2024年新高考数学一轮复习讲义 专题04 基本不等式及其应用

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专题04基本不等式及其应用
【命题方向目录】
命题方向一：基本不等式及其应用
命题方向二：直接法求最值
命题方向三：常规凑配法求最值
命题方向四：消参法求最值
命题方向五：双换元求最值
命题方向六：“1”的代换求最值
命题方向七：齐次化求最值
命题方向八：利用基本不等式证明不等式
命题方向九：利用基本不等式解决实际问题
命题方向十：利用权方和不等式求最值
命题方向十一：与、和有关问题的最值
命题方向十二：待定系数法求最值
命题方向十三：法求最值
【2024年高考预测】
基本不等式作为工具，常结合其他知识点进行考察，如解析几何、函数求最值，实际应用等求范围题型，难度为基础题或中档题．
【知识点总结】
1、基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件：
（2）等号成立的条件：当且仅当时，等号成立．
（3）其中叫做正数a，b的算术平堭数，叫做正数a，b的几何平均数．
2、几个重要的不等式
（1）．
（2）（同号）．
（3）．
（4）．
以上不等式等号成立的条件均为．
3、利用基本不等式求敢值
（1）已知x，y都是正数，如果积xy等于定值，那么当时，和有最小值
（2）已知x，y都是正数，如果和等于定值，那么当时，积xy有最大值
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
【方法技巧与总结】
1、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立．
2、权方和不等式
若，
则成立．当的时，等号成立．
【典例例题】
命题方向一：基本不等式及其应用
【通性通解总结】
熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．
例1．（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ）

A． B．
C． D．

例2．（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（    ）

A． B．
C． D．

例3．（2023·全国·高三专题练习）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B． C． D．

变式1．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式的证明过程正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若则
D．若，且，则

变式2．（2023·全国·高三对口高考）下列结论正确的是（     ）
A．有最小值2 B．有最小值2
C．时，有最大值-2 D．时，有最小值2

命题方向二：直接法求最值
【通性通解总结】
直接利用基本不等式求解，注意取等条件．
例4．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）若，，，则的最小值为（    ）
A． B． C．1 D．2

例5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．

例6．（2023·云南文山·高三马关县第一中学校校考阶段练习）已知正数满足,则的最大值是（    ）
A． B． C． D．

变式3．（2023·全国·高三专题练习）若实数，满足，则的最大值是（    ）．
A． B． C． D．1

变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32

变式5．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若，，则的最小值为（    ）
A． B．2 C． D．4

命题方向三：常规凑配法求最值
【通性通解总结】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
例7．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（       ）
A． B．
C． D．

例8．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为（       ）
A．3 B． C． D．

例9．（2023·上海·高三专题练习）若，则函数的最小值为___________.

命题方向四：消参法求最值
【通性通解总结】
消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！
例10．（2023·江苏苏州·高二统考期中）已知实数，满足且，则的最小值是______.

例11．（2023·江苏苏州·高二统考竞赛）已知正实数a，b，c满足，且，则c的最大值为___________.

例12．（2023·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最大值为______．

命题方向五：双换元求最值
【通性通解总结】
若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
1、代换变量，统一变量再处理．
2、注意验证取得条件．
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则取到最小值为 ________．

例14．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则的最小值是__________.

命题方向六：“1”的代换求最值
【通性通解总结】
1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．
1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．
2、注意验证取得条件．
例15．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围__________.

例16．（2023·上海金山·统考二模）已知正实数满足,则的最小值为__________.

例17．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，，且，则的最小值是___________.

变式6．（2023·全国·高三专题练习）若正实数a，b满足，则的最小值为_______．

变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知都是正数，且，则的最小值为__________．

变式8．（2023·陕西渭南·统考二模）设，若，则的最小值是___________.

变式9．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数，且，则的最小值为___________.

变式10．（2023·全国·高三专题练习）正实数满足，则的最小值为___________.

变式11．（2023·天津·高三校联考期末）已知，则的最小值为__________.

变式12．（2023·全国·高三专题练习）若三个正数满足，则的最小值为______.

变式13．（2023·重庆·高三统考学业考试）已知，则的最小值为___________.

变式14．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为______.

命题方向七：齐次化求最值
【通性通解总结】
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．
例18．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，则的最大值是______.

例19．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数，若，则的最小值为（    ）
A．12 B． C． D．8

例20．（2023·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足，则的最大值为____________．

命题方向八：利用基本不等式证明不等式
【通性通解总结】
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．
例21．（2023·贵州·高三校联考期中）已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．




例22．（2023·广西南宁·统考二模）已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)若，则；
(2).




例23．（2023·贵州黔西·校考一模）设，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．




变式15．（2023·全国·高三专题练习）证明：如果、，那么．




变式16．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知都是正数，且，证明：
(1)；
(2).





命题方向九：利用基本不等式解决实际问题
【通性通解总结】
1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．
2、注意定义域，验证取得条件．
3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．
例24．（2023·全国·高三专题练习）某工厂的产值第二年比第一年的增长率是，第三年比第二年的增长率是，而这两年的平均增长率为，在为定值的情况下，的最大值为___________（用､表示）

例25．（2023·全国·高三专题练习）蕲春县内有一路段A长325米，在某时间内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为，交通部门利用大数据，采用“信号灯不再固定长短，交通更加智能化”策略，红灯设置时间T（秒）＝路段长×，那么在车流量最大时，路段A的红灯设置时间为___________秒.

例26．（2023·全国·高三专题练习）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为___________.


变式17．（2023·上海长宁·统考二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要___________米栅栏．


变式18．（2023·全国·高三专题练习）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元.

变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知一扇形的圆心角为（），扇形的周长是一定值（），当为______弧度时，该扇形面积取得最大值.

变式20．（2023·全国·高三专题练习）设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（       ）
A．（38－3 m3 B．16 m3 C．4 m3 D．14 m3

命题方向十：利用权方和不等式求最值
【通性通解总结】
若，
则成立．当的时，等号成立．
例27．已知为正实数，若，则的最小值为

例28．设，若，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．

例29．已知实数满足且，则的最小值是

变式21．已知，则的最小值是 ．

变式22．已知，则的最小值是 ．

变式23．已知且，则的最小值是 ．

命题方向十一：与、和有关问题的最值
【通性通解总结】
利用基本不等式变形求解
例30．（多选题）（2023·广东惠州·统考一模）若，则（    ）
A． B．
C． D．

例31．（多选题）（2023·山东聊城·统考一模）设，，且，则（    ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为

例32．（多选题）（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）设，，满足，下列说法正确的是（    ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为1

变式24．（多选题）（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知，，且，则下列不等式一定成立的有（    ）
A． B． C． D．

变式25．（多选题）（2023·辽宁朝阳·校联考一模）设正实数满足，则（    ）
A．有最小值4 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值

变式26．（多选题）（2023·江苏·统考一模）已知正数a，b满足，则（    ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为

变式27．（多选题）（2023·全国·模拟预测）若，，则（    ）
A． B． C． D．

变式28．（多选题）（2023·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ）
A．的最大值为 B．的最大值为1
C．的最小值为 D．的最小值为3

命题方向十二：待定系数法求最值
例33．（2023·全国·高三竞赛）设，，，是不全为零的实数，且满足.则的最小值是_________.

例34．（2023·全国·高三竞赛）设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数的最大值是_____.

例35．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）若实数满足，则的最大值为________.

变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知正数，则的最大值为_________．

变式30．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知实数，，不全为，则的最小值是___，最大值是___．

命题方向十三：法求最值
例36．（2023·全国·高三专题练习）若函数的最大值为，最小值为，则（    ）
A．4 B．6
C．7 D．8

例37．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知实数a，b满足，则的最小值是__________.

例38．（2023·全国·高三专题练习）设，，若，且的最大值是，则___________.

变式31．（2023·江苏·高三专题练习）若正实数满足，则的最大值为________．

变式32．（2023·全国·高三专题练习）若x，y为实数且满足，试分别求x、y的最值.




【过关测试】
一、单选题
1．（2023·新疆喀什·高三统考期末）已知，且，则的最小值为（    ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数，，点在直线上，则的最小值为（    ）
A．4 B．6 C．9 D．12
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知，，且，则的最小值是（    ）
A．4 B．5 C．7 D．9
6．（2023·河南·高三校联考阶段练习）下列选项正确的是（    ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
7．（2023·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
8．（2023·河南开封·统考三模）已知，，且，，则下列不等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（    ）
A．10 B．9 C．8 D．7
10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正实数a，b满足，则（    ）
A． B． C． D．
11．（2023·江苏扬州·高三统考开学考试）已知实数a，b>0，2a+b=4，则下列说法中正确的有（    ）
A．有最小值 B．a2+b2有最小值
C．4a+2b有最小值8 D．lna+lnb有最小值ln2
12．（2023·全国·模拟预测）已知，，且.则下列选项正确的是（    ）
A．的最小值为 B．的最小值为1
C． D．
三、填空题
13．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．
14．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知，则的最小值是______．
15．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为_________．
16．（2023·天津·统考二模）已知实数、满足，则的最小值为________.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元)
(1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？




18．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若的最小值为2，且，求的最小值．




19．（2023·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）已知函数.
(1)求的最大值;
(2)正实数满足，若对任意的恒成立，求的取值范围.




20．（2023·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知a，b，c都是正数，且，证明：
(1)；
(2)．




21．（2023·陕西铜川·统考二模）设函数．
(1)解不等式；
(2)令的最小值为T，正数满足，证明：．




22．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数，．
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围．