2023年中考数学 章节专项练习30 直角三角形、勾股定理

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一、选择题
1.（2019浙江湖州，9，3分）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形．P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
A．2 B． C． D．
第9题图

【答案】D．
【解析】如答图，取左下角的小正方形的中心O，作直线OP，得线段AB，则沿折痕AB裁剪，即可将该图形面积两等分．过点A作AC⊥BD于点C，则∠ACB＝90°．由中心对称的性质可知，BD＝EF＝AG，从而BC＝1．又AC＝3，故在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝．故选D．
第9题答图

【知识点】中心对称的性质；勾股定理；操作类问题

2. (2019浙江宁波,12,4分)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出（ ）
A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和

第12题图
【答案】C
【思路分析】由勾股定理可知,两个小正方形面积和等于大正方形面积,表示出阴影部分面积,即可得到结论.
【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影＝c2－a2－b2+b(a+b－c),由勾股定理可知,c2＝a2－b2,∴S阴影＝c2－a2－b2+S重叠＝S重叠,即S阴影＝S重叠,故选C.

第12题答图
【知识点】勾股定理,阴影面积

3.（2019重庆市B卷，12，4分）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点E，AE=1.连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面，得△AEF，连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为( )
A.8 B. C. D.

【答案】D
【思路分析】由题意得△ABC是等腰直角三角形，BE⊥AC，可得∠DBH=∠DAC，因为DG⊥DE，AD⊥BC可得∠BDG=∠ADE，可得△BGD≌AED（ASA），BG=AE=1，DG=DE，∠GED=45°.在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=，所以GE=，在Rt△DGE中，由勾股定理可得DE=DG=2-，因为D、F关于AE对称，所以∠FEC=∠DEC=45°，EF=DE=2-，可求四边形DFEG的周长为2（+2-）=.
【解析】∵∠ABC=45°，AD⊥BC
∴△ABC是等腰直角三角形
∴AD=BD
∵BE⊥AC，AD⊥BD
∴∠DAC=∠DBH
∴△DBH≌△DAC（ASA）
∵DG⊥DE，
∴∠BDG=∠ADE
∴△DBG≌△DAE（ASA）
∴BG=AE，DG=DE
∴△DGE是等腰直角三角形
∴∠DEC=45°
在Rt△ABE中，BE=
∴GE=
∴DE=
∵D、F关于AE对称
∴∠FEC=∠DEC=45°
∴EF=DE=DG=
DF=GE=
∴四边形DFEG的周长为2（+2-）=.故选D．

【知识点】等腰直角三角形的判定、三角形全等的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质
二、填空题
1.(2019山东枣庄,17,4分)把两个同样大小含45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB＝2,则CD＝________.

第17题图
【答案】－
【解析】在等腰直角△ABC中,∵AB＝2,∴BC＝,过点A作AM⊥BD于点M,则AM＝MC＝BC＝,在Rt△AMD中,AD＝BC＝,AM＝,∴MD＝,∴CD＝MD－MC＝－

第17题答图
【知识点】勾股定理

2. (2019四川巴中,15,4分)如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP＝6,BP＝8,CP＝10,则S△ABP+S△BPC＝________.

第15题图
【答案】16+24
【思路分析】旋转△ABP,使AB与CB重合,连接PP',可判定等边三角形和直角三角形,分别算出两个三角形的面积,则题中要求面积可得.
【解题过程】将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',所以BP＝BP',∠PBP'＝60°,所以△BPP'是等边三角形,其边长BP为8,所以S△BPP'＝16,因为PP'＝8,P'C＝PA＝6,PC＝10,所以PP'2+P'C2＝PC2,所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C＝24,所以S△ABP+S△BPC＝S△BPP'+S△PP'C＝16+24.
.

第15题答图
【知识点】图形的旋转,等边三角形,勾股定理的逆定理,三角形的面积

3.（2019贵州黔东南，20，3分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是　　．


【答案】15﹣5　
【解析】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°5，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．
故答案是：15﹣5．

【知识点】含30度角的直角三角形；勾股定理

4.（2019贵州黔东南，16，3分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为　　．

【答案】3
【解析】解：由勾股定理得，BC，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3，
故答案为：3．
【知识点】勾股定理

5.（2019湖北鄂州，15，3分）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝　　．

【答案】　
【解析】解：∵AO＝OB＝2，
∴当BP＝2时，∠APB＝90°，
当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴AP＝OA•tan∠AOP＝2，
∴BP2，
当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴BP＝OB•tan∠1＝2，
故答案为：2或2或2．

【知识点】勾股定理

三、解答题
1.(2019四川巴中,18,8分)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.①求证:EC＝BD;②若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.

第18题图
【思路分析】①由等腰直角三角形可得边和角的关系,从而得到△AEC≌△CDB,证得EC＝BD;②利用等面积法,用两种方法表示梯形AEDB的面积,得到等式,化简后可得勾股定理.
【解题过程】①因为△ABC是等腰直角三角形,所以∠ACB＝90°,AC＝BC,所以∠ACE+∠BCD＝90°,因为AE⊥EC,所以∠EAC+∠ACE＝90°,∴∠BCD＝∠CAE,因为BD⊥CD,所以∠AEC＝∠CDB＝90°,所以△AEC≌△CDB(AAS),所以EC＝BD;②因为△AEC≌△CDB,△AEC三边分别为a,b,c,所以BD＝EC＝a,CD＝AE＝b,BC＝AC＝c,∴S梯形＝(AE+BD)ED＝(a+b)(a+b),S梯形＝ab+c2+ab,所以(a+b)(a+b)＝ab+c2+ab,整理可得a2+b2＝c2,故勾股定理得证.
【知识点】等腰直角三角形,同角的余角相等,全等三角形,等面积法