2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用高考解答题专项一第二课时利用导数研究不等式恒能成立问题课件

这是一份2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用高考解答题专项一第二课时利用导数研究不等式恒能成立问题课件，共35页。
考向1.“分离参数法”解决不等式恒成立问题
例1.(2023山东烟台二模)已知函数f(x)= .(1)求f(x)的单调区间;(2)当x>1时,f(x)+k(1+ln x)≤0,求实数k的取值范围.
令f'(x)>0,得01时,恒有3+2ln x>0,即h'(x)>0,所以h(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以h(x)>h(1)=0恒成立,即g'(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递增.
方法点拨“分离参数法”解决不等式恒成立问题“分离参数求最值”是解决不等式恒成立求参数的取值范围问题的基本方法,其基本过程如下:(1)已知含参数λ的不等式f(λx)≥0恒成立;(2)将不等式转化为g(λ)≥h(x),即将参数λ与变量x分离,可以将λ单独分离到不等式一边,也可以将只含有λ的一个代数式分离到不等式的一边;(3)求函数h(x)的最值或值域.求h(x)最大值或值域的方法要依据函数h(x)的形式而确定,可以用导数法、均值不等式法、换元法、单调性法等等;(4)得出结论.若h(x)的最大值为M,则g(λ)≥M;若h(x)不存在最大值,其值域为(m,M)时,g(λ)≥M.
对点训练1已知函数f(x)=-ln x+2x-2.(1)求与函数f(x)的图象相切且斜率为1的直线方程;(2)若g(x)=f(x)+ax+2,当x∈[1,e]时,g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
解 由已知得f'(x)=2- (x>0).(1)因为直线的斜率为1且与函数f(x)的图象相切,所以由f'(x)=1,即2- =1,解得x=1,而f(1)=0,所以切点为(1,0),故直线方程为x-y-1=0.
考向2.“最值法”解决不等式恒成立问题例2.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=(x-1)ex- .(1)若a=e,讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)≤3在区间(0,2]上恒成立,求实数a的取值范围.
解(1)f'(x)=xex-ax=x(ex-a),当a=e时,f'(x)=x(ex-e).当x∈(0,1)时,f'(x)0,因此f(x)在区间(0,ln a)内单调递减,在区间(ln a,2]上单调递增,又因为f(0)=-10或f(x,a)≥0的形式,然后从研究函数的性质入手,通过讨论函数的单调性和极值,直接用参数表达函数的最值,然后根据题意,建立关于参数的不等式,解不等式即得参数的取值范围.(1)如果f(x,a)有最小值g(a),则f(x,a)>0恒成立⇔g(a)>0,f(x,a)≥0恒成立⇔g(a)≥0;(2)如果f(x,a)有最大值g(a),则f(x,a)0,有f(x)≥0,求正数a的取值范围.
解(1)当a=1时,f(x)=ex-ln x,得f'(x)=ex- ,∴切点(1,e),斜率f'(1)=e-1,故所求切线方程为y-e=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y+1=0.
(2)f(x)≥0,即ex+x-ax-ln(ax)≥0(a>0,x>0)⇔ex+x≥ax+ln(ax)(a>0,x>0)⇔ex+x≥eln(ax)+ln(ax)(a>0,x>0).令g(x)=ex+x,显然g(x)是增函数,于是上式可化为g(x)>g(ln(ax)),即x≥ln(ax)(a>0,x>0)⇔ln a≤x-ln x(a>0,x>0).
令φ(x)=x-ln x(x>0),则φ'(x)=1- ,易知φ(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故φ(x)min=φ(1)=1,于是ln a≤1,可得00时,f(x)≥0,求实数a的取值范围.
令h(x)=ex-x,则h'(x)=ex-1>0,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)>h(0)=1>0恒成立.故由f'(x)>0得x>1,由f'(x)ln(x+1)+(x+1)在(-1,+∞)上恒成立.设h(t)=t+ln t,则
考向4.“端点效应法”解决不等式恒成立问题
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)+sin x0,∴f'(x)