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2023年福建省厦门市思明区双十中学中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2023年福建省厦门市思明区双十中学中考数学模拟试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省厦门市思明区双十中学中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的相反数是( )
A. 12023 B. −12023 C. 2023 D. −2023
2. 如所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 根据有关部门测算，2022年春节假期7天，全国国内旅游出游251000000人次．数据251000000用科学记数法表示为( )
A. 2.51×108 B. 2.51×107 C. 25.1×107 D. 0.251×109
4. 由七个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 估计 6的值在( )
A. 4和5之间 B. 3和4之间 C. 2和3之间 D. 1和2之间
6. 下列计算中，正确的是( )
A. (a2)4=a6 B. a8÷a2=a4 C. a4+a4=a8 D. a2⋅a6=a8
7. 不等式组x+3>03x−4≤x的解集是( )
A. x>−3 B. −3
A. xA−>xB−且SA2>SB2 B. xA−SB2
C. xA−>xB−且SA2
A. (4+3sinα)m
B. (4+3tanα)m
C. (4+3sinα)m
D. (4+3tanα)m
10. 已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x=n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2=1，则称函数y1和y2是“和谐函数”.则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是( )
A. y1=x2+2x和y2=−x+1 B. y1=1x和y2=x+1
C. y1=−1x和y2=−x−1 D. y1=x2+2x和y2=−x−1
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 正五边形的外角和为______度．
12. 如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，若DE=2，则BC边的长为 ．
13. 不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜色外都相同．从袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率是______．
14. 若反比例函数y=kx的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，则实数k的值可以是 .(写出一个符合条件的实数即可)
15. 将一组数 2，2， 6，2 2，…，4 2，按下列方式进行排列： 2，2， 6，2 2； 10，2 3， 14，4；
…若2的位置记为(1,2)， 14的位置记为(2,3)，则2 7的位置记为______．
16. 点A，B，C，D顺次在直线l上，AC=a，BD=b，以AC为边向下作等边△ACF，以BD为底边向上作等腰Rt△BDE，当AB的长度变化时，△CDF与△ABE的面积差S始终保持不变，则a，b满足数量关系______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：20230+|2 3−1|− 12．
18. (本小题8.0分)
如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF=EC，AB=DE，∠B=∠E．
求证：AC//DF．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值；(1+1a−3)÷a2−4a−3，其中a= 3−2．
20. (本小题8.0分)
为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图(部分)如图所示．
大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
10
10
15
40
25
20
请根据调查的信息分析：
(1)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为______ ；
(2)估计大赛结束后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的人数；
(3)选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．
21. (本小题8.0分)
如图，BD为⊙O直径，点A、C在⊙O上，∠BAC=120°，AB=AC，点E为DB延长线上一点，∠BEA=30°．
(1)求证：AE为⊙O的切线；
(2)判断四边形AEBC的形状并说明理由．
22. (本小题10.0分)
某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
23. (本小题10.0分)
如图是一张矩形纸片ABCD，对角线AC与BD相交于点O．
(1)如图1中，在BC边上求作一点E，使得△CDE沿着DE折叠后，点C落在线段OC上(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)如图2中，在(1)的条件下，点C的对应点为点F，若OF=AB，求CFCD的值．
24. (本小题12.0分)
△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AC= 6，M为BC边上的一个动点(不与点B重合)，连接AM，以点A为中心，将线段AM顺时针旋转120°，得到线段AN，连接BN．
(1)如图1，当点M与点C重合时，求线段BN的长；
(2)如图2，用等式表示∠BAN与∠AMC之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，点P在线段BC的延长线上，点M关于点P的对称点为Q，写出一个PC的值，使得对于任意的点M，总有AQ=BN，并证明．
25. (本小题14.0分)
抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，当OP=OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m(−1
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】A
【解析】解：251000000=2.51×108．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】
解：由图可得，
题目中组合体的主视图是，
故选：B．
【分析】本题考查简单组合体的三视图，解答本题的关键是画出相应的图形．
根据题目中的组合体，可以画出主视图，本题得以解决．
5.【答案】C
【解析】解：∵4<6<9，
∴ 4< 6< 9，
∴2< 6<3，
故选：C．
根据无理数的估算分析解题．
本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、(a2)4=a8，故本选项计算错误，不符合题意；
B、a8÷a2=a6，故本选项计算错误，不符合题意；
C、a4+a4=2a4，故本选项计算错误，不符合题意；
D、a2⋅a6=a8，故本选项计算正确，符合题意；
故选：D．
根据幂的乘方、同底数幂的乘法和除法以及合并同类项的法则逐项判断即可．
本题主要考查了幂的性质，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：解不等式x+3>0，得x>−3，
解不等式3x−4≤x，得x≤2，
∴不等式组的解集为−3
先分别求出每一个不等式的解集，再取其公共部分即得答案．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定．
故选：C．
根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可．
此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定．
9.【答案】B
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，
∵它是一个轴对称图形，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BD=12BC=3m，
在Rt△ADB中，
∵tan∠ABC=ADBD，
∴AD=BD⋅tanα=3tanα m．
∴房顶A离地面EF的高度=AD+BE=(4+3tanα)m，
故选：B．
过点A作AD⊥BC于点D，利用直角三角形的边角关系求得AD，用AD+BE即可表示出房顶A离地面EF的高度．
本题主要考查了解直角三角形的意义，轴对称的性质，等腰三角形的三线合一，利用直角三角形的边角关系定理求得AD的长是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：A、令y1+y2=1，
则x2+2x−x+1=1，
整理得：x2+x=0，
解得：x1=0，x2=−1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意；
B、令y1+y2=1，
则1x+x+1=1，
整理得：x2+1=0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故B符合题意；
C、令y1+y2=1，
则−1x−x−1=1，
整理得：x2+2x+1=0，
解得：x1=−1，x2=−1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故C不符合题意；
D、令y1+y2=1，
则x2+2x−x−1=1，
整理得：x2+x−2=0，
解得：x1=1，x2=−2，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意；
故选：B．
根据题意，令y1+y2=0，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”．
本题考查了解一元二次方程−公式法，根据题意令y1+y2=1，然后进行计算是解题的关键．
11.【答案】360
【解析】解：正五边形的外角和为360度，
故答案为：360．
根据多边形外角和等于360°即可解决问题．
本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角和等于360°．
12.【答案】4
【解析】解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=4，
故答案为：4．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】25
【解析】解：∵盒子中装有3个红球，2个黑球，共有5个球，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是黑球的概率是25；
故答案为：25．
直接根据概率公式可求解．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
14.【答案】2
【解析】解：根据题意，得k>0，
所以2符合．
故答案为：2．
根据“图象在其每个象限内，y的值随x值的增大而减小”得k>0，求解后再根据选项作出正确选择．
本题利用反比例函数的性质：当k>0时，图象在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小．
15.【答案】(4,2)
【解析】解：题中数字可以化成： 2， 4， 6， 8； 10， 12， 14， 16；
∴规律为：被开方数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵2 7= 28，28是第14个偶数，而14÷4=3⋯2，
∴2 7的位置记为(4,2)，
故答案为：(4,2)．
先找出被开方数的规律，然后再求得2 7的位置即可．
本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，把被开方数全部统一成二次根式的形式是解题的关键．
16.【答案】b= 3a
【解析】解：过点F作FG⊥AD于点G，过点E作EH⊥AD于点H，连接AE，
∵△ACF是等边三角形，AC=a，
∴FG= 32AC= 3a2，
∵BD=b，EH⊥AD，△BED是等腰三角形，
∴BH=12BD=b2，BE= 22b，
在Rt△BHE中，EH=BH=b2，
设AB=x，则S△ABE=12AB⋅EH=12x12b，S△CDF=12CD⋅FG=12(b−a+x)× 32a，
∴S=S△CDF−S△ABE=12(b−a+x)× 32a−12x⋅12b= 3a(b−a)4− 3a−b4x，
∵当AB的长度变化时，S始终保持不变，
∴− 3a−b4=0，
∴b= 3a，
故答案为：b= 3a．
过点F作FG⊥AD于点G，过点E作EH⊥AD于点H，连接AE，分别利用直角三角形的性质和勾股定理求出FG和EH，设AB=x，分别表示出△CDF与△ABE的面积，从而可得S= 3a(b−a)4− 3a−b4x，再根据当AB的长度变化时，S始终保持不变，可得− 3a−b4=0，即可得出结果．
本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理及三角形的面积计算，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：20230+|2 3−1|− 12
=1+2 3−1−2 3
=0．
【解析】首先计算零指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】证明：∵BF=CE，
∴BF+FC=FC+CE，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中
AB=DE∠B=∠EBC=EF，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC//DF．
【解析】先证明BC=EF，再利用“SAS”可判定△ABC≌△DEF，则根据全等的性质得∠ACB=∠DFE，然后根据平行线的判定方法即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19.【答案】解：(1+1a−3)÷a2−4a−3
=a−3+1a−3×a−3(a+2)(a−2)
=1a+2，
当a= 3−2时，
原式=1 3−2+2=1 3= 33．
【解析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
20.【答案】4.5首
【解析】解：(1)本次调查的学生有：20÷60°360∘=120(名)，
背诵4首的有：120−15−20−16−13−11=45(人)，
∵15+45=60，
∴这组数据的中位数是：(4+5)÷2=4.5(首)，
故答案为：4.5首；
(2)大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的有：1200×40+25+20120=850(人)，
答：估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的有850人；
(3)活动启动之初的中位数是4.5首，众数是4首，
大赛比赛后一个月的中位数是6首，众数是6首，
由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想．
(1)根据统计图中的数据可以求得这组数据的中位数；
(2)根据表格中的数据可以解答本题；
(3)根据统计图和表格中的数据可以分别计算出比赛前后的众数和中位数，从而可以解答本题．
本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】(1)证明：如图，连接OA，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
又∵∠BEA=30°，
∴∠OAE=180°−∠AOB−∠AEB=180°−60°−30°=90°，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AE为⊙O的切线；
(2)解：四边形AEBC为平行四边形，理由如下：
∵∠AOB=60°且OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠OBA=∠OAB=60°，
由(1)知∠OAE=90°，
∴∠EAB=∠OAE−∠OAB=90°−60°=30°，
∴∠EAB=∠ABC，
∴BC//AE，
又∵∠OBA=60°，∠ABC=30°，
∴∠CBO=30°，
∴∠CBO=∠ACB，
∴AC//BE，
∴四边形AEBC为平行四边形．
【解析】(1)连接OA，由圆周角定理及等腰三角形的性质可得∠AOB=2∠ACB=60°，最后根据切线的判定与性质可得结论；
(2)根据等边三角形的判定与性质可得∠OBA=∠OAB=60°，再由垂径定理及平行线的性质得∠CBO=30°，根据平行四边形的判定可得答案．
此题考查的是切线的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
22.【答案】 解：(1)设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，
依题意得：{2x+3y=690x+4y=720,
解得：{x=120y=150．
答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元；
(2)设该经销商购进m件A种农产品，则购进(40−m)件B种农产品，
依题意得：{m⩽3(40−m)120m+150(40−m)⩽5400,
解得：20≤m≤30．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w=(160−120)m+(200−150)(40−m)=−10m+2000．
∵−10<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=20时，w取得最大值，此时40−m=40−20=20．
答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．
【解析】
【分析】
(1)设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该经销商购进m件A种农产品，则购进(40−m)件B种农产品，利用总价=单价×数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】
解：(1)设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，
依题意得：{2x+3y=690x+4y=720,
解得：{x=120y=150．
答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元；
(2)设该经销商购进m件A种农产品，则购进(40−m)件B种农产品，
依题意得：{m⩽3(40−m)120m+150(40−m)⩽5400,
解得：20≤m≤30．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w=(160−120)m+(200−150)(40−m)=−10m+2000．
∵−10<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=20时，w取得最大值，此时40−m=40−20=20．
答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．
【点评】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
23.【答案】(1)解：
如图，E是所求作的点．
(2)解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，AB=CD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵OF=AB，
∴CD=OF，
由折叠得：DC=DF，
∴∠DCF=∠DFC，
∴∠OCD=∠DCF=∠ODC=∠DFC，
∴△OCD∽△DCF，
∴OCDC=CDCF，
设CF=x，CD=y，则有
OC=x+y，
∴x+yy=yx，
整理得：x2+xy−y2=0，
解得：x1= 5−12y，x2=− 5−12y(舍去)，
∴xy= 5−12，
∴CFCD= 5−12．
【解析】(1)D点的对应点为F，则有DF=DC，以D为圆心，CD长为半径画弧，交线段AC于F，折痕是对应点的连线段的垂直平分线，作CF的垂直平分线即可求解；
(2)可证△OCD∽△DCF，从而可得OCDC=CDCF，设CF=x，CD=y，可得x2+xy−y2=0，从而可求解．
本题考查了尺规作图，折叠的性质，矩形的性质，三角形相似的判定及性质，解一元二次方程，掌握作法，相关判定方法及性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AC= 6，
∴AB=ACsin∠ABC= 6 32=2 2，∠BAC=30°，
∵∠CAN=120°，
∴∠BAN=∠CAN−∠BAC=120°−30°=90°，
∴BN= AN2+AB2= 6+8= 14；
(2)∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠MAC=30°−∠BAM，
∴∠AMC=90°−∠MAC=90°−30°+∠BAM=60°+∠BAM，
∵∠MAN=120°，
∴∠BAN=∠MAN−∠BAM=120°−∠BAM，
∴∠BAN+∠AMC=120°−∠BAM+(60°+∠BAM)=180°，
即∠BAN+∠AMC=180°；
(3)设PC的值为 2．
∵∠ACB=90°，AC= 6，∠ABC=60°，
∴AB=2 2．
任取满足条件的点M，作点M关于点C的对称点M′，连接AM′，
∴AM′=AM=AN，MM′=2CM，
∴∠AM′C=∠AMC，
∵∠BAN+∠AMC=180°，∠AMB+∠AMC=180°，
∴∠BAN=∠AMB，
∴∠AM′Q=∠AMB=∠BAN．
∵点M关于点P的对称点为Q，
∴MQ=2MP，
∴M′Q=MQ−MM′=2MP−2MC=2PC=2 2，
∴M′Q=AB，
∴△AM′Q≌△ANB(SAS)，
∴AQ=BN．
【解析】(1)解Rt△ABC得出AB=2 2，根据旋转的性质得出△ABN是直角三角形，进而勾股定理即可求解；
(2)根据题分别表示出∠BAN，∠AMC，即可求解；
(3)设PC的值为 2.任取满足条件的点M，作点M关于点C的对称点M′，连接AM′，证明△AM′Q≌△ANB，便可得结论．
本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形，全等三角形的性质与判定，对称的性质，关键是证明全等三角形．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)两点，
∴抛物线的解析式是y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3；
(2)∵A(−1,0)，
∴当OP=OA=1时，P(0,1)，
设直线AP的解析式为y=kx+t，
则−k+t=0t=1，解得k=1t=1，
∴直线AP的解析式为y=x+1，
联立方程组y=x2−2x−3y=x+1，
解得x1=−1y1=0，x2=4y2=5，
∴C(4,5)，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，
∴D(−2,5)，
∴CD=6，
作ME//CD交直线AP于点E，如图，
∴△MEN∽△DCN，
∴MNDN=MECD，
∵M是抛物线上的动点，它的横坐标为m(−1
当y=m2−2m−3时，对直线y=x+1，x+1=m2−2m−3，
解得x=m2−2m−4，
∴点E(m2−2m−4,m2−2m−3)，
∴ME=m−(m2−2m−4)=−m2+3m+4，
∴S1S2=S△CMNS△CDN=MNDN=MECD=−m2+3m+46=−16(m−32)2+2524；
∵−16<0，
∴当m=32时，S1S2的最大值是2524；
(3)∵点C的横坐标为n．
∴C(n,n2−2n−3)，
设直线AC的解析式为y=ax+p，
则−a+p=0na+p=n2−2n−3，
解得a=n−3p=n−3，
∴直线AC的解析式为y=(n−3)x+n−3，
∴P(0,n−3)，
设直线BP的解析式为y=ex+d，
则3e+d=0d=n−3，
解得e=3−n3d=n−3，
∴直线BP的解析式为y=3−n3x+n−3，
联立方程组y=3−n3x+n−3y=x2−2x−3，
解得：x1=3y1=0，x2=−n3y2=19n2+23n−3，
∴E(−13n,19n2+23n−3)，
设直线CE的解析式为y=qx+s，
则nq+s=n2−2n−3−13nq+s=19n2+23n−3，
解得q=23n−2s=13n2−3，
∴点F的坐标是(0,13n2−3)，
∴FP=13n2−3−(n−3)=13n2−n，
∴FPn⋅OP=13n2−nn(n−3)=13．
【解析】(1)根据交点式解答即可；
(2)先求出直线AP的解析式，然后和抛物线的解析式联立求出点C的坐标，可得点D的坐标，作ME//CD交直线AP于点E，如图，利用点M的坐标表示出点E的坐标，再利用相似三角形的判定和性质得出S1S2=S△CMNS△CDN=MNDN=MECD，然后根据二次函数的性质解答即可；
(3)先求出直线AC的解析式，得出点P坐标，然后求出直线BP的解析式，和抛物线的解析式联立求出点E坐标，再求出直线CE的解析式，得出点F的坐标，然后代入所求式子求解即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、坐标与图形、相似三角形的判定和性质以及方程组的求解问题，计算量较大，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合思想、准确计算是解题的关键．
2023年福建省厦门市思明区双十中学中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的相反数是( )
A. 12023 B. −12023 C. 2023 D. −2023
2. 如所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 根据有关部门测算，2022年春节假期7天，全国国内旅游出游251000000人次．数据251000000用科学记数法表示为( )
A. 2.51×108 B. 2.51×107 C. 25.1×107 D. 0.251×109
4. 由七个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 估计 6的值在( )
A. 4和5之间 B. 3和4之间 C. 2和3之间 D. 1和2之间
6. 下列计算中，正确的是( )
A. (a2)4=a6 B. a8÷a2=a4 C. a4+a4=a8 D. a2⋅a6=a8
7. 不等式组x+3>03x−4≤x的解集是( )
A. x>−3 B. −3
A. xA−>xB−且SA2>SB2 B. xA−
C. xA−>xB−且SA2
A. (4+3sinα)m
B. (4+3tanα)m
C. (4+3sinα)m
D. (4+3tanα)m
10. 已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x=n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2=1，则称函数y1和y2是“和谐函数”.则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是( )
A. y1=x2+2x和y2=−x+1 B. y1=1x和y2=x+1
C. y1=−1x和y2=−x−1 D. y1=x2+2x和y2=−x−1
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 正五边形的外角和为______度．
12. 如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，若DE=2，则BC边的长为 ．
13. 不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜色外都相同．从袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率是______．
14. 若反比例函数y=kx的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，则实数k的值可以是 .(写出一个符合条件的实数即可)
15. 将一组数 2，2， 6，2 2，…，4 2，按下列方式进行排列： 2，2， 6，2 2； 10，2 3， 14，4；
…若2的位置记为(1,2)， 14的位置记为(2,3)，则2 7的位置记为______．
16. 点A，B，C，D顺次在直线l上，AC=a，BD=b，以AC为边向下作等边△ACF，以BD为底边向上作等腰Rt△BDE，当AB的长度变化时，△CDF与△ABE的面积差S始终保持不变，则a，b满足数量关系______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：20230+|2 3−1|− 12．
18. (本小题8.0分)
如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF=EC，AB=DE，∠B=∠E．
求证：AC//DF．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值；(1+1a−3)÷a2−4a−3，其中a= 3−2．
20. (本小题8.0分)
为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图(部分)如图所示．
大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
10
10
15
40
25
20
请根据调查的信息分析：
(1)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为______ ；
(2)估计大赛结束后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的人数；
(3)选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．
21. (本小题8.0分)
如图，BD为⊙O直径，点A、C在⊙O上，∠BAC=120°，AB=AC，点E为DB延长线上一点，∠BEA=30°．
(1)求证：AE为⊙O的切线；
(2)判断四边形AEBC的形状并说明理由．
22. (本小题10.0分)
某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
23. (本小题10.0分)
如图是一张矩形纸片ABCD，对角线AC与BD相交于点O．
(1)如图1中，在BC边上求作一点E，使得△CDE沿着DE折叠后，点C落在线段OC上(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)如图2中，在(1)的条件下，点C的对应点为点F，若OF=AB，求CFCD的值．
24. (本小题12.0分)
△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AC= 6，M为BC边上的一个动点(不与点B重合)，连接AM，以点A为中心，将线段AM顺时针旋转120°，得到线段AN，连接BN．
(1)如图1，当点M与点C重合时，求线段BN的长；
(2)如图2，用等式表示∠BAN与∠AMC之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，点P在线段BC的延长线上，点M关于点P的对称点为Q，写出一个PC的值，使得对于任意的点M，总有AQ=BN，并证明．
25. (本小题14.0分)
抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，当OP=OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m(−1
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】A
【解析】解：251000000=2.51×108．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】
解：由图可得，
题目中组合体的主视图是，
故选：B．
【分析】本题考查简单组合体的三视图，解答本题的关键是画出相应的图形．
根据题目中的组合体，可以画出主视图，本题得以解决．
5.【答案】C
【解析】解：∵4<6<9，
∴ 4< 6< 9，
∴2< 6<3，
故选：C．
根据无理数的估算分析解题．
本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、(a2)4=a8，故本选项计算错误，不符合题意；
B、a8÷a2=a6，故本选项计算错误，不符合题意；
C、a4+a4=2a4，故本选项计算错误，不符合题意；
D、a2⋅a6=a8，故本选项计算正确，符合题意；
故选：D．
根据幂的乘方、同底数幂的乘法和除法以及合并同类项的法则逐项判断即可．
本题主要考查了幂的性质，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：解不等式x+3>0，得x>−3，
解不等式3x−4≤x，得x≤2，
∴不等式组的解集为−3
先分别求出每一个不等式的解集，再取其公共部分即得答案．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定．
故选：C．
根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可．
此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定．
9.【答案】B
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，
∵它是一个轴对称图形，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BD=12BC=3m，
在Rt△ADB中，
∵tan∠ABC=ADBD，
∴AD=BD⋅tanα=3tanα m．
∴房顶A离地面EF的高度=AD+BE=(4+3tanα)m，
故选：B．
过点A作AD⊥BC于点D，利用直角三角形的边角关系求得AD，用AD+BE即可表示出房顶A离地面EF的高度．
本题主要考查了解直角三角形的意义，轴对称的性质，等腰三角形的三线合一，利用直角三角形的边角关系定理求得AD的长是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：A、令y1+y2=1，
则x2+2x−x+1=1，
整理得：x2+x=0，
解得：x1=0，x2=−1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意；
B、令y1+y2=1，
则1x+x+1=1，
整理得：x2+1=0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故B符合题意；
C、令y1+y2=1，
则−1x−x−1=1，
整理得：x2+2x+1=0，
解得：x1=−1，x2=−1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故C不符合题意；
D、令y1+y2=1，
则x2+2x−x−1=1，
整理得：x2+x−2=0，
解得：x1=1，x2=−2，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意；
故选：B．
根据题意，令y1+y2=0，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”．
本题考查了解一元二次方程−公式法，根据题意令y1+y2=1，然后进行计算是解题的关键．
11.【答案】360
【解析】解：正五边形的外角和为360度，
故答案为：360．
根据多边形外角和等于360°即可解决问题．
本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角和等于360°．
12.【答案】4
【解析】解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=4，
故答案为：4．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】25
【解析】解：∵盒子中装有3个红球，2个黑球，共有5个球，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是黑球的概率是25；
故答案为：25．
直接根据概率公式可求解．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
14.【答案】2
【解析】解：根据题意，得k>0，
所以2符合．
故答案为：2．
根据“图象在其每个象限内，y的值随x值的增大而减小”得k>0，求解后再根据选项作出正确选择．
本题利用反比例函数的性质：当k>0时，图象在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小．
15.【答案】(4,2)
【解析】解：题中数字可以化成： 2， 4， 6， 8； 10， 12， 14， 16；
∴规律为：被开方数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵2 7= 28，28是第14个偶数，而14÷4=3⋯2，
∴2 7的位置记为(4,2)，
故答案为：(4,2)．
先找出被开方数的规律，然后再求得2 7的位置即可．
本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，把被开方数全部统一成二次根式的形式是解题的关键．
16.【答案】b= 3a
【解析】解：过点F作FG⊥AD于点G，过点E作EH⊥AD于点H，连接AE，
∵△ACF是等边三角形，AC=a，
∴FG= 32AC= 3a2，
∵BD=b，EH⊥AD，△BED是等腰三角形，
∴BH=12BD=b2，BE= 22b，
在Rt△BHE中，EH=BH=b2，
设AB=x，则S△ABE=12AB⋅EH=12x12b，S△CDF=12CD⋅FG=12(b−a+x)× 32a，
∴S=S△CDF−S△ABE=12(b−a+x)× 32a−12x⋅12b= 3a(b−a)4− 3a−b4x，
∵当AB的长度变化时，S始终保持不变，
∴− 3a−b4=0，
∴b= 3a，
故答案为：b= 3a．
过点F作FG⊥AD于点G，过点E作EH⊥AD于点H，连接AE，分别利用直角三角形的性质和勾股定理求出FG和EH，设AB=x，分别表示出△CDF与△ABE的面积，从而可得S= 3a(b−a)4− 3a−b4x，再根据当AB的长度变化时，S始终保持不变，可得− 3a−b4=0，即可得出结果．
本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理及三角形的面积计算，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：20230+|2 3−1|− 12
=1+2 3−1−2 3
=0．
【解析】首先计算零指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】证明：∵BF=CE，
∴BF+FC=FC+CE，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中
AB=DE∠B=∠EBC=EF，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC//DF．
【解析】先证明BC=EF，再利用“SAS”可判定△ABC≌△DEF，则根据全等的性质得∠ACB=∠DFE，然后根据平行线的判定方法即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19.【答案】解：(1+1a−3)÷a2−4a−3
=a−3+1a−3×a−3(a+2)(a−2)
=1a+2，
当a= 3−2时，
原式=1 3−2+2=1 3= 33．
【解析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
20.【答案】4.5首
【解析】解：(1)本次调查的学生有：20÷60°360∘=120(名)，
背诵4首的有：120−15−20−16−13−11=45(人)，
∵15+45=60，
∴这组数据的中位数是：(4+5)÷2=4.5(首)，
故答案为：4.5首；
(2)大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的有：1200×40+25+20120=850(人)，
答：估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的有850人；
(3)活动启动之初的中位数是4.5首，众数是4首，
大赛比赛后一个月的中位数是6首，众数是6首，
由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想．
(1)根据统计图中的数据可以求得这组数据的中位数；
(2)根据表格中的数据可以解答本题；
(3)根据统计图和表格中的数据可以分别计算出比赛前后的众数和中位数，从而可以解答本题．
本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】(1)证明：如图，连接OA，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
又∵∠BEA=30°，
∴∠OAE=180°−∠AOB−∠AEB=180°−60°−30°=90°，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AE为⊙O的切线；
(2)解：四边形AEBC为平行四边形，理由如下：
∵∠AOB=60°且OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠OBA=∠OAB=60°，
由(1)知∠OAE=90°，
∴∠EAB=∠OAE−∠OAB=90°−60°=30°，
∴∠EAB=∠ABC，
∴BC//AE，
又∵∠OBA=60°，∠ABC=30°，
∴∠CBO=30°，
∴∠CBO=∠ACB，
∴AC//BE，
∴四边形AEBC为平行四边形．
【解析】(1)连接OA，由圆周角定理及等腰三角形的性质可得∠AOB=2∠ACB=60°，最后根据切线的判定与性质可得结论；
(2)根据等边三角形的判定与性质可得∠OBA=∠OAB=60°，再由垂径定理及平行线的性质得∠CBO=30°，根据平行四边形的判定可得答案．
此题考查的是切线的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
22.【答案】 解：(1)设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，
依题意得：{2x+3y=690x+4y=720,
解得：{x=120y=150．
答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元；
(2)设该经销商购进m件A种农产品，则购进(40−m)件B种农产品，
依题意得：{m⩽3(40−m)120m+150(40−m)⩽5400,
解得：20≤m≤30．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w=(160−120)m+(200−150)(40−m)=−10m+2000．
∵−10<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=20时，w取得最大值，此时40−m=40−20=20．
答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．
【解析】
【分析】
(1)设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该经销商购进m件A种农产品，则购进(40−m)件B种农产品，利用总价=单价×数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】
解：(1)设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，
依题意得：{2x+3y=690x+4y=720,
解得：{x=120y=150．
答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元；
(2)设该经销商购进m件A种农产品，则购进(40−m)件B种农产品，
依题意得：{m⩽3(40−m)120m+150(40−m)⩽5400,
解得：20≤m≤30．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w=(160−120)m+(200−150)(40−m)=−10m+2000．
∵−10<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=20时，w取得最大值，此时40−m=40−20=20．
答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．
【点评】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
23.【答案】(1)解：
如图，E是所求作的点．
(2)解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，AB=CD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵OF=AB，
∴CD=OF，
由折叠得：DC=DF，
∴∠DCF=∠DFC，
∴∠OCD=∠DCF=∠ODC=∠DFC，
∴△OCD∽△DCF，
∴OCDC=CDCF，
设CF=x，CD=y，则有
OC=x+y，
∴x+yy=yx，
整理得：x2+xy−y2=0，
解得：x1= 5−12y，x2=− 5−12y(舍去)，
∴xy= 5−12，
∴CFCD= 5−12．
【解析】(1)D点的对应点为F，则有DF=DC，以D为圆心，CD长为半径画弧，交线段AC于F，折痕是对应点的连线段的垂直平分线，作CF的垂直平分线即可求解；
(2)可证△OCD∽△DCF，从而可得OCDC=CDCF，设CF=x，CD=y，可得x2+xy−y2=0，从而可求解．
本题考查了尺规作图，折叠的性质，矩形的性质，三角形相似的判定及性质，解一元二次方程，掌握作法，相关判定方法及性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AC= 6，
∴AB=ACsin∠ABC= 6 32=2 2，∠BAC=30°，
∵∠CAN=120°，
∴∠BAN=∠CAN−∠BAC=120°−30°=90°，
∴BN= AN2+AB2= 6+8= 14；
(2)∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠MAC=30°−∠BAM，
∴∠AMC=90°−∠MAC=90°−30°+∠BAM=60°+∠BAM，
∵∠MAN=120°，
∴∠BAN=∠MAN−∠BAM=120°−∠BAM，
∴∠BAN+∠AMC=120°−∠BAM+(60°+∠BAM)=180°，
即∠BAN+∠AMC=180°；
(3)设PC的值为 2．
∵∠ACB=90°，AC= 6，∠ABC=60°，
∴AB=2 2．
任取满足条件的点M，作点M关于点C的对称点M′，连接AM′，
∴AM′=AM=AN，MM′=2CM，
∴∠AM′C=∠AMC，
∵∠BAN+∠AMC=180°，∠AMB+∠AMC=180°，
∴∠BAN=∠AMB，
∴∠AM′Q=∠AMB=∠BAN．
∵点M关于点P的对称点为Q，
∴MQ=2MP，
∴M′Q=MQ−MM′=2MP−2MC=2PC=2 2，
∴M′Q=AB，
∴△AM′Q≌△ANB(SAS)，
∴AQ=BN．
【解析】(1)解Rt△ABC得出AB=2 2，根据旋转的性质得出△ABN是直角三角形，进而勾股定理即可求解；
(2)根据题分别表示出∠BAN，∠AMC，即可求解；
(3)设PC的值为 2.任取满足条件的点M，作点M关于点C的对称点M′，连接AM′，证明△AM′Q≌△ANB，便可得结论．
本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形，全等三角形的性质与判定，对称的性质，关键是证明全等三角形．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)两点，
∴抛物线的解析式是y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3；
(2)∵A(−1,0)，
∴当OP=OA=1时，P(0,1)，
设直线AP的解析式为y=kx+t，
则−k+t=0t=1，解得k=1t=1，
∴直线AP的解析式为y=x+1，
联立方程组y=x2−2x−3y=x+1，
解得x1=−1y1=0，x2=4y2=5，
∴C(4,5)，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，
∴D(−2,5)，
∴CD=6，
作ME//CD交直线AP于点E，如图，
∴△MEN∽△DCN，
∴MNDN=MECD，
∵M是抛物线上的动点，它的横坐标为m(−1
当y=m2−2m−3时，对直线y=x+1，x+1=m2−2m−3，
解得x=m2−2m−4，
∴点E(m2−2m−4,m2−2m−3)，
∴ME=m−(m2−2m−4)=−m2+3m+4，
∴S1S2=S△CMNS△CDN=MNDN=MECD=−m2+3m+46=−16(m−32)2+2524；
∵−16<0，
∴当m=32时，S1S2的最大值是2524；
(3)∵点C的横坐标为n．
∴C(n,n2−2n−3)，
设直线AC的解析式为y=ax+p，
则−a+p=0na+p=n2−2n−3，
解得a=n−3p=n−3，
∴直线AC的解析式为y=(n−3)x+n−3，
∴P(0,n−3)，
设直线BP的解析式为y=ex+d，
则3e+d=0d=n−3，
解得e=3−n3d=n−3，
∴直线BP的解析式为y=3−n3x+n−3，
联立方程组y=3−n3x+n−3y=x2−2x−3，
解得：x1=3y1=0，x2=−n3y2=19n2+23n−3，
∴E(−13n,19n2+23n−3)，
设直线CE的解析式为y=qx+s，
则nq+s=n2−2n−3−13nq+s=19n2+23n−3，
解得q=23n−2s=13n2−3，
∴点F的坐标是(0,13n2−3)，
∴FP=13n2−3−(n−3)=13n2−n，
∴FPn⋅OP=13n2−nn(n−3)=13．
【解析】(1)根据交点式解答即可；
(2)先求出直线AP的解析式，然后和抛物线的解析式联立求出点C的坐标，可得点D的坐标，作ME//CD交直线AP于点E，如图，利用点M的坐标表示出点E的坐标，再利用相似三角形的判定和性质得出S1S2=S△CMNS△CDN=MNDN=MECD，然后根据二次函数的性质解答即可；
(3)先求出直线AC的解析式，得出点P坐标，然后求出直线BP的解析式，和抛物线的解析式联立求出点E坐标，再求出直线CE的解析式，得出点F的坐标，然后代入所求式子求解即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、坐标与图形、相似三角形的判定和性质以及方程组的求解问题，计算量较大，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合思想、准确计算是解题的关键．
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