知识点30 直角三角形、勾股定理2018--2

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A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】根据旋转的性质，得AC1=AC=6，∠CAC1=60°，∴∠BAC1=∠BAC +∠CAC1=30°+60°=90°．在Rt△ABC1中，BC1=eq \r(82＋62)=10，故选择C．
【知识点】旋转的性质，勾股定理
2. （2018山东省东营市，8，3分）如图所示圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【思路分析】将圆柱侧面展开得到一个矩形，可知蚂蚁爬行的最短距离就是展开图中线段AB的长。利用勾股定理可求。
【解题过程】将圆柱沿AB侧面展开，得到矩形如下：则有AB=3,BC=，在RT△ABC中，由勾股定理，得：AC===.
故选C.
【知识点】圆柱侧面展形，勾股定理，最小值。
4. （2018山东省东营市，10，3分）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC的内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE,AB=AC,给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④.
其中正确的是（ ）
A.①②③④ B. ②④ C. ①②④ D. ①③④
【答案】 A.
【思路分析】由△ABD≌△ACE可证得①②③正确，再利用勾股定理和等腰直角三角形的直角边与斜边的关系可证得第④个也正确。
【解题过程】∵∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE,AB=AC,
∴∠DAE+∠EAB=∠CAB+∠EAB,∠ABC=∠ACB=45°，
即：∠DAB=∠EAC
∵AD=AE,AB=AC,
∴△DAB≌△EAC
∴BD=EC,∠DBA=∠EAC，故①正确
∴∠ABD+∠ECB=∠ACE+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确
∵∠ABC=45°，
∴在△EBC中，∠EBA+∠ABC+∠ECB=90°，
∴∠BEC=90°，即BD⊥CE,故③正确，
∴在RT△BEC中，
在RT△DEC中，
∴==.
∵RT△ABC与RT△ADE都是等腰直角三角形
∴,,
∴=,故④正确。
故选A.
【知识点】全等三角形，等腰直角三角形，勾股定理。
5. （2018四川乐山，7，3） 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”.问这块圆形木材的直径是多少？”
如图3所示，请根据所学的知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A.13寸 B.20寸 C.26寸 D.28寸

图3
【答案】C
【解析】本题主要考查圆的相关知识，解决本题的关键是掌握和运用垂径定理和勾股定理.如图，根据题意可知，ED=1寸，AB=1尺=10寸，∵OD⊥AB，∴AD=BD=5寸，不妨设⊙O的半径为r，在△AOD中，，解得，∴圆形木材的直径AC的长为26寸，故答案为C.
【知识点】勾股定理；垂径定理
6.（2018江苏扬州，7，3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC
【答案】C
【解析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．
又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故选C．
【知识点】直角三角形的性质，三角形外角的性质，余角，角平分线的定义以及等腰三角形的判定
二、填空题
1. （2018黑龙江省龙东地区，9，3分） 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形．则这个等腰三角形的面积是________．
【答案】或或．
【思路分析】先画出基本图形△ABC，考虑到分割后的要求，所以用圆规帮助找等腰三角形的顶点．由于其中只有一个是等腰三角形，因此排除作AB或BC的垂直平分线．
【解题过程】（1）如图1，以B为圆心，AB长为半径画圆，交AC于点D1，连接BD1，则△ABD1是等腰三角形，且△BCD1不是等腰三角形．作BE⊥AC，则AD1＝2AE．∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，∴BE＝＝，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝，∴AD1＝，∴＝AD1·BE＝＝．
（2）如图2，以A为圆心，AB长为半径画圆，交AC于点D2，连接BD2，则△ABD2是等腰三角形，且△BCD2不是等腰三角形．作BF⊥AC，同（1）理可得BF＝，又AD2＝AB＝3，∴＝AD2·BF＝＝．
（3）如图3，以C为圆心，BC长为半径画圆，交AC于点D3，连接BD3，则△ABD3是等腰三角形，且△BCD3不是等腰三角形．作BG⊥AC，∴＝CD3·BG＝＝．
综上，这个等腰三角形的面积是或或．

图1图2图3
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质与判定；三角形的面积公式；尺规作图
2. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.
（1）的大小为__________（度）；
（2）在如图所示的网格中，是边上任意一点.为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________．
【答案】 (1). ； (2). 见解析
【解析】分析：（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图，取格点，，连接交于点；取格点，，连接交延长线于点；取格点，连接交延长线于点，则点即为所求.
详解：（1）∵每个小正方形的边长为1，
∴AC=，BC=，AB=,
∵
∴
∴ΔABC是直角三角形，且∠C=90°
故答案为90；
（2）如图，即为所求.
点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题.
3. （2018贵州铜仁，17，4）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=，则AB= .
【答案】4，【解析】根据CE垂直平分AD，得AC=CD，再根据等腰三角形的三线合一得∠ACE=∠ECD，结合角平分线定义和∠ACB=90°，得∠ACE=∠ECD=∠BCD=30°，所以∠ACD=∠ADC=∠A=60°，∠B=∠BCD=30°，∴AD=AC=CD，BD=CD，∴AB=2AD=2AC，在Rt△ACB中，∠B=30°，BC=，∴AC=，∴AB=2AC =4.
4. （2018江苏徐州，15，3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若∠C＝55°，则∠ABD＝ .
【答案】35°
5. （2018黑龙江哈尔滨，19，3）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_________________．
【答案】90°或130°，【解析】情况1当∠ADB＝90°时，∠ADC＝90°；情况2
当∠BAD＝90°时，∠ADC＝∠BAD＋∠B＝90°＋（180°－100°）÷2＝130°
6.（2018湖北十堰，16，3分）如图，Rt△ABC中，AB＝3，AC＝6EQ \R(,2)，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA＋DE的最小值为 ．
【答案】EQ \F(16,3)
【解析】作A关于BC的对称点A′，连接AA′，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A′D，此时AD＋DE的值最小，就是A'E的长；（如答图）
Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6EQ \R(,2)，
∴BC＝EQ \R(,3\S(2)＋(6\R(,2))\s\up3(2))＝9，
S△ABC＝EQ \F(1,2)AB•AC＝EQ \F(1,2)BC•AF，
∴3×6EQ \R(,2)＝9AF，解得 AF＝2EQ \R(,2)，
∴AA'＝2AF＝4EQ \R(,2)，
∵∠A'FD＝∠DEC＝90°，∠A'DF＝∠CDE，
∴∠A'＝∠C，
∵∠AEA'＝∠BAC＝90°，
∴△AEA'∽△BAC，
∴EQ \F(AA′,A′E)＝EQ \F(BC,AC)，即EQ \F(4\R(,2),A′E) ＝EQ \F(9,6\R(,2))，
∴A′E＝EQ \F(16,3)，即AD＋DE的最小值是EQ \F(16,3)；
故答案为：EQ \F(16,3)．
7. （2018云南，6，3分）在△ABC中，AB＝，AC＝5．若BC边上的高等于3，则BC边的长为________．
【答案】1或9．
【解析】设边BC上的高为AD．
当边BC上的高AD在△ABC的内部时，如答图1所示，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝＝＝5，在Rt△ACD中，由勾股定理得CD＝＝＝4，所以BC＝5＋4＝9．
在边BC上的高AD在△ABC的外部时，如答图2所示，同理BD＝5，CD＝4，所以BC＝5－4＝1．
（第6题答图1）
（第6题答图2）
三、解答题
1. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，24，10分）问题：如图①，在Rt△ABC中，ABAC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，ABAC，ADAE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC∠ACB∠ADC45°．若BD9，CD3，求AD的长．
第24题图
B
图②
E
A
C
D
C
图①
A
B
D
E
图③
A
B
C
D
【思路分析】（1）BD与CD在同一条直线上，且由于旋转使得AD和AE相等，且AB和AC相等，∴考虑三者是和的关系；（2）参考“问题”中的方法，旋转会出现全等三角形，∴考虑连接CE，构造全等三角形进行探索；（3）图形类似，∴类比前面的方法，设法构造出类似的图形，则问题得解．
【解题过程】问题：BC＝EC＋DC 2分
因为△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°．
又∵AD⊥AE，
∴∠EAD＝90°．
∴∠EAD－∠CAD＝∠BAC－∠CAD．
∴∠BAD＝∠CAE．
又∵AB＝AC，AE＝AD，
∴△ABD≌△ACE．
∴BD＝CE，
∴BC＝EC＋DC．
探索：线段AD，BD，CD之间满足的关系是BD2＋CD2＝2AD2．
证明：如图①，连接CE．
∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE． 3分
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE．
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°． 4分
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°．
∴BD⊥CE． 5分
∵∠EAD＝90°，AE＝AD，
∴ED＝AD．
在△ECD中，ED2＝CE2＋CD2，
∴BD2＋CD2＝2AD2． 6分
B
第24题答图①
E
A
C
D
应用：如图②，作AE⊥AD于点A，交DC的延长线于点E，连接BE． 7分
∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，∠EAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，AE＝AD．
∴ED＝AD．
由“探索”的证明可知，
BE＝CD，BE⊥CD． 8分
在Rt△BED中，BD2＝BE2＋DE2．
∴2AD2＝BD2－CD2． 9分
∵BD＝9，CD＝3，
∴2AD2＝92－32＝72．
∴AD＝6（负值舍去）． 10分
E
第24题答图②
A
B
C
D
【知识点】旋转，三角形全等，探索与归纳
2. （2018黑龙江哈尔滨，22，7）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD(不是正方形)，且点C和点D均在小正方形的项点上;
(2)在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上．连接CE，请直接写出线段CE的长．
【思路分析】（1）问利用小正方形找到直角，注意不能与AB相等．
（2）AB为腰，那么△ABE中的腰是，底边2，利用小正方形很容易找到。
【解答过程】
CE＝4