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    人教版高考数学一轮复习考点规范练16利用导数研究函数的极值、最值含答案

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    这是一份人教版高考数学一轮复习考点规范练16利用导数研究函数的极值、最值含答案,共5页。试卷主要包含了函数f=ln x-x在区间,故ln a

    考点规范练16 利用导数研究函数的极值、最值

    1.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,m+n等于(  )

    A.0 B.2 

    C.-4 D.-2

    答案  B

    解析  f'(x)=3x2-6x+1,因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,

    所以x1=m,x2=n3x2-6x+1=0的两根.

    由根与系数的关系,可知m+n=-=2.

    2.x=1是函数f(x)=ax+ln x 的极值点,(  )

    A.f(x)有极大值-1 

    B.f(x)有极小值-1

    C.f(x)有极大值0 

    D.f(x)有极小值0

    答案  A

    解析  f'(x)=a+(x>0).

    x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,

    f'(1)=0,a+=0,a=-1.

    x>1,f'(x)<0,f(x)单调递减;0<x<1,f'(x)>0,f(x)单调递增.

    因此当x=1,f(x)有极大值-1.

    3.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为 (  )

    A.-1 B.1-e C.-e D.0

    答案  A

    解析  f'(x)=-1=,f'(x)>0,0<x<1;f'(x)<0,1<x<e,则函数f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,e)内单调递减,即当x=1,函数f(x)取极大值,这个极大值为函数f(x)在区间(0,e]上的最大值,所以f(x)max=f(1)=-1,故选A.

    4.(2021辽宁铁岭一模)aR,a>3函数f(x)=(x-a)ex在区间(0,+)上有极值 (  )

    A.充分不必要条件 

    B.必要不充分条件

    C.充要条件 

    D.既不充分也不必要条件

    答案  A

    解析  由题意,函数f(x)=(x-a)ex,f'(x)=(x-a+1)ex.

    f'(x)=0,可得x=a-1,

    x<a-1,f'(x)<0;x>a-1,f'(x)>0,

    所以函数y=f(x)x=a-1处取得极小值.

    若函数y=f(x)在区间(0,+)上有极值,a-1>0,解得a>1.

    因此a>3函数f(x)=(x-a)ex在区间(0,+)上有极值的充分不必要条件.

    5.已知函数f(x)=x3-4x+a在区间[0,3]上的最大值为2,a的值为(  )

    A.- B.2 C.5 D.

    答案  B

    解析  f'(x)=x2-4.f'(x)>0,解得x>2x<-2,f'(x)<0,解得-2<x<2,

    f(x)在区间[0,2)内单调递减,在区间(2,3]内单调递增,f(x)的最大值是f(0)f(3),

    f(0)=a>f(3)=a-3,f(0)=a=2.

    6.(多选)f'(x)为函数f(x)的导函数,已知x2f'(x)+xf(x)=ln x,f(1)=,则下列结论不正确的是(  )

    A.xf(x)在区间(0,+)内单调递增

    B.xf(x)在区间(0,+)内单调递减

    C.xf(x)在区间(0,+)内有极大值

    D.xf(x)在区间(0,+)内有极小值

    答案  ABC

    解析  x2f'(x)+xf(x)=ln x,x>0,xf'(x)+f(x)=,[xf(x)]'=.

    g(x)=xf(x),则由g'(x)=>0,x>1,

    g'(x)<0,0<x<1,

    xf(x)在区间(1,+)内单调递增,在区间(0,1)内单调递减,即当x=1,函数g(x)=xf(x)取得极小值g(1)=f(1)=.

    7.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-ln x(a>0,bR)的一个极值点,ln ab-1的大小关系是 (  )

    A.ln a>b-1 B.ln a<b-1

    C.ln a=b-1 D.以上都不对

    答案  B

    解析  f'(x)=3ax2-b-,x=1是函数f(x)的极值点,

    f'(1)=3a-b-1=0,3a-1=b.

    g(a)=ln a-(b-1)=ln a-3a+2(a>0),g'(a)=-3=,

    g(a)在区间内单调递增,在区间,+内单调递减,

    g(a)max=g=1-ln 3<0.ln a<b-1.

    8.已知函数f(x)=x2ex在区间(k,k+1.5)内存在极值点,则整数k的值为(  )

    A.-3,0 B.-2,1 C.-3,-1 D.-2,0

    答案  C

    解析  f(x)=x2ex,可得f'(x)=2xex+x2ex=ex(x2+2x).

    x(-,-2)(0,+),f'(x)>0;x(-2,0),f'(x)<0,

    f(x)在区间(-,-2)(0,+)内单调递增,在区间(-2,0)内单调递减.

    f(x)在区间(k,k+1.5)内无极值点,

    k+1.5-2k0-2k<k+1.50,

    k(-,-3.5][-2,-1.5][0,+),f(x)在区间(k,k+1.5)内无极值点,

    k(-3.5,-2)(-1.5,0),f(x)在区间(k,k+1.5)内存在极值点.

    k是整数,k=-3k=-1.

    9.已知函数f(x)=(xex-m)x-2ex(xR).m=0,f(x)的极大值点为     ;f(x)3个极值点,则实数m的取值范围是     . 

    答案  -1- (0,6e-4)

    解析  m=0,f(x)=(x2-2)ex,f'(x)=(x2+2x-2)ex.

    f'(x)=0,

    解得x1=-1-,x2=-1+.

    f(x)在区间(-,x1)(x2,+)内单调递增,

    在区间(x1,x2)内单调递减,

    f(x)的极大值点为-1-.

    f(x)=(x2-2)ex-mx,f'(x)=(x2+2x-2)ex-m,

    f'(x)=0,m=(x2+2x-2)ex.

    构造函数g(x)=(x2+2x-2)ex,

    g'(x)=(x2+4x)ex=x(x+4)ex,

    g(x)在区间(-,-4),(0,+)内单调递增,在区间(-4,0)内单调递减,

    g(x)的极大值为g(-4)=6e-4,极小值为g(0)=-2.

    因为当x<-4,(x2+2x-2)ex>0,

    所以由f(x)3个极值点,可得0<m<6e-4.

    故实数m的取值范围是(0,6e-4).

    10.已知函数f(x)=ax3-x2+b(xR).

    (1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=6x-8,a,b的值;

    (2)a>0,b=2,x[-1,1],f(x)的最小值.

    (1)f'(x)=3ax2-3x.

    由题意得f'(2)=6,f(2)=4,解得a=1,b=2.

    (2)f(x)=ax3-x2+2(a>0).

    f'(x)=3ax2-3x=3x(ax-1).

    f'(x)=0,解得x=0x=.

    分以下三种情况讨论:

    >1,0<a<1,x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

    x

    (-1,0)

    0

    (0,1)

    f'(x)

    +

    0

    -

    f(x)

    单调递增

    极大值

    单调递减

     

    因为f(-1)=-a,f(1)=a+,

    所以f(x)min=f(-1)=-a.

    0<<1,a>1,x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

    x

    (-1,0)

    0

    f'(x)

    +

    0

    -

    0

    +

    f(x)

    单调递增

    极大值

    单调递减

    极小值

    单调递增

     

    因为f(-1)=-a,f=2-,

    f-f(-1)=2-+a->0,所以f(x)min=f(-1)=-a.

    a=1,f(x)=x3-x2+2,f'(x)=3x2-3x=3x(x-1).

    f(x)在区间[-1,1]上的单调性,知求此区间的最小值只比较f(1),f(-1)的大小即可,f(1)=,f(-1)=-,

    所以f(x)min=f(-1)=-.

    综上,f(x)min=f(-1)=-a.

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