编号为自变量,利用散点图提供的数据,用最小二乘法求出该市PM2.5年均浓度值与年份编号之间的经验回归方程=x+;
(2)按世界卫生组织(WHO)过渡期-1的标准,空气中的PM2.5的年均浓度限值为35微克/立方米,该市若不采取措施,试预测到哪一年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期-1设定的限值.
解:(1)由散点图可得,变量xi,yi组成的几组数据为(1,13),(2,15),(3,20),(4,22),(5,25),则=3,
=19,所以=
=3.1.
=-=19-3.1×3=9.7.
所以所求经验回归方程为=3.1x+9.7.
(2)由3.1x+9.7>35,得x>8.16,因为x∈N,所以x=9.
故可预测到2024年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期-1设定的限值.
21.某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动.根据市场调查,该店决定从2种不同型号的洗衣机、2种不同型号的电视机和3种不同型号的空调中(不同种商品的型号不同),选出4种不同型号的商品进行促销,该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买任何一种型号的商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得m(m>0)元奖金.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是.
(1)求选出的4种不同型号商品中,洗衣机、电视机、空调都至少有1种型号的概率;
(2)设顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额(单位:元)为随机变量X,请写出X的分布列,并求X的均值;
(3)该店若想采用此促销方案获利,则每次中奖奖金要低于多少元?
解:(1)设“选出的4种不同型号商品中,洗衣机、电视机、空调都至少有1种型号”为事件A,则P(A)==.
(2)X的所有可能的取值为0,m,2m,3m.
P(X=0)=C0×3=,
P(X=m)=C1×2=,
P(X=2m)=C2×1=,
P(X=3m)=C3×0=,
所以顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额X的分布列为
X | 0 | m | 2m | 3m |
P |
于是顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额的均值是
E(X)=0×+m×+2m×+3m×=1.5m.
(3)要使促销方案对商场有利,应使顾客获得的奖金总额的均值低于商场的提价数额,因此应有1.5m<150,所以m<100.故每次中奖奖金要低于100元,才能使促销方案对商场有利.
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