2024年新高考数学一轮复习讲义 专题08 幂函数与二次函数
展开专题08 幂函数与二次函数
【命题方向目录】
命题方向一:幂函数的定义及其图像
命题方向二:幂函数性质(定义域、值域、单调性、奇偶性)的综合应用
命题方向三:二次方程的实根分布及条件
命题方向四:二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
命题方向五:二次函数的单调性问题
命题方向六:二次函数绝对值的最大值的最小值问题
【2024年高考预测】
2024年高考仍重点考查二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).
【知识点总结】
1、幂函数的定义
一般地,(为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数.
2、幂函数的特征:同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1; ②的底数是自变量; ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质:
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减,在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
4、二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:;
(2)顶点式:;其中,为抛物线顶点坐标,为对称轴方程.
(3)零点式:,其中,是抛物线与轴交点的横坐标.
5、二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线,对称轴方程为,顶点坐标为.
(1)单调性与最值
①当时,如图所示,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增,当时,;
②当时,如图所示,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减,当时,
【方法技巧与总结】
二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数,当时,在区间上的最大值是,最小值是,令:
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)若,则;
(4)若,则.
【典例例题】
命题方向一:幂函数的定义及其图像
例1.(2023·河北·高三学业考试)已知幂函数的图象过点,则该函数的解析式是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设幂函数,则,,.
故选:B.
例2.(2023·山东德州·高三统考期末)函数同时满足①对于定义域内的任意实数x,都有;②在上是减函数,则的值为( )
A.8 B.4 C.2 D.1
【答案】B
【解析】,,,代入分别是,
在定义域内,即是偶函数,因此取值或0,
时,在上不是减函数,
只有满足,此时,,
.
故选:B.
例3.(2023·全国·高三专题练习)当时,幂函数为减函数,则实数m的值为( )
A. B.
C.或 D.以上都不正确
【答案】B
【解析】因为函数既是幂函数又是的减函数,
所以,
解得:.
故选:B.
变式1.(2023·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习)如图所示是函数(均为正整数且互质)的图象,则( )
A.是奇数且
B.是偶数,是奇数,且
C.是偶数,是奇数,且
D.是奇数,且
【答案】B
【解析】由幂函数性质可知:与恒过点,即在第一象限的交点为,
当时,,则;
又图象关于轴对称,为偶函数,,
又互质,为偶数,为奇数.
故选:B.
变式2.(2023·全国·高三专题练习)函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】幂函数定义域为R,选项C不满足;
,有,即是偶函数,选项B不满足;
因,则函数在第一象限单调递增,且增长趋势越来越快,选项A不满足,
显然选项D满足幂函数的上述特点,即大致图象是D.
故选:D
变式3.(2023·全国·高三专题练习)已知幂函数 在第一象限的图象如图所示,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】取,结合图象得出,最后由指数函数的性质得出大小关系.由图象可知,当时,,则
故选:B
【通性通解总结】
确定幂函数的定义域,当为分数时,可转化为根式考虑,是否为偶次根式,或为则被开方式非负.当时,底数是非零的.
命题方向二:幂函数性质(定义域、值域、单调性、奇偶性)的综合应用
例4.(2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)设,若幂函数定义域为R,且其图像关于y轴成轴对称,则m的值可以为( )
A.1 B.4 C.7 D.10
【答案】C
【解析】由题意知,
因为其图像关于y轴成轴对称,则.
故选:C.
例5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若函数的值域为,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数在上单调递减,其函数值集合为,
当时,的取值集合为,的值域,不符合题意,
当时,函数在上单调递减,其函数值集合为,
因函数的值域为,则有,解得,
所以实数的取值范围为.
故选:D
例6.(2023·全国·高三专题练习)已知幂函数的图像过点,则 的值域是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】先求出幂函数解析式,根据解析式即可求出值域.幂函数的图像过点,
,解得,
,
的值域是.
故选:D.
变式4.(2023·海南·统考模拟预测)已知为幂函数,则( ).
A.在上单调递增 B.在上单调递减
C.在上单调递增 D.在上单调递减
【答案】B
【解析】因为是幂函数,所以,解得或,
所以或,
对于,函数在上单调递增,在上单调递减;
对于,函数在上单调递减,且为奇函数,故在上单调递减;
故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质.
故选:B
变式5.(2023·全国·模拟预测)已知x,,满足,,则( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】令,,则,
∴为奇函数.
∵,
∴.
又∵,
∴,
∴,.
又∵在R上单调递增,
∴,即.
故选:B.
变式6.(2023·全国·高三专题练习)函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,
由得,又,
所以函数的单调递减区间为.
故选:.
变式7.(2023·全国·高三专题练习)已知幂函数的图象关于y轴对称,且在上单调递减,则满足的a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】幂函数在上单调递减,故,解得.又,故m=1或2.
当m=1时,的图象关于y轴对称,满足题意;
当m=2时,的图象不关于y轴对称,舍去,故m=1.
不等式化为,
函数在和上单调递减,
故或或,解得或.
故应选:D.
变式8.(2023·全国·高三专题练习)幂函数在上单调递增,则的图象过定点( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为幂函数在上单调递增,
所以,解得,所以,
故令得,所以
所以的图象过定点
故选:D
变式9.(2023·全国·高三专题练习)已知是幂函数,且在上单调递增,则满足的实数的范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意,解得或,
又在上单调递增,所以,,
所以,,易知是偶函数,
所以由得,解得或.
故选:D.
变式10.(2023·全国·高三专题练习)满足的实数m的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】幂函数在为减函数,且函数值为正,
在为减函数,且函数值为负,
等价于,
或或,
解得或或,
所以不等式的解集为.
故选:D.
变式11.(2023·全国·高三专题练习)已知函数是幂函数,对任意,,且,满足,若,,且,则的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
【答案】A
【解析】利用幂函数的定义求出m,利用函数的单调性和奇偶性即可求解.∵函数是幂函数,
∴,解得:m= -2或m=3.
∵对任意,,且,满足,
∴函数为增函数,
∴,
∴m=3(m= -2舍去)
∴为增函数.
对任意,,且,
则,∴
∴.
故选:A
【通性通解总结】
紧扣幂函数的定义、图像、性质,特别注意它的单调性在不等式中的作用,这里注意为奇数时,为奇函数,为偶数时,为偶函数.
命题方向三:二次方程的实根分布及条件
例7.(2023·四川资阳·高二统考开学考试)已知
(1)求证是关于的方程有解的一个充分条件;
(2)当时,求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件.
【解析】(1)证明:当时,,
则,即:,解得:,
所以是关于x的方程有解的一个充分条件.
(2)当时,因为方程有一个正根和一个负根,
所以,解得:
反之,当时,,且,
所以有一个正根和一个负根,满足条件.
所以,当时,关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件为.
例8.(2023·高一单元测试)求实数的范围,使关于的方程
(1)有两个实根,且一个比大,一个比小;
(2)有两个实根,且满足;
(3)至少有一个正根.
【解析】(1)设.
依题意有,即,得.
(2)设.
依题意有,解得.
(3)设.
方程至少有一个正根,则有三种可能:
①有两个正根,此时可得,即
②有一个正根,一个负根,此时可得,得.
③有一个正根,另一根为,此时可得
综上所述,得.
例9.(2023·上海长宁·高一上海市复旦中学校考阶段练习)设关于的一元二次方程有两个实根.
(1)若,求的值;
(2)求证:且.
【解析】(1)根据韦达定理可得,
又因为,所以,
消去得解得.经检验满足
(2)依题意解得,
所以函数的对称轴为,
又因为,
所以函数的图象与轴的两个交点都在点的左侧,
即且,得证.
变式12.(2023·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习)关于的方程的两个实根,.
(1)若,求实数的取值范围;
(2)若,求实数的取值范围.
【解析】(1)令,开口向上,对称轴为,
由,,则,解得,
所以的取值范围为.
(2)由,则,解得,
所以的取值范围为.
【通性通解总结】
结合二次函数的图像分析实根分布,得到其限定条件,列出关于参数的不等式,从而解不等式求参数的范围.
命题方向四:二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
例10.(2023·陕西西安·高一长安一中校考期末)已知函数,.
(1)若关于x的不等式对一切实数x都成立,求b的取值范围;
(2)当时,函数的最小值为1,求值.
【解析】(1)因为恒成立,
所以,
当且仅当时,取最小值为,
所以,
即:,解得.
故b的取值范围为.
(2)因为是二次函数,图像抛物线开口向上,对称轴为,
①若,则在上单调递增,∴,解得;
②若,则在上单调递减,∴,解得(舍);
③若,则在上单调递减,在上单调递增,
∴,
解得或(舍);
综上,或.
例11.(2023·全国·高三专题练习)已知二次函数满足,且.
(1)求的解析式;
(2)求函数在区间,上的最大值.
【解析】(1)设,则,
因为,
所以,
故,解得:
又
所以,
所以;
(2)由(1)得,图象开口向上,对称轴为.
当时,,
所以此时函数的最大值为;
当时,,
所以此时函数的最大值为;
综上:.
例12.(2023·河南平顶山·校联考模拟预测)已知函数,且.
(1)若函数的图像与函数的图像关于直线对称,且点在函数的图像上,求实数的值;
(2)已知,函数.若的最大值为8,求实数的值.
【解析】(1)由题意 ,将 代入得: ;
(2) ,其中 ,
令 ,则有 , 是关于t的开口向上,对称轴为 的抛物线,
,并且 ,
在 上的最大值为 ,又 ;
变式13.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)当时,试写出函数的单调区间;
(2)当时,求函数在上的最大值.
【解析】(1)当时, ,
所以 ,
当时,,其图象开口向上,对称轴方程为,
所以在上单调递减,在上单调递增;
当时,,其图象开口向下,对称轴方程为,
所以在上单调递减.
综上可知,的单调递减区间为和,单调递增区间为.
(2)由题意知,,作出大致图象如图:
易得,,
所以可判断在上的最大值在,,中取得.
当时,.
当时,在上单调递减,在上单调递增,
又,
所以,若,则;
若,则.
综上可知,在区间上,
.
变式14.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)当时,解关于x的不等式;
(2)函数在上的最大值为0,最小值是,求实数a和t的值.
【解析】(1)当时,不等式,
即为,
即,所以,
所以或,
所以原不等式的解集为.
(2),
由题意或,这时解得,
若,则,所以;
若,即,
所以,则,
综上,或.
变式15.(2023·全国·高三专题练习)已知二次函数满足.
(1)求的解析式;
(2)若在上有最小值,最大值,求a的取值范围.
【解析】(1)设,
则
解之得:
(2)根据题意:
解之得:
的取值范围为
变式16.(2023·全国·高三专题练习)知函数
(1)若函数的定义域为,求实数的取值范围;
(2)若函数在上恒有意义,求的取值范围;
(3)是否存在实数,使得函数在区间上为增函数,且最大值为2?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由
【解析】(1)因为函数的定义域为,
则在上恒成立,
当时,,得,不合题意舍去;
当时,,解得,
综合得;
(2)函数在上恒有意义,即在上恒成立
,恒成立,
令,,则,当时,,
;
(3)当时,或,
解得,
当时,或,
解得.
故存在实数,使得函数在区间上为增函数,且最大值为2.
变式17.(2023·浙江杭州·高一杭州四中校考期中)已知,对于给定的负数,有一个最大的正数,使得时,都有,则的最大值为___________.
【答案】
【解析】,当,即时,要使在上恒成立,要使取得最大值,则只能是的较小的根,即;
当,即时,要使取得最大值,则只能是的较大的根,即
当时,,
当时,,所以的最大值为.
故答案为:
【通性通解总结】
“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法:
(1)根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论;
(2)根据二次函数的单调性,分别讨论参数在不同取值下的最值,必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析;
(3)将分类讨论的结果整合得到最终结果.
命题方向五:二次函数的单调性问题
例13.(2023·全国·高三专题练习)若函数在区间上不是单调函数,则实数的取值范围________.
【答案】
【解析】因为,所以函数的对称轴为,
因为函数在区间上不是单调函数,
所以,解得,即实数的取值范围为.
故答案为:
例14.(2023·广东·高三统考学业考试)函数f(x)=x2-2(a-1)x+2在区间上是减函数,则实数a的范围是___________
【答案】[2,+∞)
【解析】函数f(x)图像的对称轴为直线x=a-1.因为f(x)在区间上是减函数,
所以,得.
故答案为:[2,+∞).
例15.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】要使f(x)在R上单调递增,必须满足三条:
第一条:f(x)在(-∞,1)上单调递增;
第二条:f(x)在(1,+∞)上单调递增;
第三条:x=1时,(x2-2ax)≥(x+1).
故有解得.
故实数a的取值范围为.
故答案为:.
变式18.(2023·全国·高三专题练习)已知在区间上单调递减,则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】由题可知,在区间上单调递减,
设,
而外层函数在定义域内单调递减,
则可知内层函数在区间上单调递增,
由于二次函数的对称轴为,
由已知,应有,且满足当时,,
即,解得:,
所以实数的取值范围是.
故答案为:.
变式19.(2023·全国·高三专题练习)设函数,若在上单调递增,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】因函数在上单调递增,则有在上递增,于是得,
在上也递增,于是得,即,并且有,即,解得,
综上得:,
所以的取值范围是.
故答案为:
变式20.(2023·上海·高三专题练习)设函数在上是减函数,则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】根据单调性可得满足的不等式,从而可求实数的取值范围.因为在上是减函数,故,所以
故答案为:.
命题方向六:二次函数绝对值的最大值的最小值问题
例16.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)若,求的最大值;
(2)若的最大值为,求的最小值.
【解析】(1)由题意得,
当时,,
因为,所以是偶函数,
故的最大值为4.
(2)由题意得,
①若,则当时,在上单调递增,,
当时,.
因为,
所以.
②若,则当时,,
当时,.
因为,所以当时,,
当时,.
③若,则当时,,
当时,在上单调递减,.
因为,所以.
综上所述,当时,,当时,.
故的最小值为4.
例17.(2023·四川内江·高一威远中学校校考期中)设函数,,其中.
(1)当时,求函数的值域;
(2)记的最大值为M,
①求M;
②求证:.
【解析】(1)
当时,
因为,
所以
(2)设,,
对称轴为,开口向上,,,
1)当时,,,所以
2)当时,,,所以
3)当时,,,所以
综上所述:
②
当时,
所以
当时,
所以
当时,,所以
综上所述:所以
例18.(2023·浙江·高二学军中学校联考开学考试)已知,函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设,若的最大值为,求的取值范围.
【解析】(1)①当时,,在单调递减
②当时,即时,在单调递减
③当时,即时,在递增,在递减
④当时,不成立,所以无解.
综上所述,当时,在单调递减;
当时,在递增,在递减
(2)①当时,在递减,
,,
∵,
∴,
∴,
∴.
得.
②当时,在递增,在递减,
又,,
∵,
∴,同时,
∴
∴
∴
又∵,
∴,
又∵,
∴
且可得在递增,
所以.
综上所述, 当时,;当时,.
变式21.(2023·广东广州·高一广州市第九十七中学校考期末)设为实数,函数.
(1)当时,求在区间上的最大值;
(2)设函数为在区间上的最大值,求的解析式;
(3)求的最小值.
【解析】(1)a=1时,f(x)=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1,
∵x∈[0,2],∴﹣1≤x﹣1≤1,
∴﹣1≤(x﹣1)2﹣1≤0,
在区间上的最大值为0;
(2)g(x)=|f(x)|=|x(x﹣2a)|,
①当a≤0时,g(x)=x2﹣2ax在[0,2]上是增函数,
故t(a)=g(2)=4﹣4a;
②当0<a<1时,
g(x)在[0,a)上是增函数,在[a,2a)上是减函数,在[2a,2]上是增函数,
而g(a)=a2,g(2)=4﹣4a,
g(a)﹣g(2)=a2+4a﹣4=(a﹣22)(a+22),
故当0<a<22时,
t(a)=g(2)=4﹣4a,
当22≤a<1时,
t(a)=g(a)=a2,
③当1≤a<2时,
g(x)在[0,a)上是增函数,在[a,2]上是减函数,
故t(a)=g(a)=a2,
④当a≥2时,g(x)在[0,2]上是增函数,
t(a)=g(2)=4a﹣4,
故t(a);
(3)由(2)知,
当a<22时,t(a)=4﹣2a是单调减函数,,无最小值;
当时,t(a)=a2是单调增函数,且t(a)的最小值为t(22)=12﹣8;
当时,t(a)=4a﹣4是单调增函数,最小值为t(2)=4;
比较得t(a)的最小值为t(22)=12﹣8.
变式22.(2023·浙江·高考真题)已知函数,记是在区间上的最大值.
(1)证明:当时,;
(2)当,满足,求的最大值.
【解析】(1)分析题意可知在上单调,从而可知
,分类讨论的取值范围即可求解.;(2)分析题意可知
,再由可得,
,即可得证.
试题解析:(1)由,得对称轴为直线,由,得
,故在上单调,∴,当时,由
,得,即,当时,由
,得,即,综上,当时,
;(2)由得,,故,,由,得,当,时,,且在上的最大值为,即,∴的最大值为..
考点:1.二次函数的性质;2.分类讨论的数学思想.
【过关测试】
一、单选题
1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,则的最小值是( )
A. B. C.1 D.2
【答案】A
【解析】当时,函数,
当时,;当时,,
所以函数在上的值域为
因为是上的奇函数,所以的值域为,
所以的最小值是.
故选:A.
2.(2023·北京·高三统考学业考试)已知,且.当ab取最大值时,( )
A., B.,
C., D.,
【答案】C
【解析】因为,
所以,
所以,
所以当时,有最大值,
此时.
故选:C.
3.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数在均单调递减可得即;
函数在均单调递减可得,解得,
若函数与均单调递减,可得,
由题可得所求区间真包含于,
结合选项,函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C
故选:C
4.(2023·北京海淀·校考模拟预测)下列函数中,既是偶函数又是区间上的增函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选项A,是非奇非偶函数,是区间上的增函数,错误;
选项B,是偶函数,是区间上的减函数,错误;
选项C,是偶函数,是区间上的增函数,正确;
选项D,是奇函数,是区间上的增函数,错误;
故选:C
5.(2023·湖南娄底·统考模拟预测)已知函数在区间上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数在区间上单调递增,
所以且在区间上恒成立,
所以,解得或.
故选:B
6.(2023·全国·模拟预测)已知幂函数,若,则下列说法正确的是( )
A.函数为奇函数 B.函数为偶函数
C.函数在上单调递增 D.函数在上单调递减
【答案】B
【解析】依题意,则,设
单调递减,
单调递增,
知该方程有唯一解,故,易知该函数为偶函数.
故选:B.
7.(2023·甘肃酒泉·统考三模)已知函数是定义在上的偶函数且,当时,,若,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由得,,
而函数是偶函数,所以有,
所以,
所以的周期为4,
则,
.
当时,,
因为在上均为增函数,
所以在上为增函数,又,
所以,
即,
故选:C
8.(2023·广东韶关·统考模拟预测)已知方程和的解分别是和,则函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方程和依次化为:和,
因此和分别是直线与曲线和的交点横坐标,
而函数和互为反函数,它们的图象关于直线对称,
又直线垂直于直线,因此直线与曲线和的交点关于直线对称,
于是,函数,
所以函数的单调递减区间是.
故选:A
二、多选题
9.(2023·全国·高三专题练习)下列是函数的单调减区间的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由解得,
所以,
函数图象如图所示,
由图可知函数的单调减区间为和,
故选:AC
10.(2023·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末)已知函数,关于的最值有如下结论,其中正确的是( )
A.在区间上的最小值为1
B.在区间上既有最小值,又有最大值
C.在区间上的最小值为2,最大值为5
D.在区间上的最大值为
【答案】BC
【解析】函数的图象开口向上,对称轴为直线.
在选项A中,因为在区间上单调递减,
所以在区间上的最小值为,A错误.
在选项B中,因为在区间上单调递减,在上单调递增,
所以在区间上的最小值为.
又因为,
所以在区间上的最大值为,B正确.
在选项C中,因为在区间上单调递增,
所以在区间上的最小值为,最大值为,C正确.
在选项D中,当时,在区间上的最大值为2,
当时,由图象知在区间上的最大值为,D错误.
故选:BC.
11.(2023·广东梅州·高三丰顺县丰顺中学校考期末)若幂函数的图象过,下列说法正确的有( )
A.且 B.是偶函数
C.在定义域上是减函数 D.的值域为
【答案】AB
【解析】对于A;由幂函数定义知,将代入解析式得,A项正确;
对于B;函数的定义域为,且对定义域内的任意x满足,故是偶函数,B项正确;
对于C;在上单调递增,在上单调递减,C错误;
对于D;的值域不可能取到0,D项错误.
故选:AB
12.(2023·江苏·校联考模拟预测)若函数,且,则( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由幂函数的性质知, 在上单调递增.
因为,所以,即,,
所以.故A正确;
令,则,故B错误;
令,则
由函数单调性的性质知,在上单调递增,在上单调递增,
所以在上单调递增,
因为,所以,即,于是有,故C正确;
令,则,
所以因为,故D错误.
故选:AC.
三、填空题
13.(2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测)幂函数满足:任意有,且,请写出符合上述条件的一个函数___________.
【答案】(答案不唯一)
【解析】取,则定义域为R,且,
,,满足.
故答案为:.
14.(2023·全国·高三专题练习)函数(a,)在区间[0,c]()上的最大值为M,则当M取最小值2时,_____
【答案】2
【解析】解法一:因为函数是二次函数,
所以(a,)在区间[0,c]()上的最大值是在[0,c]的端点取到或者在处取得.
若在取得,则;若在取得,则;
若在取得,则;
进一步,若,则顶点处的函数值不为2,应为0,符合题意;
若,则顶点处的函数值的绝对值大于2,不合题意;
由此推断,即有,,
于是有.
解法二:设,,则.
首先作出在时的图象,显然经过(0,0)和的直线为,该曲线在[0,c]上单调递增;
其次在图象上找出一条和平行的切线,
不妨设切点为,于是求导得到数量关系.
结合点斜式知该切线方程为.
因此,即得.此时,
即,那么,.从而有.
15.(2023·河南·许昌实验中学校联考二模)已知正数,满足,给出以下结论:①,②,③,④.其中正确的是______.(请写出所有正确结论的序号)
【答案】①③④
【解析】因为,所以,所以,故①正确,②错误;
令,
则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以,故③正确;
令,
则,
可知当时,单调递增;
当时,单调递减,
所以,故④正确.
故答案为:①③④.
16.(2023·上海·高三校联考阶段练习)已知函数,则关于的表达式的解集为__________.
【答案】
【解析】由题意可知,的定义域为,
所以,
所以函数是奇函数,
由幂函数的性质知,函数在函数上单调递增,
由,得,即,
所以,即,解得,
所以关于的表达式的解集为.
故答案为:.
四、解答题
17.(2023·全国·高三专题练习)已知幂函数的图像关于y轴对称.
(1)求的解析式;
(2)求函数在上的值域.
【解析】(1)因为是幂函数,
所以,解得或.
又的图像关于y轴对称,所以,
故.
(2)由(1)可知,.
因为,所以,
又函数在上单调递减,在上单调递增,
所以.
故在上的值域为.
18.(2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)已知幂函数的定义域为R.
(1)求实数的值;
(2)若函数在上不单调,求实数的取值范围.
【解析】(1)由题意且,解得;
(2)由(1),的对称轴 ,
因为在上不单调,所以,
解得.
19.(2023·全国·高三专题练习)已知幂函数在上为减函数.
(1)试求函数解析式;
(2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间.
【解析】(1)由题意得,,解得或,
经检验当时,函数在区间上无意义,
所以,则.
(2),要使函数有意义,则,
即定义域为,其关于原点对称.
,
该幂函数为奇函数.
当时,根据幂函数的性质可知在上为减函数,
函数是奇函数,在上也为减函数,
故其单调减区间为,.
20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,
(1)当时,求的值域;
(2)若对,成立,求实数的取值范围;
(3)若对,,使得成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)当时,函数,
的值域
(2)对,成立,等价于在的最小值大于或等于1.
而在上单调递减,所以,即
(3)对,,使得成立,
等价于在的最大值小于或等于在上的最大值9
由,
21.(2023·全国·高三专题练习)已知幂函数在上单调递减.
(1)求的值并写出的解析式;
(2)试判断是否存在,使得函数在上的值域为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)(1)因为幂函数在上单调递减,
所以解得:或(舍去),
所以;
(2)由(1)可得,,所以,
假设存在,使得在上的值域为,
①当时,,此时在上单调递减,不符合题意;
②当时,,显然不成立;
③当时,,在和上单调递增,
故,解得.
综上所述,存在使得在上的值域为.
22.(2023·全国·高三专题练习)函数是定义在上的奇函数,当时,.
(1)求时,的解析式;
(2)问是否存在这样的正数:当时,的值域为?若存在,求出所有的的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)当时,,于是,
因为是定义在上的奇函数,
所以,即;
(2)假设存在正实数,当时, 的值域为,
根据题意,,
因为 ,
则,得,
又函数在上是减函数,所以,
由此得到:是方程的两个根,
即,
解方程求得,
所以,存在正实数,当时,的值域为.
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