适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练17利用导数研究函数的极值最值北师大版

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课时规范练17
基础巩固组
1.设x=θ是函数f(x)=3cos x+sin x的一个极值点,则tan θ=(　　)
A.-3 B.- C. D.3
答案:C
解析:∵由已知可得f'(θ)=-3sinθ+cosθ=0,∴tanθ=.
2.(2023·湖南长郡中学高三检测)已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,则f(x)的极值点的个数为(　　)

A.0
B.1
C.2
D.3
答案:C
解析:因为在x=0附近左、右两边的导数值均为负数,所以0不是极值点,故由图可知f(x)只有2个极值点.
3.(2022·福建莆田三模)已知函数f(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4,则a=(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
答案:A
解析:f'(x)=2(x+1)-sin(x+1),令g(x)=f'(x),则g'(x)=2-cos(x+1)>0,所以f'(x)单调递增,又f'(-1)=0,所以当x0,故x=-1为f(x)的最小值点,即f(-1)=1+a=4,解得a=3.
4.(2022·福建龙岩三模)为了支援B市抗击疫情,A市组织物流企业的汽车运输队走高速公路向B市运送抗疫物资.已知A市距离B市500 km,设车队从A市匀速行驶到B市,高速公路限速为60 km/h~110 km/h.已知车队每小时运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v km/h的立方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.若b=,a=104,为了使全程运输成本最低,车队速度v应为 (　　)
A.80 B.90
C.100 D.110
答案:C
解析:设运输成本为y元,依题意可得y=104+v3·v2+,v∈[60,110],则y'=5v-.所以当v=102时,y'=0;当60≤v0,即函数在[60,100)上单调递减,在(100,110]上单调递增,所以当v=100时,y取得极小值即最小值,所以车队速度为100km/h时全程运输成本最低.
5.(多选)(2023·福建德化一中模拟)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是(　　)
A.∀x∈R,f(x)≥f(x0)
B.-x0是f(-x)的极大值点
C.-x0是-f(x)的极小值点
D.-x0是-f(-x)的极小值点
答案:BD
解析:x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,并不一定是最小值点,故A不正确;f(-x)的图象相当于f(x)的图象关于y轴的对称图象,故-x0应是f(-x)的极大值点,故B正确;-f(x)的图象相当于f(x)的图象关于x轴的对称图象,故x0应是-f(x)的极小值点,不能确定-x0的情况,故C不正确;-f(-x)的图象相当于f(x)的图象先关于y轴作对称,再关于x轴作对称得到的图象,故D正确.故选BD.
6.(2023·山东临沂高三检测)若x=-1是函数f(x)=(x2-ax+1)e2-x的一个极值点,则a=　　　　;f(x)的极大值为　　　　. 
答案:-2　4e
解析:∵f(x)=(x2-ax+1)e2-x,
∴f'(x)=-[x2-(2+a)x+a+1]e2-x.
由题意可得f'(-1)=-2(a+2)e3=0,解得a=-2.
∴f(x)=(x2+2x+1)e2-x,f'(x)=-(x2-1)e2-x.
令f'(x)=0,得x=-1或x=1.
列表如下:
x
(-∞,
-1)
-1
(-1,1)
1
(1,
+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
∴函数y=f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(1,+∞),单调递增区间为(-1,1),
∴函数y=f(x)的极大值为f(1)=4e.
7.(2022·湖南益阳3月调研)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)且x10,所以g(x)=xex在(0,+∞)上单调递增,所以ln(xy)=x,即xy=ex,所以xy-2x=ex-2x.令f(x)=ex-2x,x>0,则f'(x)=ex-2.令f'(x)=ex-2>0,解得x>ln2;令f'(x)=ex-21,则g'(x)在R上单调递增,此时由x1,x2为方程f'(x)=0的两根,可知存在x0∈(x1,x2),使g'(x)=0,所以g(x)在区间(-∞,x0)内单调递减,在区间(x0,+∞)内单调递增.
又g(x1)=0,g(x2)=0,所以f(x)在区间(-∞,x1)内单调递增,在区间(x1,x2)内单调递减,在区间(x2,+∞)内单调递增,所以x1为f(x)的极大值点,x2为f(x)的极小值点,不符合题意,舍去.
若00,解得x,
令f'(x)0,h(x)单调递增,而1