专题04 基本不等式及其应用-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题04基本不等式及其应用
【考点预测】
1.基本不等式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；
基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.
【方法技巧与总结】
1.几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).
特例：（同号）.
（3）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
2.均值定理
已知.
（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
3.常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成
立.

【题型归纳目录】
题型一：基本不等式及其应用
题型二：直接法求最值
题型三：常规凑配法求最值
题型四：消参法求最值
题型五：双换元求最值
题型六：“1”的代换求最值
题型七：齐次化求最值
题型八：利用基本不等式证明不等式
题型九：利用基本不等式解决实际问题











【典例例题】
题型一：基本不等式及其应用
例1．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（       ）
A． B．
C． D．
例2．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（       ）
A． B．
C． D．
例3．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ）

A． B．
C． D．
例4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（       ）
A． B．
C． D．
（多选题）例6．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设，，下列结论中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.

题型二：直接法求最值
例7．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a，b满足，则ab的最大值为（       ）
A．2 B．1 C． D．
例8．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x，y为实数，且，则的最小值为（       ）
A．18 B．27 C．54 D．90
例9．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（       ）
A． B．4 C．8 D．
例10．（2022·湖北十堰·三模）函数的最小值为（       ）
A．4 B． C．3 D．
（多选题）例11．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（       ）
A．的最小值是1 B．的最大值是1
C．的最小值是 D．的最大值是
例12．（2022·四川·广安二中二模（文））若，且，则的最大值是_______________.
例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正数、满足，则的最小值是___________.
【方法技巧与总结】
直接利用基本不等式求解，注意取等条件.




题型三：常规凑配法求最值
例14．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则有（       ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
例15．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值是（       ）
A． B．
C． D．
例16．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为（       ）
A．3 B． C． D．
例17．（2022·上海·高三专题练习）若，则函数的最小值为___________.
例18．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知，且，则最大值为______．
例19．（2022·全国·高三专题练习）（1）求函数的最小值及此时的值；
（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.












【方法技巧与总结】
1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2．注意验证取得条件．

题型四：消参法求最值
例20．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线过点，则的最大值为___________.
例21．（2022·全国·高三专题练习）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（       ）
A． B． C． D．
例22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．6
例23．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最大值为______．
例24．（2022·全国·高三专题练习）若，，则的最小值为___________.
例25．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若，则的取值范围是_________．
【方法技巧与总结】
消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！


题型五：双换元求最值
例26．（2022·浙江省江山中学高三期中）设，，若，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
例27．（2022·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．
例28．（2022·天津市蓟州区第一中学一模）已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，则的最小值为____________．
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则取到最小值为 ________．
例30．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为_________
例31．（2022·全国·高三专题练习）若正实数，满足，则的最小值是__________．

【方法技巧与总结】
若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
1．代换变量，统一变量再处理．
2．注意验证取得条件．
题型六：“1”的代换求最值
例32．（2022·辽宁·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（       ）
A．2 B．4 C．8 D．12
例33．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
例34．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））若实数，满足，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
例35．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知，则的最小值为（       ）
A．13 B．19 C．21 D．27
例36．（2022·四川·石室中学三模（文））已知，且，则的最小值是(       )
A．49 B．50 C．51 D．52
例37．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））已知正数a，b满足，则的最小值为___________.
例38．（2022·天津·南开中学模拟预测）设，，，则的最小值为______．
例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.
【方法技巧与总结】
1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．
1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．
2．注意验证取得条件．
题型七：齐次化求最值
例40．（2022·全国·高三专题练习）已知，满足则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
例41．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数的定义域为R，则的最大值是___________.
例42．（2022·全国·高三专题练习（理））若a，b，c均为正实数，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
例43．（2022·全国·高三专题练习）已知三次函数在上单调递增，则最小值为（       ）
A． B． C． D．
例44．（2022·天津·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为____________.
例45．（2022·浙江·高三专题练习）已知x，y，z为正实数，且，则的最大值为______．
例46．（2022·全国·高三专题练习）若且，则的最小值为___________.

【方法技巧与总结】
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．

题型八：利用基本不等式证明不等式
例47．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））已知，．
(1)若，证明：；
(2)若，证明：．



例48．（2022·陕西渭南·二模（文））设函数．
(1)求不等式的解集．
(2)若的最大值为，证明：．




例49．（2022·全国·高三专题练习）已知正数，，满足．
(1)求的最大值；
(2)证明：．



例50．（2022·安徽省芜湖市教育局高三期末（理））设a，b，c为正实数，且.证明：
(1)；
(2).



例51．（2022·河南洛阳·一模（文））已知a，b，c都是正数.
(1)证明：；
(2)若，证明：.



【方法技巧与总结】
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.
题型九：利用基本不等式解决实际问题
例51．（2021·全国·高三专题练习（理））设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（            ）
A．（38－3 m3 B．16 m3 C．4 m3 D．14 m3
例53．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.

例54．（2022·全国·高二课时练习）根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为的球挖去一个三棱锥后得到的几何体，其中，平面PAB，．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长．









例55．（2022·全国·高三课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？










【方法技巧与总结】
1．理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．
2．注意定义域，验证取得条件．
3.注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．














【过关测试】
一、单选题
1．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知点E是的中线上的一点（不包括端点）．若，则的最小值为（       ）
A．4 B．6 C．8 D．9
2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知为正实数，且，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））若，，，则的最小值为（       ）
A． B． C．6 D．
4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，为平面的单位向量，且其夹角为，若，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
5．（2022·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（       ）
A．6 B．9 C． D．18
6．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知等比数列的公比为q，且，则下列选项不正确的是（       ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知a，，满足，则下列错误的是（        ）
A． B．
C． D．
8．（2022·河北保定·二模）已知a，，且，则的最大值为（       ）
A．2 B．3 C． D．
二、多选题
9．（2022·河北张家口·三模）已知，（m是常数），则下列结论正确的是（       ）
A．若的最小值为，则
B．若的最大值为4，则
C．若的最大值为m，则
D．若，则的最小值为2
10．（2022·河北·模拟预测）已知，则以下不等式成立的是（       ）
A． B． C． D．
11．（2022·山东菏泽·二模）设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
12．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知函数，且正实数，满足，则下列结论可能成立的是（       ）
A． B．的最大值为
C． D．的最小值为
三、填空题
13．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知正实数x，y满足，则的最小值为__________．
14．（2022·吉林·模拟预测（理））已知，则的最小值是______．
15．（2022·重庆·三模）已知，，且，则的最小值为___________.
16．（2022·浙江·模拟预测）已知正实数x，y满足：，则的最小值为_________．
四、解答题
17．（2022·江西·二模（理））已知函数．
(1)解不等式的解集；
(2)设到的最小值为，若正数，满足，求的最小值．


18．（2022·江西南昌·三模（理））已知函数，已知不等式恒成立.
(1)求的最大值；
(2)设，，求证：.




19．（2022·江西九江·三模（文））设函数．
(1)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，所围成的区域面积为S，若正数b，c，d满足，求的最小值．




20．（2022·陕西·模拟预测（理））设函数
(1)当时，求不等式的解集；
(2)已知不等式的解集为，，，，求的最小值.



21．（2022·河南·模拟预测（文））设a，b为正数，且．证明：
(1)：
(2)．


22．（2022·云南昆明·模拟预测（理））设a，b，c均为正数，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．