2023年中考数学 章节专项练习38 相似、位似及其应用

这是一份2023年中考数学 章节专项练习38 相似、位似及其应用，共32页。试卷主要包含了故选D等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. (2019山东枣庄,12,3分)如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'＝1,则A'D等于（ ）
A.2 B.3 C.4 D.

第12题图
【答案】B
【思路分析】根据平移得到相似,由相似三角形面积比等于相似比的平方,得到相似比,进而得到两中线的比,求出A'D的长
【解题过程】由平移可得,△ABC∽△A'MN,设相似比为k,∵S△ABC＝16,S△A'MN＝9,∴k2＝16:9,∴k＝4:3,因为AD和A'D分别为两个三角形的中线,∴AD:A'D＝k＝4:3,∵AD＝AA'+A'D,∴AA':A'D＝1:3,∵AA'＝1,则A'D＝3,故选B

第12题答图
【知识点】图形的平移,相似三角形的性质

2.（2019山东淄博，8，4分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B. 若△ADC的面积为，则△ABD的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C.
【思路分析】在△BAC和△ADC中，∠C是公共角，∠CAD＝∠B.，则△BAC∽△ADC，根据相似三角形的性质求出△ABC的面积，进而求出△ABD的面积.
【解题过程】在△BAC和△ADC中，∵∠C是公共角，∠CAD＝∠B.，∴△BAC∽△ADC，∴,
∴，又∵△ADC的面积为，∴△ABC的面积为，∴△ABD的面积为.
【知识点】相似三角形的判定和性质

3. (2019四川巴中,8,4分)如图ABCD,F为BC中点,延长AD至E,使DE:AD＝1:3,连接EF交DC于点G,则S△DEG:S△CFG＝( )
A.2:3 B.3:2 C.9:4 D.4:9

第8题图
【答案】D
【解析】因为DE:AD＝1:3,F为BC中点,所以DE:CF＝2:3,ABCD中,DE∥CF,所以△DEG∽△CFG,相似比为2:3,所以S△DEG:S△CFG＝4:9.故选D.
【知识点】相似三角形,相似比

4.（2019四川乐山，8，3分）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
第8题图

【答案】A
【思路分析】先根据正方形性质与相似三角形的判定与性质求得DH的长，再求得阴影部分面积.

第8题答图
【解题过程】∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，∴AD=DC=1，CE=2，AD∥CE，∴△ADH∽△ECF，∴，∴，解得DH=，∴阴影部分面积为××1=，故选A.
【知识点】正方形性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积


5.（2019四川乐山，9，3分）如图，在边长为的菱形中，，过点作于点，现将△沿直线翻折至△的位置，与交于点.则等于（　　）
A． B．C．D．

第9题图
【答案】A
【思路分析】先根据菱形性质以及锐角三角函数求BE、EF、CF、DC，再利用相似三角形求CG的长.
【解题过程】∵，∴∠AEB=90°，菱形的边长为，，∴AE=AB=，
BE=CF==1.5，BF=3，CF=BF-BC=3-，∵AD∥CF，∴△AGD∽△FGC，∴，∴，解得CG=，故选A.
【知识点】菱形性质；锐角三角函数；相似三角形的判定与性质；轴对称性质

6.（2019四川凉山，10，4分）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC = 1∶2，O是BD的中点，连接A0并延长交BC 于 E，则BE∶EC=（ ）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶3
【答案】B
【思路分析】过点D作DF∥AE，利用平行线分线段成比例定理求BE∶EF,EF∶FC，再求BE∶EC.
【解题过程】过点D作DF∥AE，则,，∴BE∶EF∶FC=1∶1∶2，∴BE∶EC=1∶3.故选B.

【知识点】平行线分线段成比例定理

7.（2019四川眉山，9，3分）如图，一束光线从点A（4，4）出发，经y轴上的点C反射后，经过点B（1，0），则点C的坐标是（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，2）

【答案】B
【思路分析】过点A作AD⊥y轴于点D，利用△OBA∽△DAC，求出OC的长即可.
【解题过程】解：过点A作AD⊥y轴于点D，∵∠ADC=∠COB=90°，∠ACD=∠BCO，∴△OBA∽△DAC，∴，∴，解得：OC=，∴点C（0，），故选B.

【知识点】相似三角形的性质和判定

8.（2019四川眉山，12，3分）如图，在菱形ABCD中已知AB=4，∠ABC=60°，∠EAF=60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE=CF，②∠EAB=∠CEF；③△ABE∽△EFC，④若∠BAE=15°，则点F到BC的距离为，则其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个

【答案】B
【思路分析】连接AC，易得△ABC是等边三角形，利用△ABE≌△ACF，可得BE=CF；由△ABE≌△ACF，可得AE=AF，进而可得△AEF是等边三角形，进而可得∠EAB=∠CEF；求出△ABE和△EFC的角的度数，即可判断；过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题.
【解题过程】解：连接AC，在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°，即∠EAB=∠CAF，∵∠ABE=∠ACF=120°，∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF，故①正确；由△ABE≌△ACF，可得AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°，∴∠AEB+∠CEF=60°，∵∠AEB+∠EAB=60°，∴∠CEF=∠EAB，故②正确；在△ABE中，∠AEB＜60°，∠ECF=60°，∴③错误；过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=4，
∴BG=AB=2，AG=BG=，在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=，
∴EB=EG-BG=-2，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∵∠ABC=∠ACD=60°，∴∠ABE=∠ACF=120°
在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=-2，
在Rt△CHF中，∵∠HCF=180°-∠BCD=60°，CF=-2，∴FH=CF•sin60°=（-2）•=3-.
∴点F到BC的距离为3-.故④错误.故选B.

【知识点】菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，锐角三角形函数

9.（2019重庆市B卷，3，4）下列命题是真命题的是（　　　　）
　A.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3
　B.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9
　C.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个全角形的面积比为2:3
　D.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9
【答案】Ｂ
【解析】如果两个三角形相似,那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方.即如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9；面积比是相似比的平方，即16:81.故选Ｂ．
【知识点】真命题，假命题，相似比

10.（2019重庆A卷，3，4分）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
第3题图

【答案】C．
【解析】∵△ABO∽△CDO，∴．∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴．∴AB＝4．故选C．
【知识点】图形的相似；相似三角形的性质
11.（2019安徽省，7，4分）如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点．若，则的长为　　

A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
【答案】B
【解析】解：作交于点，则，
∴，
∵，，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
设，则，
，，
，
，，，
，
，
∴，即，解得，，
∴，
故选B．

【知识点】相似三角形的判定与性质

12.（2019四川南充，8，4分）已知△，，，则　　
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】解：△，．故选：B．
【知识点】相似三角形的性质

13.（2019甘肃武威，5，3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于　　

A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
【答案】B.
【解析】由相似图形的定义，得用放大镜将图形放大，图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换，故选B．
【知识点】几何变换

14.（2019广东广州，7，3分）如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．EH＝HG B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
【答案】B
【解析】解：∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，
∴EHAD＝2，HGAB＝1，
∴EH≠HG，故选项A错误；
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EH，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；
由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；
∵点E、F分别为OA和OB的中点，
∴EF，EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴，
即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，
故选：B．
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质

15.（2019广东省，10，3分）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，
∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，
∴AD＝4，AH＝2，
∠BAD＝90°，
∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，
∵∠ANH＝∠GNF，
∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；
∴∠AHN＝∠HFG，
∵AG＝FG＝2＝AH，
∴AFFGAH，
∴∠AFH≠∠AHF，
∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；
∵△ANH≌△GNF，
∴ANAG＝1，
∵GM＝BC＝4，
∴2，
∵∠HAN＝∠AGM＝90°，
∴△AHN∽△GMA，
∴∠AHN＝∠AMG，
∵AD∥GM，
∴∠HAK＝∠AMG，
∴∠AHK＝∠HAK，
∴AK＝HK，
∴AK＝HK＝NK，
∵FN＝HN，
∴FN＝2NK；故③正确；
∵延长FG交DC于M，
∴四边形ADMG是矩形，
∴DM＝AG＝2，
∵S△AFNAN•FG2×1＝1，S△ADMAD•DM4×2＝4，
∴S△AFN：S△ADM＝1：4故④正确，
故选：C．

【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质

16.（2019贵州黔东南，10，4分）如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（　　）

A．200cm2 B．170cm2 C．150cm2 D．100cm2
【答案】D
【解析】解：设AF＝x，则AC＝3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB3x，
∴3x＝30，解得x＝2，
∴AC＝6，BC＝12，
∴剩余部分的面积612（4）2＝100（cm2）．
故选：D．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用

二、填空题
1.（2019山东滨州，16，5分）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（－2，4），B（－4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是________________________．
【答案】（－1，2）或（1，－2）
【解析】点A的对应点C的坐标是（－2×，4×）或（－2×（－），4×（－）），即（－1，2）或（1，－2）．
【知识点】位似

2.（2019山东滨州，19，5分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有____________．（填写所有正确结论的序号）

【答案】①③④
【思路分析】由平行四边形的性质求出∠BCD的度数，再由角平分线的定义得出∠BCE的度数，进而得出△BCE是等边三角形，再由AB=2BC，得出△ACE是等腰三角形，可得△ABC为直角三角形，由中位线定理得出OE⊥AC，故①正确；或由等腰三角形的性质得出OE⊥AC；由中位线定理得出OF：BF=1：2，则S△AOD=S△BOC=3S△OCF，可得②错误；利用锐角三角函数或勾股定理得出AC与BC的关系，再用勾股定理得出OB与BC的关系，可得AC：BD=：7，故③正确；由OF：BF=1：2，将BF和DF都化成OF，可得④正确．
【解题过程】在ABCD中，AB∥DC，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=CE，∠BEC=60°．∵AB=2BC，∴AE=BE=CE，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴∠ACB=90°．在ABCD中，AO=CO，BO=DO，∴OE是△ACB的中位线，∴OE∥BC，∴OE⊥AC，故①正确；∵OE是△ACB的中位线，∴OE=BC，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴OF：BF=OE：BC=1：2，∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误；在Rt△ABC中，∵AB=2BC，∴AC=BC，∴OC=BC．在Rt△BCO中，OB==，∴BD=BC，∴AC：BD=BC：BC =：7，故③正确；∵OF：BF=1：2，∴BF=2OF，OB=3OF，∵OD=OB，∴DF=4OF，∴BF2=（2OF）2=4OF2，OF·DF=OF·4OF=4OF2，∴BF2=OF·DF，故④正确．
【知识点】角平分线的定义；平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；中位线定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数

3.（2019四川省凉山市，16，4）在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2∶3的两部分， 连接BE、AC相交于F，则S△AEF∶S△CBF是▲.
【答案】4：25或9∶25
【思路分析】分AE∶DE=2∶3与AE∶DE=3∶2两种情况讨论，借助相似三角形的性质求出面积比.
【解题过程】在□ABCD中，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF.如答图1，当AE∶DE=2∶3时，AE∶AD=2∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=2∶5,∴S△AEF∶S△CBF=4∶25；如答图2，当AE∶DE=3∶2时，AE∶AD=3∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=3∶5,∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.故答案为4∶25或9∶25.

（第16题图答图1） （第16题图答图2）
【知识点】三角形相似的判定与性质；分类讨论思想

17．（2019四川省凉山市，17，4）将抛物线y=(x-3)2-2向左平移个单位后经过点A(2，2)．
【答案】3
【思路分析】先假设平移后抛物线解析式，再代入A(2，2)求参数m.
【解题过程】设抛物线向左平移m个单位，则平移后的解析式为y=（x-3+m）2-2，将A（2，2）代入，有2=（2-3+m）2-2，解得：m1=-1（舍去），m2=3，∴m=3.故答案为3.
【知识点】抛物线的平移规律；待定系数法

4. （2019四川省自贡市，17，4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE=.

【答案】.
【解题过程】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB∥CD,
∴∠D=∠ABD,
∴∠CBD=∠D，
∴CD=BD=6.
在Rt△ABC中，AC==8.
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴,
∴CE=AE，DE=BE.
即CE=AC=×8=3.
在Rt△BCE中，BE=.
∴DE=BE=×3=.

【知识点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线性质

5.（2019浙江省衢州市，16，4分）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。
（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为。
（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7“字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2.依此类推，……摆放第n个“7”字图形得顶点Fn-1……则顶点F2019的坐标为。

【答案】（1） （2）（，405）
【思路分析】（1）根据图形分析△CDB与△OBA相似，根据相似三角形的性质计算OB：OA的值；
（2）连接CA,作FM⊥x轴于M，作CH⊥y轴于H，作CN⊥FM于N，根据△MAF与△OBA相似，△DCH与△BAO全等，根据勾股定理求得FN的值，从而求得点F的坐标，进而推得F1，F2，……F2019的坐标。
【解题过程】（1）因为∠DBC+∠BDC=90°，∠DBC+∠OBA=90°,∠DCB=∠BOA=90°,所以∠BDC=∠OBA，所以△CDB∽△OBA，所以OB:OA=CD:CB=.
（2）因为OB:OA=1:2,AB=1,由勾股定理得OB=,OA=.因为∠CDH=∠ABO，∠DHC=∠BOA=90°,CD=AB,所以△DHC≌△BOA,所以四边形OACH为矩形，DH=,HC=,同理△MAF∽△OBA，由AF=3得，AM=，FM=,在直角三角形NCF中，CN=AM=,CF=,NF==,在直角三角形ABC中，AC=,F点的坐标为（+，+）;根据规律F1比F的横坐标增加单位、纵坐标增加，F，F1点的坐标为（+×2，+×2）;F2比F1的横坐标增加单位，纵坐标增加单位，F2点的坐标为（+×3，+×3）; ……所以F2019的坐标为（+×2020，+×2020），即（，405）。
【知识点】图形变换相似三角形的判定和性质勾股定理数字与图形规律探究


6.（2019广东广州，16，3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：
①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．
其中正确的结论是　　．（填写所有正确结论的序号）

【答案】①④
【解析】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．

∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EHBE，∵AFBE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），

∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AG+GH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a﹣x，AFx，
∴S△AEF•（a﹣x）×xx2ax（x2﹣axa2a2）（xa）2a2，
∵0，
∴xa时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，
故答案为①④．
【知识点】正方形的性质；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
三、解答题
1.（2019重庆市B卷，25，10）在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.
（1）如图1，若∠D=30°，AB=，求△ABE的面积；
（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF，
求证：ED－AG=FC.

【思路分析】（1）过点E作EN⊥AB，交BA延长线于点N，先利用平行四边形及角平分线相关性质，求得特殊角及AE的值，再在Rt△ANE中，利用特殊角三角函数值，求出NE的长，最后根据三角形的面积公式，得到△ABE的面积；
（2）延长BE交CD延长线于点M，设，，，，根据AB∥CD，推得；再在Rt△ADF中，利用勾股定理推得，计算并进行相关字母的代换运算即可得出所求证的结论．
【解题过程】解：（1）过点E作EN⊥AB，交BA延长线于点N，垂足为N，
在□ABCD中，AD∥BC，AD∥CB，∠D=∠ABC=30°，∴∠ABC=∠EAN=30°；
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE=；
在Rt△AEN中，，，∴．
（2）延长BE交CD延长线于点M，设，，，，
∴在□ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且CD=，
∵AB=AF，∴AF=，∴GF=，
∵AB∥CD，∴∠ABM=∠M，∠CBE=∠AEB，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBE，∴∠ABM=∠AEB，∴AE=；
∵∠AEB=∠DEM，∴∠DEM=∠M，∴DM=，∴FM=，
∵AB∥CD，∴，∴，解得：；
∵AF⊥DC，∴∠F=90°，∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴AG+CF=
，∴DE-AG=CF.
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质；平行四边形；相似三角形；角平分线性质

2.(2019浙江台州,24题,14分)如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是BA延长线上的一点,连接PC交AD于点F,AP＝FD.
(1)求的值;
(2)如图1,连接EC,在线段EC上取一点M,使EM＝EB,连接MF,求证:MF＝PF;
(3)如图2,过点E作EN⊥CD于点N,在线段EN上取一点Q,使AQ＝AP,连接BQ,BN,将△AQB绕点A旋转,使点Q旋转后的对应点Q'落在AD上.请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上,并说明理由.

第24题图
【思路分析】(1)通过相似构造等量解得对应线段AF与FD的长度,来求解它们之间的比例;(2)通过连接PD,构造全等转化∠3与∠1相等,再利用第一问求得的AP的长度得到EP＝EC,从而得到∠1＝∠4,故转化∠3＝∠4,从而证明△PFD≌△FMC;(3)构造三角形,通过证明相似,求得对应线段长度,进行比较,从而得到结论.
【解题过程】(1)设AP＝x,则FD＝x,AF＝2－x,∵在正方形ABCD中,AB∥CD,∴△PAF∽△CDF,∴,∴,∴,∴解得,∵x＞0,∴,∴
(2)连接DP,∵PA＝DF,∠PAD＝∠ADC,AD＝CD,∴△PAD≌△FDC,∴∠3＝∠2,PD＝FC,又∵AB∥CD,∴∠1＝∠2,又∵EC＝,EB＝EM＝1,∴MC＝＝FD＝AP,∴PE＝PA+AE＝+1＝＝EC,∴∠1＝∠4,∴∠4＝∠3,又∵FD＝MC,PD＝FC,∴△PFD≌△FMC,∴PF＝FM

第24题答图(1)
(3)如图2,在AD上取一点Q',使AQ'＝AQ,在BN上取一点B',使AB'＝AB,连接B'Q',作B'G⊥AD于点G,交EN于点K,∵tan∠NBE＝2,AB＝AB'＝2,∴BB'＝,B'N＝BN＝BB'＝,∵△NB'K∽△NBE,∴B'K＝,KN＝,∴B'G＝,DG＝,∴Q'G＝3－－＝－,在Rt△B'GQ'中,∠B'GQ'＝90°,利用勾股定理可得B'Q'＝,而,∴B'Q'≠BQ,∴点B'不在BN上.

第24题答图(2)
【知识点】相似三角形,一元二次方程,全等三角形,平行线,勾股定理

3.（2019浙江省衢州市，24，12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6.∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F,G.
（1）求CD的长。
（2）若点M是线段AD的中点，求的值。
（3）请问当DM的长满是什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°？

【思路分析】（1）根据三角函数求得DC;
（2）证明△DFM≌△AGM，再利用△BFE∽△BGA由相似三角形相似比求得的值；
（3）根据∠CPG=60°，过C,P,G作外接圆，圆心为Q，△CQG是顶角为120°的等腰三角形，根据⊙Q与DE相切，经过点E，经过点D三种情况分别求得DM的长。
【解题过程】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠0AC=∠BAC=30°。…2分
在Rt△ADC中，DC=AC·tan30°=2，……4分
（2）易得，BC=6，BD=4.……5分
由DE∥AC，得∠EDA=∠DAC，∠DFM=∠AGM.
∵AM=DM，
∴△DFM≌△AGM，
∴DF=AG.
由DE∥AC.得△BFE∽△BGA，
∴==,…7分
∴====,…8分
(3）∵∠CPG=60°，过C,P,G作外接圆，圆心为Q
∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形。
①当⊙Q与DE相切时，如图1，过Q点作QH⊥AC，并延长HQ与DE交于点P，连接QC，QG。
设⊙Q的半径QP=r，则QH=r，r+r=2，解得r=，
∴CG=×=4,AG=2.
易知△DFM∽△AGM，可得==,则=。
∴DM=。.…9分
②当⊙Q经过点E时，如图2，过C点作CK⊥AB，垂足为K.
设⊙Q的半径QC=QE=r，则QK=3-r.
在Rt△EQK中，12+（3-r）2= r2，解得r=，
∴CG=×=
易知△DFM∽△AGM，可得DM=.……10分
③当⊙Q经过点D时，如图3，此时点M与点G重合，且给好在点A处，可得DM=4……11分
∴综上所述，当DM=或