2023年福建省福州市闽清县天儒中学中考数学模拟试卷（含解析）

2023年福建省福州市闽清县天儒中学中考数学模拟试卷

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的正三棱柱的主视图是(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.  闽清古属福州府闽清县简称“梅”，是福建省福州市下辖县，位于福建省东部，全县总面积为，辖镇乡个村居，将数据用科学记数法表示，其结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在最近三次的数学适应性练习中，小陈、小包、小吴、小李四位同学的平均成绩都是分满分分，四位同学的方差分别是，则小陈、小包、小吴、小李四位同学中成绩最稳定的是(    )

A. 小陈 B. 小包 C. 小吴 D. 小李

7.  不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某乒乓球比赛的每两队之间都进行场比赛，共要比赛场，设共有支球队参加该比赛，则符合题意的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  小柠同学想要测量一棵树的高如图，她站在与树相距远的处测得在此处观测树顶的仰角，若小柠同学的眼睛距离地面，则这棵树的高约为参考数据：，，(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，点是左侧一点，连接，，，若，，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  正六边形的外角和是______ ．

12.  在半径是的圆中，圆心角为的扇形的面积是______ ．

13.  某校课后服务课程有：足球，篮球，书法，舞蹈为了解最受学生喜爱的课后服务课程，该校对初一同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据以上信息可知，该校初一学生中最喜爱足球课程的人数是______ ．

14.  对于反比例函数，当时，；当时，，则的值可以是______ 只需写出一个符合条件的实数．

15.  下列四个命题：
对角线互相垂直的四边形是菱形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
有一个角是的四边形是矩形．
其中是真命题的是______ 只填序号．

16.  已知抛物线的顶点为，不过点的直线与该抛物线交于，两点，连接，，若，则原点到直线的距离的最大值是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，平行四边形的对角线、相交于点，过点与、分别相交于点、，求证：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
某商店销售一件商品可获利元，销售一件商品可获利元．
已知该商店某天销售，两种商品共件并获利元，求这天该商店销售的，两种商品的件数各为多少．
经营性质规定：该商店商品的销售量不能小于总数量的现该商店要销售，两种商品共件，请你设计销售方案，使该商店获利最大，并求出获利的最大值．

21.  本小题分
如图，，，，四点分别是在数轴上表示实数，，，的点，点，都在数轴的上方，连接，，，，若和都是等边三角形，求证：可由平移得到．

22.  本小题分
甲、乙、丙三位同学共同设计了一个函数：如图，在平面直角坐标系中，三人共同描出，，三点甲同学想用以原点为顶点的抛物线连接点与点；乙同学想用线段连接点与点；丙同学想使当时，，当时，其中点算作甲同学设计的部分，点算作乙同学设计的部分，点和点算作丙同学设计的部分．
甲、乙、丙三位同学在画函数图象及写出该函数的解析式时遇到了困难，请你帮助他们画出这个函数的图象，并将他们没写完的函数解析式补充完整；
甲、乙、丙三位同学又以这个函数设计了一个数学游戏：他们在盒子中放入看上去完全一样的张纸团，这张纸团内分别写有整数，三人派一名代表从中抽出张纸团，将纸团上写的数字作为自变量，这个自变量所对应的点落在的位置是谁设计的，谁就获得胜利请你探究在这个游戏规则下，甲、乙、丙三位同学谁获胜的可能性最大．

23.  本小题分
如图，点是外一点，连接交于点．
过点作的两条切线，，切点分别为，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
在的条件下，连接，求证：点是的内心．

24.  本小题分
如图，在中，，，，分别是边，的中点，点是的中点，连接将绕点顺时针旋转得到，点的对应点是点，连接，．
求证：；
连接，，当的值最大时，求与的面积之比．

25.  本小题分
已知抛物线经过不重合的两点，．
若点在该抛物线上，求的最小值；
已知三点中有且仅有一点在该抛物线上，若该抛物线与轴只有一个交点，求该抛物线的解析式；
在的条件下，直线：与轴交于点，与该抛物线交于，两点，点的坐标是，连接，分别交轴于，两点，连接，，记，的面积分别为，，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义求出相反数即可．
本题主要考查了相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从几何体的正面看所得到的形状是矩形，中间有一道竖直的虚线，
故选：．
主视图是分别从物体正面看所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
把一个数表示成与的次幂相乘的形式不为分数形式，为整数，这种记数法叫做科学记数法．
本题主要考查科学记数法，掌握科学科学记数法的形式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
利用同底数幂的除法计算即可．
本题主要考查同底数幂的除法计算，掌握运算法则是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：小陈、小包、小吴、小李四位同学的平均成绩都是分，
又，
，
小吴同学次数学成绩最稳定．
故选：．
平均分相同的情况下，比较方差，方差小的同学成绩最稳定．
本题考查了方差的应用，掌握方差的意义是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由得：
由得：，
所以不等式组的解集为：．
故选：．
根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组的解集的规律找出即可．
本题主要考查利用不等式的性质解一元一次不等式，根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
即，
故选：．
由每两队之间进行场比赛，考虑到重复的情况，可知共比赛场，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，设树上与小柠同学眼睛高度相同的点为，

在直角三角形中，，
，
，，
，
，
故选：．
先利用三角函数求出树超过小柠同学眼睛部分的高度，再结合小柠同学眼睛到地面的高度即可得到树的高度．
本题考查直角三角函数的应用，熟练掌握直角三角函数的相关知识是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作交于点，取的中点，连接，，如图所示，

，，
，
所以，，，四点都在以为直径，点为圆心的圆上，
在中，，
所以，，
，，

故≌，
，是等腰直角三角形，
，
所以，
故选：．
过点作交于点，取的中点，连接，，判断出，，，四点都在以为直径，点为圆心的圆上，利用圆的性质即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，四点共圆的判定及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：六边形的外角和是．
故答案为：．
根据任何多边形的外角和是度即可求出答案．
考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是度．外角和与多边形的边数无关．
 

12.【答案】 

【解析】解：半径是的圆中，圆心角为的扇形的面积是；
故答案为：．
利用扇形的面积公式可得答案．
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形面积公式是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：总人数为：人，
该校初一学生中最喜爱足球课程的人数是人，
故答案为：．
先求解总人数，再利用总人数乘以足球所占的百分比即可．
本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，理解题意，再列式计算是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：当时，；当时，，
反比例函数的图象在第二和第四象限，
，
故答案为：答案不唯一．
先判断出函数图象所在的象限，即可得的取值范围，即可得到答案．
本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的相关知识．
 

15.【答案】 

【解析】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以错误；
对角线相等的菱形是正方形，所以正确；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以正确；
有一个角是的平行四边形是矩形，所以错误；
故答案为：．
根据正方形、菱形和矩形的定义判定．
本题考查了命题与定理，掌握正方形、菱形和矩形的定义是关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设直线：，，，不妨令，
，，
如图：分别过点，作轴的垂线，垂足为，．

，
，
，
，
，
∽，
，
即，
整理得．
将代入并整理，得，
所以，，
故，
所以，整理得，
即，解关于的方程，得舍去或，
所以，
故直线：恒过定点，
所以原点到直线的距离的最大值是．
故答案为：．
分别过点，作轴的垂线，垂足为，，可证得∽，根据相似三角形的性质，可得，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，由，可得，可解得关于的方程，得舍去或，可得，故直线：恒过定点，据此即可求解
本题考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，求抛物线的顶点坐标，勾股定理，解一元二次方程，一次函数与二次函数的交点问题，证得一次函数过定点是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】根据二次根式，绝对值的性质，零指数幂化简，再计算，即可求解．
本题主要考查了二次根式，绝对值的性质，零指数幂，掌握相关运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】证明：为平行四边形，
，，
，，
在和中，

≌，
． 

【解析】要证明线段相等，只需证明两条线段所在的两个三角形全等即可．
运用了平行四边形的对角线互相平分以及平行四边形的对边平行．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，
原式

． 

【解析】先根据分式运算法则进行化简，再代入求值即可．
本题考查了分式化简求值和二次根式计算，掌握相关法则进行准确计算是关键．
 

20.【答案】解：设销售商品件，销售商品件，
根据题意，列方程组．
解这个方程组，得．
答：销售品件，销售商品件．
设销售商品件，获利元，则销售商品件．
依题意得且，
，
随的增大而减小，
当时，元，
销售商品件，销售商品件，该商店获利元最大
答：销售商品件，销售商品件可使该商店获利最大，获利的最大值为元． 

【解析】设销售商品件，销售商品件，根据“销售，两种商品共件并获利元”列出二元一次方程组，求解即可；
设销售商品件，获利元，则销售商品件，根据题意列出一次函数，根据“该商店商品的销售量不能小于总数量的”列出不等式，再利用函数的性质求解即可．
本题考查二元一次方程组，一次函数的性质，一元一次不等式的综合运用，重点掌握解应用题的步骤．难点是正确列出相等关系和不等量关系．
 

21.【答案】证明：连接．

，，，四点分别是在数轴上表示实数，，，的点，
，，
和都是等边三角形，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
又，，，四点在同一条直线上，
可由平移得到． 

【解析】连接，先根据数轴可得，，再根据等边三角形的性质可得，，，从而可得，，然后根据平行四边形的判定与性质可得，，由此即可得证．
本题考查了图形的平移、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握平移的概念与性质是解题关键．
 

22.【答案】解：设段解析式为，把代入，得，
，
；
设段解析式为，把，代入，得，
，
；


丙同学获胜的可能性最大．
理由如下：依题意，共有种结果，分别为抽出数字，，，，，，，
并且它们发生的可能性相等．
甲同学获胜的情况有种，分别为抽出数字，，
甲同学获胜．
乙同学获胜的情况有种，分别为抽出数字，，
乙同学获胜．
丙同学获胜的情况有种，分别为抽出数字，，，
丙同学获胜．
，
丙同学获胜的可能性最大． 

【解析】用待定系数法求出段解析式、段解析式，然后画出图象即可；
分别求出甲、乙、丙三位同学获胜的概率即可．
本题考查了待定系数法求函数解析式，画函数图象，以及概率的计算，熟练掌握待定系数法和概率的计算是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：如图所示，，圆为所求作的的两条切线，

其中切点分别为，．
证明：连接，，，，记与的交点为．
由得，都是的切线，切点分别为，，
，，
．
．
，，
≌，
，，
即平分，
点，在线段的垂直平分线上，
即垂直平分．
，
，
．
，
，
即，
，
即平分，
点是的内心．
 

【解析】先作的垂直平分线，交于一点，再以这个点为圆心，以该点到点的距离为半径画弧线交于点，，连接，即可；
先证明≌，得到，，从而证得平分，进一步得到垂直平分，再证明，最后根据证得，得到平分，即可证得点是的内心．
本题考查尺规作图、圆的切线的性质和三角形内心的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
 

24.【答案】证明：点是的中点，点是的中点，
，
将绕点顺时针旋转得到，点的对应点是点，
，，．
．
，
∽，
；
解：过点作的垂线，垂足为，

．
由垂线段最短可得．
当且仅当点与点重合时，等号成立．
，
在旋转过程中存在点使得，此时点，重合，
在中，，
即的最大值是．
当最大时，．
此时，．
连接．
点是边的中点，
．
在中，，，
，
．
，
点在的延长线上．
设，则，
在中，．
在中，．
．
过点作于点，

，
即与的面积之比是． 

【解析】证明∽，根据相似三角形的性质可得结论；
过点作的垂线，垂足为，可得的最大值是，设，则，可求出，过点作于点，由三角形面积公式可得．
本题考查旋转的性质，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

25.【答案】解：将代，
得．
抛物线经过不重合的两点，．
该抛物线的对称轴是直线
即，
，
，即，
．
，
当时，取到最小值；

解：该抛物线与轴只有一个交点，
由得该抛物线的对称轴是轴，，
该抛物线的顶点是原点，
，
该抛物线的解析式是．
，，
，两点轴对称，
，两点中任意一点在该抛物线上，则另一点也在该抛物线上．
，，三点中有且仅有一点在该抛物线上，
只能是点在该抛物线上．
将代入，得，
该抛物线的解析式是；

证明：直线：与轴交于点，
，
直线的解析式是．
设，，不妨令，
分别过点，作轴的垂线，垂足为，，

，，，
这条抛物线的顶点是原点，抛物线开口向上，
点，都在轴的上方，
，．
将代入，得，
整理得．
，
由求根公式可得，．
，．
，，
，
．
又，
∽，
．
，，
≌．
．
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，，
∽，
 

【解析】将代，得再由对称轴可得，求得，可得，即，即最后求得的最小值；
由对称性可得，，三点中有且仅有一点在该抛物线上，只能是点在该抛物线上．将代入求值即可；
分别过点，作轴的垂线，垂足为，，先求出直线的解析式是先证明∽，可得，再证≌可得，可得四边形是平行四边形，再证∽，最后用相似三角形的性质求解即可．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质、旋转的性质、相似三角形的性质，利用的式子表示出点的坐标是解答问题的关键；通过作辅助线确定点的位置解答问题的关键．