2023年福建省福州市鼓楼区文博中学中考数学模拟试卷（含解析）

2023年福建省福州市鼓楼区文博中学中考数学模拟试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  一个正五棱柱如右图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖人左右，将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是同学们生活中常见的品牌，其中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  比大且比小的整数可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  实数在数轴上对应点的位置如图所示若实数满足，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  程大位的算法统宗是我国古代数学名著，其中有一道这样的题目“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空问房客各几何？”题目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住人，就会有人没地方住；若每间房住人，则空出一间房问有多少房间，多少客人？如果设房间有间，客人人，由题意可列方程组(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，半径为的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  已知关于的二次函数，下列结论中正确的序号是(    )
当时，函数图象的顶点坐标为；
当时，函数图象总过定点；
当时，函数图象在轴上截得的线段的长度大于；
若函数图象上任取不同的两点，，则当时，函数在时一定能使成立．

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  若代数式有意义，则实数的取值范围是______ ．

12.  用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是______ ．

13.  若方程的两根分别为，，则的值为______．

14.  世纪年代，数学家罗杰彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如图，使用了，两种菱形进行了密铺，则菱形的锐角的度数为______ ．

 

15.  如图，在扇形中，，点为的中点，交弧于点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，若，则阴影部分的面积为______．

16.  如图，点、为反比例函数上的动点，点、为反比例函数上的动点，若四边形为菱形，则该菱形边长的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，，，，，求证：．

19.  本小题分
作图题：如图：在矩形中，已知，，
用直尺和圆规在上找一点，使平分，不写作法，保留作图痕迹；
求内切圆半径的值．

20.  本小题分
为提高学生身体素质，初中生每天参加体育锻炼的时间应不少于小时，某校为了解该校学生平均每周天体育锻炼时间，从该校学生中随机抽取若干名学生平均每周体育锻炼时间进行调查，并根据调查结果将学生平均每周的体育锻炼时间小时分为五组：；；；；共五种情况，最后将调查结果用频数分布直方图和扇形统计图描述如下：

根据以上信息，解答下列问题：
本次抽样测试的学生人数是______ 人；
在扇形统计图中对应的圆心角度数是______ ，并补全频数分布直方图；
该校有学生名，估计该校平均每天运动达小时的人数为______ ；
请对该校学生体育锻炼时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议．

21.  本小题分
如图，内接于，交于点，交于点，交于点，连接，．
求证：；
若的半径为，，求的长结果保留．

22.  本小题分
如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为米，从楼的处测得楼的处的仰角是、、、、在同一平面内．
求楼的高；
小明发现无人机电量不足，仅能维持秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以米秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？

23.  本小题分
在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍．已知绿萝每盆元，吊兰每盆元．
采购组计划将预算经费元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？
规划组认为有比元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．

24.  本小题分
如图，在中，，，，点，为边，的中点，连接，将绕点逆时针旋转．

如图，当时，______，，所在直线相交所成的较小夹角的度数为______；
将绕点逆时针旋转至图所示位置时，中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
当绕点逆时针旋转过程中，
请直接写出的最大值；
当，，三点共线时，请直接写出线段的长．

25.  本小题分
如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，，，抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
若点是对称轴上的一个动点，是否存在以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
为的中点，一个动点从点出发，先到达轴上的点，再走到抛物线对称轴上的点，最后返回到点要使动点走过的路程最短，请找出点、的位置，写出坐标，并求出最短路程．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：把一个正五棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正五棱柱时的正投影是正五角形．
故选：．
根据平行投影特点以及图中正五棱柱的摆放位置即可求解．
本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A、、选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、单项式乘多项式分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，而，
比大且比小的整数可以是、，
故选：．
根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确估算的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：列表得：
 

由表可知一共有种情况，两枚骰子点数相同的有种，
所以两枚骰子点数相同的概率为，
故选：．
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子点数相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：，且，
，且，
，
，
故选：．
根据有理数加法法则判断出为负数，且绝对值大于，由的取值判断的取值必小于等于．
本题考查了有理数的加法法则的应用，利用数轴判断数的大小是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设房间有间，客人人，由题意可列方程组：
．
故选：．
根据每间房里住人，就会有人没地方住；每间房住人，则空出一间房，分别得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法，作直径，连结，先利用等角的补角相等得到，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到，再利用勾股定理，继而求得答案．
【解答】
解：作直径，连结，如图，
则，
，
而，
，
，
，
．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：当时，，
顶点坐标为，
故正确；
当时，，
当时，的值与无关，
此时，，
当，；当时，，
函数图象总经过两个定点，，
故正确；
当时，由得：，
，
，，
，
函数图象截轴所得的线段长度大于，
故正确；
时，抛物线的对称轴：，抛物线开口向下，
故时，只有当对称轴在右侧时，才随的增大而减小，即使成立，
故错误．
故选：．
把代入，再化为顶点式即可；
求得与轴的交点，进而求得的值，即可判断；
由，可知当时，的值与无关，然后求出，的对应值即可；
时，抛物线的对称轴：，抛物线开口向下，只有当对称轴在右侧时，才随的增大而减小，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

11.【答案】 

【解析】解：代数式有意义，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用分式有意义，则分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：“”是错误的，
的值可以是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
直接利用二次根式的性质，进而得出符合题意的答案．
此题主要考查了二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以．
故答案为．
先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知，菱形的锐角度数为：，
菱形的钝角度数为：，
菱形的钝角度数为：，
菱形的锐角度数为：，
故答案为：．
由题意可知，菱形的锐角为，则菱形的钝角为，再求出菱形的钝角为，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质，熟记菱形的邻角互补是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接、，
点为的中点，
，，
为等边三角形，
，



．
故答案为：．
连接、，根据点为的中点可得，继而可得为等边三角形，求出扇形的面积，最后用扇形的面积减去扇形的面积，再减去即可求出阴影部分的面积．
本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接、，过点作轴于，过点作轴于，如图，
四边形为菱形，
，
为反比例函数上的点，点为反比例函数上的点，
，，
，，
，
∽，
：：：，
：：，
，
当最小时，最小，
点为反比例函数的对称轴与反比例函数图象在一象限的交点时，最小，
的最小值为，
的最小值为，
即该菱形边长的最小值为．
故答案为．
连接、，过点作轴于，过点作轴于，如图，利用菱形的性质得到，利用反比例函数的几何意义得到，，再证明∽，利用相似三角形的性质得到：：，所以，利用点为反比例函数的对称轴与反比例函数图象在一象限的交点时，最小得到的最小值为，从而得到的最小值为．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即也考查了反比例函数的性质和菱形的性质．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】证明：，
，
即，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据线段的和差得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形 的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，以为圆心，长为半径画弧交于点，点即为所求；

由可得：，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，，，，
，
内切圆半径为，
，
． 

【解析】以为圆心，长为半径画弧交于点即可；
根据勾股定理求出，的长，然后利用三角形内切圆的性质列式计算即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．
 

20.【答案】     

【解析】解：本次抽样测试的学生人数是：人，
故答案为：；
在扇形统计图中对应的圆心角度数是，
第组的人数为：人，
补全频数分布直方图如下：

故答案为：；
平均每天运动小时及以上的学生人数分布在；这两组，
估计该校平均每天运动达小时的人数为人，
故答案为：；
评价：该校学生平均每天运动小时及以上的人数不到一半．建议：增加学生的课外活动时间，组织学生及时参加体育锻炼．
根据第组的人数和百分比求出样本容量即可；
用乘以第组的百分比即可求出圆心角的度数，求出第组的人数即可补全频数分布直方图；
用乘以样本中平均每天运动小时及以上的百分比即可；
根据中求出的平均每天运动小时及以上的学生人数占被调查人数的百分比可对该校学生运动时间的情况做出评价，并提出两条建议，答案不唯一．
本题考查的是频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
．
解：连接，，

由得，
，
，
的长． 

【解析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．
根据已知条件可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，等量代换可得，即可得出答案；
连接，，由中结论可计算出的度数，根据圆周角定理可计算出的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
 

22.【答案】解：过点作，垂足为，

由题意得：米，米，
在中，，
米，
米，
楼的高为米；
无人机能安全返航，
理由：如图：

在中，，米，
米，
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
米，
无人机从处匀速以米秒的速度沿方向返航，
无人机返航需要的时间秒，
秒秒，
无人机能安全返航． 

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，再根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后利用平角定义求出，从而利用三角形内角和定理求出，进而可得米，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：设购买绿萝盆，吊兰盆，
依题意得：，
解得：，
，，
符合题意．
答：购买绿萝盆，吊兰盆．
设购买绿萝盆，则购买吊兰盆，
依题意得：，
解得：，
设购买两种绿植的总费用为元，则，
，
随的增大而增大，
又，且为整数，
当时，取得最小值，最小值．
答：购买两种绿植总费用的最小值为元． 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
设购买绿萝盆，吊兰盆，利用总价单价数量，结合购进两种绿植盆共花费元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买绿萝盆，则购买吊兰盆，根据购进绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设购买两种绿植的总费用为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
 

24.【答案】，
解：中结论仍然成立，
证明：延长，相交于点，如图，

由旋转知，，
，，
，，
，，
，
∽，
，，
，
；
，
         线段的长为或． 

【解析】解：在中，，
，
，
，
点为边的中点，
，
点，为边，的中点，
是的中位线，
，
，，
在中，，
，
，
，
，所在直线相交所成的较小夹角为，
故答案为，；

解：由题意，，，，
当点落在的延长线上时，的面积最大，最大值；

在图中，中，，
当点在的延长线上时，如图，

，，三点共线，
，
在中，，
；
当点在线段上时，如图，

同的方法得，，
，
即线段的长为或．

先求出，，再求出，进而求出，即可得出结论；
先判断出∽，得出，，进而求出，即可得出结论；
当点落在的延长线上时，的面积最大，利用三角形面积公式求解即可；
分两种情况：先画出图形，利用勾股定理求出，即可得出结论．
本题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：，，，
，，，
设二次函数的解析式为，
将点的坐标代入，
，
，
二次函数的解析式为；
存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下：
，
对称轴为直线，
设直线的解析式为，
代入点、坐标可得：，
解得：，
直线的解析式为，
点，，
由两点距离公式可得，，，，
若使以点、、为顶点的三角形与相似，则有，
如图：当时，则有轴，
点；
如图：当时，
，
，
；
综上所述：点的坐标为或；
如图：作点关于轴的对称点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，分别与轴、抛物线的对称轴交于点、，此时的点、即为所求，即为动点所走过的最短路程，
，点为的中点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
，，
设直线的解析式为，
把点、坐标代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
当时，，
，，
点走过的最短路程为． 

【解析】设二次函数的解析式为，再将代入即可求解；
先求直线的解析式，分两种情况讨论：当时，则有轴，求出点；当时，由，可求；
作点关于轴的对称点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，分别与轴、抛物线的对称轴交于点、，此时的点、即为所求，即为动点所走过的最短路程，求出直线的解析式即可求、的坐标，在求出的长即可求最短距离．
本题是二次的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，轴对称求最短距离是解题的关键．