2024年高考数学第一轮复习专题04 基本不等式及其应用（解析版）

这是一份2024年高考数学第一轮复习专题04 基本不等式及其应用（解析版），共26页。
专题04基本不等式及其应用
【考点预测】
1、基本不等式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；
基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
【方法技巧与总结】
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．
特例：（同号）．
（3）其他变形：
①（沟通两和与两平方和的不等关系式）
②（沟通两积与两平方和的不等关系式）
③（沟通两积与两和的不等关系式）
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知．
（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．
（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立．
【题型归纳目录】
题型一：基本不等式及其应用
题型二：直接法求最值
题型三：常规凑配法求最值
题型四：消参法求最值
题型五：换元法求最值
题型六：“1”的代换求最值
题型七：利用基本不等式证明不等式
题型八：利用基本不等式解决实际问题
【典例例题】
题型一：基本不等式及其应用
例1．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式恒成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项，成立的条件为，故错误；
对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于，故，正确.
故选：D
例2．（2023春·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对A，当且仅当即等号成立；
对B，当且仅当即等号成立；
对C，当且仅当即时等号成立；
对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立．
故选：D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）给出下面三个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴＋＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；
③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.
其中正确的推导为（    ）
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】①，根据基本不等式的知识可知①正确.
②，当时，，所以②错误.
③，根据基本不等式的知识可知③正确.
所以正确的为①③.
故选：B
变式1．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考期末）下列命题中，真命题的是（    ）
A．，都有
B．，使得
C．任意非零实数，都有
D．若，则的最小值为4
【答案】AB
【解析】对于A，恒成立，
则，都有，A选项正确；
对于B，当时，，
（当且仅当时取等号），
，，使得，B选项正确；
对于，当时，，C选项错误；
对于 D，当时，，令,
在上单调递增，
，
则的最小值不是4，D选项错误；
故选：AB.
变式2．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列推导过程，正确的为（    ）
A．因为、为正实数，所以
B．因为，所以
C．，所以
D．因为、，，所以
【答案】AD
【解析】对于A选项，则，当且仅当时等号成立，A选项正确；
对于B选项，，，，B选项错误；
对于C选项，当时，，当且仅当时等号成立，C选项错误；
对于D选项，因为、，、则，.，当且仅当时等号成立，D选项正确．
故选：AD
【方法技巧与总结】
熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．
题型二：直接法求最值
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】∵已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，∴ab≥2，
化简可得 2，
∴ab≥8，当且仅当a＝2b时等号成立，
故ab的最小值是8，
故选：B．
例5．（2023·全国·高三专题练习）若实数a，b满足，则ab的最大值为（    ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】∵，，
∴，即，当且仅当时等号成立，
∴．
故选：D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最大值为（    ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
故选：D
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】因为，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：B.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）若实数，满足，则的最小值为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为，又
所以
所以，当且仅当，时取等号，
所以的最小值为2，
故选：C.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为（    ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】因为，当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为4.
故选：A
【方法技巧与总结】
直接利用基本不等式求解，注意取等条件．
题型三：常规凑配法求最值
例7．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则有（       ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】A
【解析】
因，则，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，有最大值.
故选：A
例8．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因为，所以，当且仅当，即时等号成立.
所以函数的最小值是.
故选：D.
例9．（2023·上海·高三专题练习）若，则函数的最小值为___________.
【答案】3
【解析】
由题意，，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立.
所以函数的最小值为3.
故答案为：3.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）（1）求函数的最小值及此时的值；
（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.
【解析】
（1）∵，
∴，
当且仅当即时，等号成立.
故函数的最小值为5，此时；
（2）令，
将代入得：
，
∵，
∴，
当且仅当，
即，
即时，等号成立.
故函数的最小值为5，此时.
【方法技巧与总结】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
题型四：消参法求最值
例21．（2022·全国·高三专题练习）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由正实数，，满足，
．
，
当且仅当时取等号，此时．
，当且仅当时取等号，
即的最大值是1．
故选：D
例22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
【解析】
由，得，
所以，
当且仅当，即取等号.
故选：B.
例23．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，
所以a＝，
则＝＝＝﹣2 （）2+，
当，即b＝2 时取得最大值．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！
题型五：换元法求最值
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则取到最小值为 ________．
【答案】．
【解析】
令，∴，
∴
，当且仅当时，等号成立，
即的最小值是．
例30．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为_________
【答案】
【解析】令，则，
则，即，
则

，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
例10．（2023·浙江·高三专题练习）（1）已知，求函数的值域；
（2）已知，，且，求：的最小值．
【解析】（1）设，因为，可得，且，
故，
因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立．
所以函数的值域为．
（2）由，可得，即，
则．
当且仅当，即且时，等号成立，
所以的最小值为．
【方法技巧与总结】
若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
1、代换变量，统一变量再处理．
2、注意验证取得条件．
题型六：“1”的代换求最值
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，，且满足，则的最小值为__．
【答案】
【解析】∵实数，，且满足，
则，
当且仅当，时取等号．
故答案为：.
例12．（2023·全国·高三专题练习）非负实数x，y满足，则的最小值为______．
【答案】0
【解析】当时，；
当x，时，由得，
所以（当且仅当,即 时，等号成立）．
所以的最小值为0．
故答案为：.
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知 为正实数， 且， 则 的最小值为___________．
【答案】
【解析】由题意
当且仅当即时等号成立，
故答案为：
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由题意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）
＝4＋5＋＋≥9＋2＝，
当且仅当＝，时取等号， 此时，
故的最小值为．
故答案为：
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b为正实数，且，则的最小值为______．
【答案】6
【解析】由已知条件得，，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：6.
【方法技巧与总结】
1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．
1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．
2、注意验证取得条件．
题型七：利用基本不等式证明不等式
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b，c为正数.
(1)求的最小值；
(2)求证：.
【解析】（1）因为，当且仅当“”时等号成立，所以当时，的最小值为.
（2）因为，同理，，所以三式相加得，所以，当且仅当“”时等号成立
例15．（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）设a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
【解析】（1）因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
即，当且仅当时，等号成立.
（2）因为,
所以，当且仅当时，等号成立，
即，即，
所以，当且仅当时，等号成立.
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知：，求证：.
【解析】，两边平方得，
根据基本不等式有，
将上述个不等式相加得，
即，
所以，
整理得，
当且仅当时等号成立.
【方法技巧与总结】
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．
题型八：利用基本不等式解决实际问题
例17．（2023春·广东东莞·高三东莞市东华高级中学校考阶段练习）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米.
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.
【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，
则
.
当且仅当，即时等号成立.
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.
（2）由题意可得，对任意的恒成立.
即，从而恒成立，
令，
又在为单调增函数，故.所以.
例18．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某水果树的单株产量（单位千克）与施用发酵有机肥费用（单位：元）满足如下关系：，这种水果树单株的其它成本总投入为元.已知该水果的市场售价为元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求函数的解析式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大?最大利润是多少?
【解析】（1）由题意得：，即，
∴化简得 ．
（2）当时，的对称轴且开口向上，
∴；
当时，，当且仅当，即时取等号，
综上，当投入的肥料费用为元时，单株水果树获得的利润最大为380元．
例19．（2023春·山东菏泽·高三巨野县实验中学校考阶段练习）2021年9月17日13时34分，神舟12号返回舱在东风着陆场成功着陆，它是中国成为太空大国的里程碑．2021年6月17日将神舟12号载人飞船送入太空的长征二号F运载火箭在设计生产中采用了很多新技术新材料．甲工厂承担了某种材料的生产，并以千克/时（为保证质量要求）的速度匀速生产，每小时可消耗A材料（）千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．
(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数．
(2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度?并求消耗的A材料最少为多少．
【解析】（1）（1）由题意得k＋9＝10，解得k＝1，
因为生产千克该产品需要的时间是，
所以．
（2）由（1）知，生产1000千克该产品消耗的A材料为（千克），当且仅当，即x＝3时，等号成立，
故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少，最少为6000千克．
【方法技巧与总结】
1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．
2、注意定义域，验证取得条件．
3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，得：，
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
当且仅当时等号成立.
所以，
解得或，
所以的取值范围是.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】∵，∴，
∴≥＝6，
当且仅当即时， 取最小值6，
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c（），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，比赛一局得分的数学期望为，故，
又，故，解得，当且仅当，即时等号成立.
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积为的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长宽才能使所用篱笆最短，则最短的篱笆长度为（参考数据：）（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设矩形的长、宽分别为x m(x≤18 )，y m，篱笆的长为l m，则，且，
则，当且仅当(m)，符合题意，
即长、宽分别略为、时，篱笆的最短长度为，
故选：C．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，则，当且仅当即时取等号．
故选：D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，则，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知都是正数，且，则的最小值为（    ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】由题意知，，，
则
，
当且仅当时，取最小值.
故选：C．
10．（2023·全国·高三专题练习）若，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，
（当且仅当，即时取等号），的最大值为.
故选：A.
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）若，，则（    ）
A． B．
C．的最小值为 D．
【答案】ABD
【解析】因为，所以，又，所以，A正确；
因为，，则，，所以，B正确；
因为，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，C不正确；
因为，则，所以，，
因为，所以，D正确.
故选：ABD.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（    ）
A．的最小值是1 B．的最大值是1
C．的最小值是 D．的最大值是
【答案】BC
【解析】因为，所以，
所以，可得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故错误，B正确．
因为，
故的最小值为，无最大值，故C正确，D错误．
故选：BC
13．（2023·全国·高三专题练习）下列函数最小值为2的是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A，，最小值为2；
对于B，，当且仅当，时取得最小值2；
对于C，，当且仅当，即时取得最小值2；
对于D，，当时取得最小值1，综上可知：ABC正确.
故选：ABC.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由题设，，则(仅等号成立)，可得，
由，即，则，A正确；
由，即，B错误；
由，C正确；
由，当且仅当时等号成立，D错误；
故选：AC
15．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中是偶函数，且值域为的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由题意可得是奇函数，故排除选项B；是偶函数，但值域为，故排除选项C；和都是偶函数，且值域均为.
故选：AD.
三、填空题
16．（2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为、且，
所以，当且仅当，即、时取等号；
故答案为：
17．（2023·上海·高三专题练习）函数的值域为_________.
【答案】
【解析】因为，所以，当且仅当时取等号．
故答案为：．
18．（2023·全国·高三专题练习）若正实数a，b满足，则的最小值为___________.
【答案】1
【解析】∵，当且仅当时等号成立
即，则
∴或（舍去），即
故答案为：1．
19．（2023·全国·高三专题练习）若实数，满足，且，则的最大值为______.
【答案】
【解析】令，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则的最小值是_______．
【答案】16
【解析】∵，则可得
∴
∵当且仅当时等号成立
∴
故答案为：16．
21．（2023·全国·高三专题练习）若，则的最小值是___________.
【答案】2
【解析】因为，
所以，
则，
所以，
解得或（舍去），
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值是2.
故答案为：2.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是______．
【答案】6
【解析】，则，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值是6.
故答案为：6
23．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是___________.
【答案】
【解析】，当且仅当，即时取等.所以最小值为.
故答案为：.
四、解答题
24．（2023·全国·高三专题练习）某企业生产一种电子设备，通过市场分析，每台设备的成本与产量满足一定的关系式.设年产量为（，）（单位：台），若年产量不超过70台，则每台设备的成本为（单位：万元）；若年产量超过70台不超过200台，则每台设备的成本为（单位：万元），每台设备售价为100万元，假设该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式；
(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少万元？
【解析】（1）当，时，，
当，时，，
所以.
（2）当，时，，
所以当时，取得最大值，最大值为.
当，时，，
当且仅当，即时，取得最大值，
因为，所以当年产量台时，年利润最大，最大值为万元.
25．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域.
【解析】，
因，即，则，
当且仅当，即 时等号成立，于是得，
所以原函数的值域为.
26．（2023·全国·高三专题练习）大罗山位于温州市区东南部，由四景一水网构成，它们分别是：仙岩景区、瑶溪景区、天柱寺景区、茶山景区和三垟湿地．根据温州市总体规划，大罗山将是温州市未来的“绿心”和“绿楔”，温州市区将环大罗山发展．某开发商计划2022年在三垟湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2022年有x万人游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为60元.
(1)求2022年该项目的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；
(2)当2022年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少．
【解析】(1)
即
(2)当时，
当时，
当时，由基本不等式知，当且仅当即时等号成立，
故
综上，游客为30万人时利润最大，最大为205万．