2023年中考数学 章节专项练习32 矩形、菱形与正方形

这是一份2023年中考数学 章节专项练习32 矩形、菱形与正方形，共27页。
一、选择题
1.（2019江苏省无锡市，7，3）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A.内角和为360° B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直
【答案】C
【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，故选C．
【知识点】矩形的性质；菱形的性质

2. (2019山东泰安,12,4分)如图,矩形ABCD中,AB＝4,AD＝2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB的最小值是（ ）
A.2 B.4 C.2 D.

第12题图
【答案】D
【思路分析】首先分析点P的运动轨迹,得到点P在△DEC的中位线上运动,点B到线段MN距离最短,即垂线段最短,过点B作MN的垂线,垂足为M,根据勾股定理可求出BM的长度.
【解题过程】∵F为EC上一动点,P为DF中点,∴点P的运动轨迹为△DEC的中位线MN,∴MN∥EC,连接ME,则四边形EBCM为正方形,连接BM,则BM⊥CE,易证BM⊥MN,故此时点P与点M重合,点F与点C重合,BP取到最小值,在Rt△BCP中,BP＝＝.

【知识点】三角形中位线,正方形的性质,勾股定理

3.（2019四川眉山，11，3分）如图，在矩形ABCD中AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．

【答案】B
【思路分析】连接CE，利用EO垂直平分AC，可得AE=CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出DE的长即可.
【解题过程】解：连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OA，AD=BC=8，DC=AB=6，∵EF⊥AC，OA=OC，∴AE=CE，在Rt△DEC中，DE2+DC2=CE2，即DE2+36=（8-DE）2，解得：x=，故选B.

【知识点】矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理

4.（2019四川攀枝花，6，3分）下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形
【答案】B
【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.故选B．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；菱形的判定；轴对称图形；中心对称图形

5.（2019四川攀枝花，10，3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G。连接AG，现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B
【解析】由题易知AD＝AB＝AF，则Rt△ADG≌Rt△AFG（HL）．
∴GD＝GF，∠DAG＝∠GAF．
又∵∠FAE＝∠EAB，
∴∠EAG＝∠GAF＋∠FAE＝（∠BAF＋∠FAD）＝∠BAD＝45°，所以①正确；
设GF＝x，则GD＝GF＝x．
又∵BE＝4，CE＝8，∴DC＝BC＝12，EF＝BE＝4．
∴CG＝12－x, EG＝4＋x．
在Rt△ECG中，由勾股定理可得82＋（12－x）2＝（4＋x）2 ，解得x＝6.
∴FG＝DG＝CG＝6，又∠FGC≠60°,∴△FGC不是等边三角形，所以②错误；
连接DF，由①可知△AFG和△ADC是对称型全等三角形，则FD⊥AG．
又∵FG＝DG＝GC，
∴△DFC为直角三角形，∴FD⊥CF，∴FC∥AG，∴③成立；

∵EC＝8,∴S△ECG＝EC·CG＝24，
又∵＝＝，
∴S△FCG＝S△ECG＝.
∴④错误，
故正确结论为①③,选B．
【知识点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等高不同底的三角形面积比

6.（2019浙江金华，10，3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM、GN是折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF面积相等，则的值是（ ）
A. B. C. D.

【答案】A．
【解析】连接EG,FH交于点O,由折叠得△OGF是等腰直角三角形，OF＝GF．∵正方形EFGH与五边形MCNGF面积相等，∴（OF＋FM）2＝GF＋GF＝GF2，∴GF＋FM＝GF，∴FM＝GF－GF，∴＝.故选A．

【知识点】正方形；折叠；直接开平方法；等腰直角三角形的性质；特殊角的锐角三角函数值

7. (2019浙江台州,8,4分)如图,有两张矩形纸片ABCD和EFGH,AB＝EF＝2cm,BC＝FG＝8cm,把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上,使重叠部分为平行四边形时,且点D与点G重合,当两张纸片交叉所成的角最小时,tan等于( )
A. B. C. D.

【答案】D
【解析】当点B与点E重合时,重叠部分为平行四边形且最小,∵两张矩形纸片全等,∴重叠部分为菱形,设FM＝x,∴EM＝MD＝8－x,EF＝2,在Rt△EFM中,EF2+FM2＝EM2,即22+x2＝(8－x)2,解之得:x＝,∴tan＝＝,故选D.

【知识点】矩形,菱形,勾股定理,三角函数

8. (2019浙江台州,10,4分)如图是用8块A性瓷砖(白色四边形)和8块B型瓷砖(黑色三角形)不重叠,无空隙拼接而成的一个正方形图案,图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为( )
A.:1 B3:2 C.:1 D.:2

第10题图
【答案】A
【思路分析】分割图形,选取一部分进行研究,利用正方形和等腰直角三角形的性质,分别计算白色和黑色部分的面积,进行计算即可.
【解析】如图,是原图的,过点E作EK⊥AC,作EF⊥BC,∴易证△AEK,△BEF为等腰直角三角形,设AK为x,则EK＝CF＝DF＝x,AE＝BD＝x,∴KC＝EF＝x,∴,
,∴故选A.

【知识点】正方形,等腰直角三角形

9.（2019重庆A卷，5，4）下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A．
【解析】根据矩形的定义，易知选项A正确，另外，对角线互相平分且相等的四边形是矩形；三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．
【知识点】四边形；矩形的判定

10.（2019安徽省，10，4分）如图，在正方形中，点，将对角线三等分，且，点在正方形的边上，则满足的点的个数是　　

A．0 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，

点，将对角线三等分，且，
，，
点与点关于对称
，


则在线段存在点到点和点的距离之和最小为
在线段上点的左右两边各有一个点使，
同理在线段，，上都存在两个点使．
即共有8个点满足，故选B．
【知识点】正方形的性质

11.（2019四川南充，12，4分）如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则　　

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，
，，
，，
，
在与中，，
，
，
故选：D．
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定和性质，

12.（2019广东广州，9，3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C．10 D．8
【答案】A
【解析】解：连接AE，如图：

∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∴AB4，
∴AC4；
故选：A．
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质
二、填空题
1. (2019山东泰安,18,4分)如图,矩形ABCD中,AB＝,BC＝12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,则折痕EF的长是________.

第18题图
【答案】2
【思路分析】连接CE,可得全等,CD＝CG,由折叠可知,FG＝FA,在Rt△FBC中,利用勾股定理求得FA的长,进而在Rt△AFE中,求得EF的长.
【解题过程】连接CE,∵点E是AD的中点,∴AE＝ED＝EG,∠EGC＝∠D,∴△EGC≌△EDC,∴GC＝AB＝,设AF＝GF＝x,∴FB＝－x,在Rt△FBC中,FB2+BC2＝FC2,即(－x)2+122＝(x+)2,解之,得:x＝,在Rt△AFE中,EF＝.

第18题答图
【知识点】折叠,全等三角形的判定,勾股定理,

2.（2019山东潍坊，16，3分）如图，在矩形ABCD中，AD=2．将∠A向内翻折，点A在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB= ．

【答案】
【思路分析】由翻折可得∠AED=∠A′ED=∠A′EB=60°，从而可得∠ADE=∠A′DE=∠A′DC=30°，根据角平分线性质可知A′C=A′B′=A′B，求出A′C的长度，解Rt△A′CD，得CD的长即为AB．
【解题过程】由翻折可得∠AED=∠A′ED=∠A′EB=60°，
∴∠ADE=∠A′DE=∠A′DC=30°．
∴A′D平分∠EDC，
∵A′B′⊥DE，A′C⊥DC，
∴A′C=A′B′．
∵A′B′=A′B
∴A′C=A′B，
∵BC=AD=2
∴A′C=1．
在Rt△A′DC中，
tan30°=．
∴DC=．
∴AB=．
【知识点】图形的翻折，轴对称，矩形，锐角三角比

3.（2019天津市，17，3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为

【答案】
【解析】由正方形ABCD可得Rt△ADE,由于AD=12,DE=5，由勾股定理可得AE=13。因为折叠可知，BF垂直平分AG，所以∠ABF=∠DAE,又因为AB=AD，∠BAD=∠DAE=90°，可以证明△ABF≌△DAE，得出AF=DE=5，设BF,AE交于点M，根据sin∠FAM=sin∠EAD可得AM=，由于折叠可知MG=AM=，从而可求得GE=13--=.
【知识点】折叠的性质；勾股定理；三角形全等；解直角三角形.

4.（2019浙江湖州，16，4分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是 ．
图1 图2
第16题图

【答案】．
【解析】如答图，延长ET交GH于点N，延长GJ交EF于点M，连接MN，则M、N分别为EF、GH的中点．由图1可知AC＝8，从而ET＝2＝TK＝KM，TM＝4，在Rt△ETM中，由勾股定理，得EM＝，从而EF＝2EM＝，因此答案为．
第16题答图

【知识点】七巧板；正方形的性质；勾股定理；中心对称．

5.（2019四川南充，16，4分）如图，矩形，，以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于点，两点，再分别以点，为圆心，以大于的长作半径作弧交于点，作射线交于点，若，则矩形的面积等于　　　　．

【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，
由作图知，是的平分线，
，
，
，
过作于，
，
，
，，
矩形的面积，
故答案为：．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；作图

6.（2019甘肃天水，17，4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为　　．

【答案】．
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，∵BF4，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x，
∴EF＝3﹣x，
∴sin∠EFC．
故答案为：．

【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形

7.（2019甘肃省，17，3分）如图，在矩形中，，，为上一点，把沿折叠，使点落在边上的处，则的长为．

【答案】
【解析】解：设，则由折叠性质可知，，，
在中，，，
，
，
在中，，即，
解得，
故答案为．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
三、解答题
1.（2019浙江衢州，18，6分）已知，如图，在菱形ABCD中，点E.F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连接AE，AF.

求证：AE=AF.
【思路分析】根据菱形的性质及已知条件证明△ABE≌△ADF。
【解题过程】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD.∠B-∠D. …2分
∵BE=DF，……3分
∴△ABE≌△ADF. ……5分
∴AE=CF. …6分
【知识点】菱形性质全等三角形的判定和性质


2.(2019浙江宁波,23,10分)如图,矩形EFGH的顶点E,C分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证:BG＝DE;
(2)若E为AD中点,FH＝2,求菱形ABCD的周长.

第23题图
【思路分析】(1)由菱形和矩形的性质,得到对应边,对应角相等,从而证明全等,得到结论;(2)连接EG,由矩形性质得到EG＝FH,证明四边形AEGB和四边形EGCD都是平行四边形,得到菱形边长,则周长可得.
【解题过程】(1)在矩形EFGH中,EH＝FG,EH∥FG,∠GFH＝∠EHF.∠BFG＝180°－∠GFH,∠DHE＝180°－∠EHF,∠BFG＝∠DHE,在菱形ABCD中,AD∥BC,∠GBF＝∠EDH,△BGF≌△DEH(AAS),BG＝DE;
(2) 如图,连接EG,在菱形ABCD中,AD∥BC,AD＝BC,∵E为AD中点,AE＝ED,BG＝DE,∴AE＝BG,∴四边形ABGE是平行四边形,∴AB＝EG,在矩形EFGH中,EG＝FH＝2,AB＝2,∴菱形周长为8.
【知识点】矩形性质,菱形性质,全等三角形,平行四边形的判定

3.（2019浙江湖州，21，8）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
第21题图

【思路分析】（1）先由三角形中位线性质，得EF∥AB，DF∥BC，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证．（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得DF＝DB＝AB＝3，而一组邻边相等的平行四边形是菱形，再利用菱形的性质即可锁定答案．
【解题过程】（1）∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴EF∥AB，DF∥BC．
∴四边形BEFD是平行四边形．
（2）∵∠AFB＝90°，AB＝6，D点是AB的中点，
∴DF＝DB＝AB＝3．
∴平行四边形BEFD是菱形．
∴BE＝EF＝DF＝BD＝3．
∴四边形BEFD的周长为4DF＝12．
【知识点】三角形的中位线；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形的性质．

4.（2019四川攀枝花，18，6分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：（1）点D在BE的垂直平分线上；（2）∠BEC＝3∠ABE．

【思路分析】（1）连接DE , 利用直角三角形斜边上的中线性质及等量代换得DE＝BD ,得证．（2）利用三角形的外角性质证∠BEC＝∠ABE＋∠A＝∠ABE＋∠ADE＝3∠ABE即可．
【解题过程】解：（1）连接DE．
∵CD是AB边上的高,
∴CD⊥AB．
∴∠ADC＝90°．
∵AE＝CE．
∴DE＝AC＝CE＝AE．
∵BD＝CE,
∴DE＝BD．
∴点D在线段BE的垂直平分线上．
（2）∵BD＝DE,
∴∠ADE＝2∠ABE＝2∠DEB．
∵DE＝AE,
∴∠A＝2∠ABE．
∴∠BEC＝∠ABE＋∠A＝3∠ABE．
【知识点】直角三角形斜边上的中线；线段的垂直平分线；三角形的外角性质

5.（2019四川省凉山市，20，6）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，E是OC上一点，连接EB.过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.求证：OE = OF.

【思路分析】先根据垂直定义以及正方形性质证明∠FAO=∠EBO，OA=OB，再证△AOF≌△BOE得出结论.
【解题过程】证明：在正方形ABCD中，∵AC⊥BD，AM⊥BE，∴∠AOF=∠BOE=∠AME=90°，∴∠FAO+∠AEB=∠EBO+∠AEB=90°，∴∠FAO=∠EBO，∵AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴△AOF≌△BOE（AAS），∴OE = OF.
【知识点】正方形性质；三角形全等的判定与性质；

6.(2019山东枣庄,20,8分)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD＝75°.
(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD与F(不要求写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)条件下,连接BF,求∠DBF的度数.

第20题图
【思路分析】(1)作AB的垂直平分线;(2)连接BF,设∠A＝x,通过等腰三角形等边对等角,得到∠BFD,通过菱形的性质,得到∠FBD,进而在△BFD中利用三角形内角和得到方程,求出x的值,则∠DBF的度数可求.
【解题过程】(1)如图所示,即为所求的图形
(2)连接BF,∵EF垂直平分AB,∴FA＝FB,∴设∠A＝∠ABF＝x,则∠DFB＝∠A+∠ABF＝2x,在菱形ABCD中,AD∥BC ,AD ＝AB ,∵∠CBD＝75°,∴∠ADB＝∠CBD＝75°,在△ABD中,∵AD ＝AB ,∴∠ABD＝∠ADB＝75°,∴∠DBF＝75°－x,在△BDF中,∠DFB＝2x,∠ADB＝75°,∠DBF＝75°－x,∠DFB+∠ADB+∠DBF＝180°,∴x＝30°,∴∠DBF＝45°

第20题答图
【知识点】菱形,线段垂直平分线,等边对等角,三角形的外角,三角形的内角和,一元一次方程

7.(2019山东枣庄,24,10分)在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,AD⊥BC于点D.
(1)如图1,点M,N分别在AD,AB上，且∠BMN＝90°,当∠AMN＝30°,AB＝2时,求线段AM的长;
(2)如图2,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF＝90°,求证:BE＝AF;
(3)如图3,点M在AD的延长线上,点N在AC上,且∠BMN＝90°,求证:AB+AN＝AM.

【思路分析】(1)在△ABD中得到BD和AD,在△BDM中求出MD,进而得到AM的长度;(2)通过证明△BED≌△AFD得到BE＝AF;(3)过点M作AB,AC的垂线,构造全等三角形,将AB+AN转化为正方形的两条边长的和,进而利用正方形的性质得到结论.
【解题过程】(1)在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于点D,∴BD＝DC,∠BAD＝∠BAC,∵∠BAC＝90°,∴∠BAD＝45°,在Rt△ABD中,∠BAD+∠ABD＝90°,∴∠ABD＝∠BAD＝45°,∴AD＝BD,∵AB＝2,∴AD＝BD＝AB＝,∵∠BMN＝90°,∠AMN＝30°,∴∠BMD＝60°,在Rt△BMD中,MD＝＝,∴AM＝AD－MD＝－;
(2)∵AD⊥BC,∴∠BDE+∠EDA＝90°,∵∠EDF＝90°,∴∠EDA+∠ADF＝90°,∴∠BDE＝∠ADF,在△ABC中,∠BAC＝90°,∴∠B+∠C＝90°,∵AD⊥BC,∴∠DAC+∠C＝90°,∴∠B＝∠DAF,∵AD＝BD,∴△BED≌△AFD(ASA),∴BE＝AF;
(3)过点M作ME⊥AB于点E,作MF⊥AC于点F,∴∠MEB＝∠MFN＝90°,∵AM平分∠BAC,∴ME＝MF,在四边形AEMF中,∵∠BAC＝∠MEB＝∠MFN＝90°,∴四边形AEMF是矩形,∠EMF＝90°,∴∠EMN+∠NMF＝90°,∵∠BMN＝90°,∴∠BME+∠EMN＝90°,∴∠BME＝∠NMF,∴△BME≌△NMF(ASA),∴BE＝NF,在矩形AEMF中,ME＝MF,∴矩形AEMF是正方形,∴AE＝AF＝AM,∴AB+AN＝AE+AF＝2×AM＝AM.

第24题答图(3)
【知识点】等腰直角三角形,三线合一,等角对等边,三角函数,全等三角形的判定,同角的余角相等,角平分线的性质,矩形的判定,正方形的判定

8.（2019山东省潍坊市，24，13分）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线l上，∠BAD=60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′．B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．
（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．
（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l于点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．

【思路分析】（1）根据平行线分线段成比例求得MB′=ND′，证明△AB′M≌△AD′N，从而得到∠B′AM=∠D′AN=α，根据∠BAD=60°，求得α的大小；（2）先证明△AB′E≌△AD′G，得到EB′=GD′，AE=AG，再证明△AHE≌△AHG，得到EH=GH，从而△HEB′的周长= B′D′=BD，进一步求出菱形的周长．
【解题过程】（1）∵MN∥B′D′
∴
又∵C′B′=C′D′
∴MB′=ND′
在△AB′M和△AD′N中
AB′=AD′，∠AB′M=∠AD′N，B′M=D′N
∴△AB′M≌△AD′N
∴∠B′AM=∠D′AN
又∵∠D′AN=α
∴∠B′AM=α
∴∠B′AM=∠BAB′=∠BAC=∠BAD=15°
即α=15°
（2）在△AB′E和△AD′G中，
∠AB′E=∠AD′G，∠EAB′=∠GAD′，AB′=AD′
∴△AB′E≌△AD′G
∴EB′=GD′，AE=AG
在△AHE和△AHG中，
AE=AG，∠EAH=∠GAH，AH=AH
∴△AHE≌△AHG
∴EH=GH
∵△HEB′的周长为2
∴EH+EB′+B′H=2
∴GH+GD′+B′H=2
∴B′D′=BD=2
∴菱形ABCD的周长为8．
【知识点】菱形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质

9.(2019山东泰安,25,14分)如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF＝90°,FG⊥AD,垂足为点G.
(1)试判断AG与FG是否相等?并给出证明;
(2)若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.

第25题图
【思路分析】(1)在BC边上取BM＝BE,构造三角形全等,进而证明△AFG是等腰直角三角形,得到AG＝FG;(2)延长GH交CD于点Q,构造三角形全等,通过等量代换得到△DGQ是等腰三角形,利用三线合一得出DH⊥GH.
【解题过程】(1)AG＝FG.证明如下:
在BC边上取BM＝BE,连接EM,AF,∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝BC,AE＝CM,∵∠CEF＝90°,∴∠AEF+∠BEC＝90°,∵∠BEC+∠BCE＝90°,∴∠AEF＝∠BCE,又∵CE＝EF,∴△AEF≌MCE,∴∠EAF＝∠EMC＝135°,又∵∠BAD＝90°,∴∠DAF＝45°,又∵FG⊥AD,∴AG＝FG.
(2)DH⊥GH.证明如下:
延长GH交CD于点Q,∵四边形ABCD是正方形,∴AD⊥CD,∵FG⊥AD,∴FG∥CD,∴∠GFH＝∠DCH,又∵∠GHF＝∠CHQ,FH＝CH,∴△FGH≌△CQH,∴GH＝HQ,FG＝CQ,∴AG＝CQ,∴DG＝DQ,∴△DGQ是等腰三角形,∴DH⊥GH.

第25题答图
【知识点】全等三角形的判定,等腰直角三角形,正方形,等腰三角形三线合一

10.(2019山东聊城,21,8分)在菱形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP,点E,F是AP上的两点,连接DE,BF,使得∠AED＝∠ABC,∠ABF＝∠BPF.
求证:(1)△ABF≌△DAE;(2)DE＝BF+EF.

第21题图
【思路分析】(1)由菱形性质得到边相等和平行,然后进行角的转化,得到三角形全等的条件进行证明;(2)由全等得到对应边相等,通过转化,得到结论.
【解题过程】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD,AD∥BC,∴∠BPA＝∠DAE.在△ABP和△DAE中,又∵∠ABC＝∠AED,∴∠BAF＝∠ADE.∵∠ABF＝∠BPF且∠BPA＝∠DAE,∴∠ABF＝∠DAE,又∵AB＝DA,∴△ABF≌△DAE(ASA);
(2)∵△ABF≌△DAE,∴AE＝BF,DE＝AF,∵AF＝AE+EF＝BF+EF,∴DE＝BF+EF.
【知识点】菱形性质,平行线的性质,全等三角形

11.（2019山东滨州，24，13分）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．

【思路分析】（1）根据题意和翻着的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．
【解题过程】（1）证明：由题意可得，
△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE．………………………………………2分
∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，…………………3分
∴FG＝EC，………………………………………………………………………………4分
∴四边形CEFG是平行四边形．………………………………………………………5分
又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形．………………………………………………6分
（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，………………………………7分
∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，
∴AF＝8，∴DF＝2．
设EF＝x，则CE＝x，DE＝6－x，……………………………………………………8分
∵FDE＝90°，
∴22+（6－x）2＝x2，
解得x＝，……………………………………………………………………………12分
∴CE＝，
∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝×2＝．…………………………………13分
【知识点】矩形的性质；折叠的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；勾股定理

12.（2019湖南岳阳，18，6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE=DF．求证：∠1=∠2．

【思路分析】根据菱形的性质得AD=CD，运用“SAS”证明△ADF≌△CDE即可．
【解题过程】∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD．
∵∠D=∠D，DE=DF，
∴△ADF≌△CDE．
∴∠1＝∠2．
【知识点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质

13.（2019湖南岳阳，23，10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和点N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．
（1）如图1，求证：BE=BF；
（2）特例感知：如图2，若DE=5，CF=2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；
（3）类比探究：若DE=a，CF=b．
①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）

【思路分析】（1）由两直线平行内错角相等和折叠对应角相等，得到∠BFE=∠BEF，从而结论可得；（2）延长NP交AD于点G，根据角平分线的性质可得PG=PM，从而□PNQM的周长转化为矩形宽的2倍，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB，则问题解决．（3）①延长PN交AD于点H，运用角平分线性质得到PM－PN=HN=AB，运用勾股定理求出AB结合平行四边形的性质，结论可得；②方法与①完全相同，只不过本题变为了PN－PM=AB，故结论QM与QN的位置互换．
【解题过程】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE．
由折叠可知：∠BEF=∠DEF
∴∠BFE=∠BEF．
∴BE=BF．
（2）延长NP交AD于点G．

由折叠可知：BE=DE=5，
∵BF=BE，
∴BF=DE．
∵AD=BC，
∴AE=CF=2．
在Rt△ABE中，
AB=．
∵AB∥CD，PN⊥BC，
∴PN⊥AD．
即PG⊥AD．
∵∠BEF=∠DEF，PM⊥BE，
∴PM=PG．
∴PM＋PN=NG=AB．
□PNQM的周长=2（PM＋PN）=2AB=．
（3）①QN－QM=．
证明：延长PN交AD于点H．

由（2）可知BE=DE=a，AE=CF=b，
∴．
∵∠BEP=∠DEP，PM⊥BE，PH⊥AD，
∴PM=PH．
∴PM－PN=HN=AB=．
∵四边形PNQM是平行四边形，
∴QM=PN，QN=PM．
∴QN－QM=．
②QM－QN =．
【知识点】图形的折叠，矩形，平行四边形，角平分线的性质，勾股定理

14.（2019湖南怀化，19，10分）已知：如图，在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足.
（1） 求证：△ABE≌△CDF；
（2） 求证：四边形AECF是矩形.

【思路分析】（1）根据平行四边形的性质可得出AB=CD，∠B=∠D，根据AE⊥BC，CF⊥AD可得∠AEB=∠CFD，进而证明出结果；
（2）根据（1）根据BE=DF，进而得出四边形AECF是平行四边形，根据AE⊥BC即可得出答案．
【解题过程】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D.
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS）.
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥CE，AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形.
【知识点】平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定

15.（2019安徽省，16，8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段．
（1）将线段向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段，请画出线段．
（2）以线段为一边，作一个菱形，且点，也为格点．（作出一个菱形即可）

【思路分析】（1）直接利用平移的性质得出，点位置，进而得出答案；
（2）直接利用菱形的判定方法进而得出答案．
【解题过程】解：（1）如图所示：线段即为所求；
（2）如图：菱形即为所求，答案不唯一．


【知识点】菱形的判定;平移变换

16.（2019四川南充，22，7分）如图，，分别以、为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点和．依次连接、、、，连接交于点．
（1）判断四边形的形状并说明理由；
（2）求的长．

【思路分析】（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形为菱形；
（2）根据菱形的性质得，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【解题过程】解：（1）四边形为菱形；
由作法得，
所以四边形为菱形；
（2）四边形为菱形，
，，，
在中，，
．
【知识点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质

17.（2019甘肃武威，27，10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边中，是边上一点（不含端点，，是的外角的平分线上一点，且．求证：．
点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，可得，；又，则，可得；由，进一步可得，又因为，所以，即：．
问题：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，，是正方形的外角的平分线上一点，且．求证：．


【思路分析】延长至，使，连接、，则，中，得出△是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，证出，得出、、，三点共线，由证明△△得出，，得出，由等腰三角形的性质得出，证出，得出，即可得出结论．
【解题过程】解：延长至，使，连接、，如图所示：

则，中，
△是等腰直角三角形，
，
是正方形的外角的平分线上一点，
，
，
、、，三点共线，
在△和△中，，
△△，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】矩形菱形正方形；

18.（2019甘肃省，26，8分）如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点．
（1）证明：；
（2）连接，证明：．

【思路分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到，，，即可得出；
（2）延长交的延长线于，根据，即可得出是的中点，进而得到．
【解题过程】解：（1）四边形是正方形，
，，
又，
，
，
；
（2）如图所示，延长交的延长线于，
是的中点，
，
又，，
，
，
即是的中点，
又，
中，．

【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质

19.（2019湖北鄂州，18，8分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE＝DF时，求EF的长．

【思路分析】（1）根据矩形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DFO＝∠BEO，根据全等三角形的性质得到DF＝BE，于是得到四边形BEDF是平行四边形；
（2）推出四边形BEDF是菱形，得到DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x根据勾股定理即可得到结论．
【解题过程】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，
又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴DF＝BE，
又因为DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形
∴四边形BEDF是菱形，
∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，
设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x
在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解之得：x，
∴DE＝8，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2
∴BD，
∴ODBD＝5，
在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2 ﹣OD2＝OE2，
∴OE，
∴EF＝2OE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；勾股定理