2022年中考数学一轮复习习题精选《相似、位似及其应用》(含答案)

这是一份2022年中考数学一轮复习习题精选《相似、位似及其应用》(含答案)，共21页。试卷主要包含了018丰台区第一学期期末）②等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1、（朝阳区第一学期期末检测）小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”，
这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的
衡器，体现了杠杆原理. 小楠决定自己也尝试一下，
她找了一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆
的中点O并将其吊起来，在中点的左侧距离
中点25cm处挂了一个重1.6N的物体，在中点的
右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点20cm时
木杆平衡了，可以估计这个苹果的重大约是
(A) 1.28N (B) 1.6N
(C) 2N (D) 2.5N
答案：C
2、（朝阳区第一学期期末检测）如图，△ABC∽△A’B’C’，AD和A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的高，若AD＝2，
A’D’＝3，则△ABC与△A’B’C’的面积的比为
(A) 4：9 (B) 9：4
(C) 2：3 (D) 3：2

答案：A
3.（大兴第一学期期末）为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E. 如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于
A．120m B．67.5m
C．40m D．30m
答案：A
4.（东城第一学期期末）△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA,OB,OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是
A． 　　　 　B．
C．　　　　 D．
答案：D

5.（房山区第一学期检测）如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．若S△CMN=1，则S△ABC为__________
A．2 B． 3 C．4 D．5

答案：C
6.（房山区第一学期检测）如图，在△ABC中，，若AD=2,BD=3,则AC长为________
A． B． C． D．

答案：A
7.（丰台区第一学期期末）如果(），那么下列比例式中正确的是
A． B． C． D．
答案：C
8、018丰台区第一学期期末）②
①
③
④
“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置
A． ① B．② C．③ D．④
答案：B

9、（丰台区第一学期期末）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是



A B C D
答案：A
10.（年海淀区第一学期期末）如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若AB4，AD2，DE1.5，
则BC的长为
A．1 B．2
C．3 D．4

答案：C
11.（年海淀区第一学期期末）如图，△OAB∽△OCD，OA:OC3:2，∠Aα，∠Cβ，△OAB与△OCD的面积分别是和，△OAB与△OCD的周长分别是和，则下列等式一定成立的是
A． B．
C． D．

答案：D
12.（丰台区二模）如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图. 等腰直角三角板的斜边BD与地面AF平行，当小明的视线恰好沿BC经过旗杆顶部点E时，测量出此时他所在的位置点A与旗杆底部点F的距离为米. 如果小明的眼睛距离地面1.7米，那么旗杆EF的高度为
（A）米 （B）米
（C）米 （D）米
答案:B


13.（怀柔区第一学期期末）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB,AC上的点，且DE∥BC，若AD=4，BD=8，AE=2，则CE的长为
A．2 B．4 C．6 D．8

答案：B
14.（门头沟区第一学期期末调研试卷）如果，那么的结果是
A． B． C． D．
答案：B
15.（密云区初三（上）期末）如图，中，D、E分别是AB、AC上点，DE//BC，AD=2，DB=1，AE=3，则EC长
A. B. 1
C. D. 6
答案：C
16.（密云区初三（上）期末）如图，中，，AB=4，AC= 6，将沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是


A B C D
答案：D

17.（平谷区第一学期期末）已知，则的值是
（A） （B） （C） （D）
答案：A
18.（平谷区第一学期期末）如图，AD∥BE∥CF，直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长是
（A）4 （B）5 （C）6 （D）8

答案：C

19.（平谷区第一学期期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，则△CBD与△ABC的周长比是
（A） （B） （C） （D）

答案：D

20.（石景山区第一学期期末）如果()，那么下列比例式中正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：D
21.（顺义区初三上学期期末）右图是百度地图中截取的一部分，图中
比例尺为1：60000，则卧龙公园到顺义地铁站的实际距离约为
（注：比例尺等于图上距离与实际距离的比）
A．1.5公里 B．1.8公里 C．15公里 D．18公里

答案：B
22.（顺义区初三上学期期末）已知△ABC，D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC，AD=2，DB=3，△ADE面积是4，则四边形DBCE的面积是
A．6 B．9
C．21 D．25

答案：C
23.（通州区第一学期期末）如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点. 此时，竹竿与这一点距离相距6，与树相距15，那么这棵树的高度为（ ）.

A． B． C． D．
答案：B
24.（西城区第一学期期末）如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（　 ）．
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．

答案：D

25．（市东城区初二期末）如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是

A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE
解：C
26.（西城区二模） 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐
标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、
水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距
离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF.
观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水
平线上，则下列结论中，正确的是
A． B．
C． D．
答案：B

二、填空题
27.（昌平区二模）为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为2.0米，树的底部与平面镜的水平距离为8.0米，若小文的眼睛与地面的距离为1.6米，则树的高度约为______米（注：反射角等于入射角）.

答案：6.4





28．（平谷区中考统一练习）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是_________毫米．
答案

29．（西城区九年级统一测试）如图，在中，，分别与，交于，两点．
若，，则__________．
答案：2
30．（延庆区初三统一练习）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，
若AD＝1，BD＝3，则的值为 ．

答案：1：4
31.（海淀区二模）如图，四边形与四边形是以为位似中心的位似图形，满足，，，分别是，，的中点，则 ．




答案：

32．（石景山区初三毕业考试）如图，在△中，，分别是，边上的点， ∥．若，，
，则 ．
答案：4







33. （市朝阳区综合练习（一））如图，AB∥CD，AB=CD，S△ABO ：S△CDO= ．
答案1:4
34．（丰台区一模）在某一时刻，测得身高为1.8m的小明的影长为3m，同时测得一建筑物的影长为10m，那么这个建筑物的高度为　 m．
答案6
35. （怀柔区一模）如图,在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点E，若，则_____.
第12题图






答案
36．（门头沟区初三综合练习）如图，两个三角形相似，,则BD=______.
答案4




37.（朝阳区第一学期期末检测）如图，在平面直角坐标系中，△COD可以看作
是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、
旋转、位似）得到的，写出一种由△AOB得到
△COD的过程： .





答案：答案不唯一，如：以原点O为位似中心，位似比为，在原点O同侧将△AOB缩小，再将得到的三角形沿y轴翻折得到△COD.

38.（大兴第一学期期末）若△ABC∽△DEF，且BC∶EF=2∶3，则△ABC与△DEF的面积比等于_________．
答案： 4∶9
39.（东城第一学期期末）某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度. 为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）. 经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB,OA的长分别为0.7m,0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6 m，则旗杆MN的高度为 m .


答案：15

40.（房山区第一学期检测）如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里. 为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m，则河的宽度AB等于 m.

图1 图2

答案：6
41.（丰台区第一学期期末）如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A＇B＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A＇B＇的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A＇B＇的距离为 cm.
答案： 10


42.（年海淀区第一学期期末）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为 ．

答案：10
43.（怀柔区第一学期期末）若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为1∶3，则△ABC与△DEF的面积比等于 .
答案：1:9
44.（门头沟区第一学期期末调研试卷）如图，在△ABC中， DE分别与AB、AC相交于点D、E，且DE∥BC，如果，那么__________.

答案：

45.（密云区初三（上）期末），则 =_________________.
答案：

46.（密云区初三（上）期末）在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像，这种现象就是小孔成像（如图1）. 如图2，如果火焰AB的高度是2cm，倒立的像的高度为5cm，
蜡烛火焰根B到小孔O的距离为4cm，则火焰根的像到O的距离
是________cm.
答案：10
47.（石景山区第一学期期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为______．
答案：
48.（石景山区第一学期期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC=________．

答案：1
49.（顺义区初三上学期期末）如图标记了 △ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是 ．（只填一个即可）


答案：略

50.（通州区第一学期期末）如图，点为的边上一点，，.若，则

答案：
51.（西城区第一学期期末）如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果，AC=10，那么EC= .

答案：4

三、解答题
52.（朝阳区第一学期期末检测）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了
“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程.

已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.
求证：△ABC∽△A'B' C'.
证明：在线段A'B'上截取A'D=AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E.
由此得到△A'DE∽△A'B'C'.
∴∠A' DE=∠B'.
∵∠B=∠B'，
∴∠A' DE =∠B.
∵∠A'=∠A，
∴△A' DE≌△ABC.
∴△ABC∽△A'B'C'.
小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：
（1）首先，通过作平行线，依据 ，可以判定所作△A' DE与 ；
（2） 然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A' DE与 ；
（3）最后，可证得△ABC∽△A'B' C'.
答案：17．解：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； ………………………………………2分
△A'B'C' 相似；…………………………………………………………………4分
（2）△ABC全等. ……………………………………………………………………5分

53.（朝阳区第一学期期末检测）如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F.
（1）求证：△PAF∽△AED；
（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出
PA的长

答案：23. （1）证明：在正方形ABCD中，∠D= 90°，CD∥AB，
∴∠DEA=∠PAE.. …………………………………………………………1分
∵PF⊥AE，
∴∠D=∠AFP. …………………………………………………………2分
∴△PAF∽△AED. …………………………………………………………3分（2）1或. ………………………………………………………………………5分
54.（大兴第一学期期末）已知：如图，在△ABC中，D ，E分别为AB、 AC边上的点，且，连接DE. 若AC＝4，AB＝5.
求证：△ADE ∽△ACB.

证明：∵ AC=3，AB=5，，
∴ ．……………………………… 3分
∵ ∠A =∠A ，……………………………… 4分
∴ △ADE ∽△ACB ．……………………… 5分

55.（东城第一学期期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°.
（1）求证：△ADE∽△BEC.
（2）若AD=1，BC=3，AE=2, 求AB的长.

答案：19.（1）证明： ∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=90°．
∴∠1+∠3=90°．
∵∠DEC=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠3=∠2．
∴△ADE∽△BEC. --------------------3分
（2）解：由（1）可得，,
AD=1，BC=3，AE=2,
∴.

∴. -------------------5分

56.（房山区第一学期检测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．
（1）求证：△ABD∽△DCB．
（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．


答案：



57、（丰台区第一学期期末）如图，△ABC中，DE∥BC，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC的长.


答案：18. 解：∵DE∥BC，
∴.……2分
即．
∴EC＝6．……4分
∴AC＝AE + EC＝10． ……5分
其他证法相应给分.
58、（年海淀区第一学期期末）如图，在△ABC中，∠B90°，AB4，BC2，以AC为边作△ACE，∠ACE90°，AC=CE，延长BC至点D，使CD5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．





证明：∵ ∠B=90°，AB=4，BC=2，
∴ .
∵ CE=AC，
∴ .
∵ CD=5，
∴ . ………………3分
∵ ∠B=90°，∠ACE=90°，
∴ ∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°.
∴ ∠BAC=∠DCE.
∴ △ABC∽△CED. ………………5分
59、（怀柔区第一学期期末）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC＝4，AC＝8，CD=2．求证：△BCD∽△ACB.
第18题图



证明：∵BC＝4，AC＝8，CD=2.…………………………1分
∴………………………………………3分
又∵∠C=∠C ……………………………………4分
∴ △BCD∽△ACB……………………………………………………………………5分
60、（门头沟区第一学期期末调研试卷）18. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．
求证：△ABD∽△CBE.

证明： AB=AC，BD=CD
, ……………………………………2分
CE⊥AB
……………………………………4分

……………………………………5分

61.（密云区初三（上）期末）如图，BO是的角平分线，延长BO至D使得BC=CD.
（1）求证：.
（2）若AB=2，BC=4，OA=1，求OC长.







答案：（1）证明：
BO是的角平分线
…………………………………………..1分
BC=CD

……………………………………..2分
又
∽……………………………………………………….3分
（2）解：
∽
…………………………………………..4分
又 AB=2，BC=4，OA=1，BC=CD
OC=2 ……………………………………………….5分
62.（平谷区第一学期期末）如图，∠ABC=∠BCD=90°，∠A=45°，∠D=30°，BC=1，AC，BD交于点O．求的值．

答案：19．解：∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD． 1
∴∠A=∠ACD． 2
∴△ABO∽△CDO． 3
∴． 4
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=45°，BC=1，
∴AB=1．
在Rt△BCD中，∠BCD =90°，∠D=30°，BC=1，
∴CD=．
∴． 5

63.（平谷区第一学期期末）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=．求AF的长．

解：方法一：
∵□ABCD，
∴AD∥BC，OD=BD=． 1
∵∠CBD=30°，
∴∠ADB=30°．
∵EO⊥BD于O，
∴∠DOF=90°．
在Rt△ODF中，tan30°=，
∴OF=3． 2
∴FD=6．
过O作OG∥AB，交AD于点G．
∴△AEF∽△GOF．
∴．
∵EF=OF，
∴AF=GF．
∵O是BD中点，
∴G是AD中点． 3
设AF=GF=x，则AD=6+x．
∴AG=． 4
解得x=2．
∴AF=2． 5

方法二：延长EF交BC于H．
由△ODF≌△OHB可知，
OH=OF． 3
∵AD∥BC，
∴△EAF∽△EBH．
∴．
∵ EF=OF，
∴． 4
由方法一的方法，可求BH=6．
∴ AF=2．

64.（石景山区第一学期期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．
（1）求证：△ADF∽△DCE；
（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．



答案： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DAF =∠CDE， ……………………………………………… 1分
∵ DF⊥BA，CE⊥AD，
∴∠F=∠CED=90°，……………………………………………… 2分
∴△ADF∽△DCE； ………………………………………………3分
（2）解：∵△ADF∽△DCE，
∴
∴，
∴DC=9．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC
∴AB=9．…………………………………………………………5分
65.（顺义区初三上学期期末）如图，E是□ABCD的边BC延长线上一点，AE交CD于点F，FG∥AD交AB于点G．
（1）填空：图中与△CEF相似的三角形有 ；（写出图中与△CEF相似的所有三角形）
（2）从（1）中选出一个三角形，并证明它与△CEF相似．




答案：（1）△ADF，△EBA，△FGA；………………………….3分（每个一分）
（2）证明：△ADF∽△ECF
∵四边形ABCD为平行四边形
∴BE∥AD…………………………………………………….4分
∴∠1=∠E，∠2=∠D
∴△ADF∽△ECF…………………………………………….5分
（其它证明过程酌情给分）


66.（顺义区初三上学期期末）已知：如图，在△ABC的中，AD是角平分线，E是AD上一点，
且AB ：AC = AE ：AD．
求证：BE=BD．



证明：
∵AD是角平分线，
∴∠1=∠2，……………………………………….1分
又∵AB AD = AE AC，……………………….2分
∴△ABE∽△ACD，………………………………………..…….3分
∴∠3=∠4，……………………………………………………….4分
∴∠ BED=∠BDE，
∴BE=BD．………………………………………………………..5分
67.（西城区第一学期期末）如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE=∠ACB．
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）如果AB=6，AE=4，求AC，CD的长．

答案：