8初中数学.等腰三角形.第08讲

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      内容基本要求略高要求较高要求等腰三角形了解等腰三角形、等边三角形和直角三角形的概念，会识别这三种图形，并理解这三种图形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定解决简单问题能用等腰三角形、等边三角形和直角三角形的知识解决有关问题  模块一  等腰三角形 ☞等腰三角形求角度 【例1】         已知中，．，则______．【难度】1星【解析】略【答案】 【巩固】等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_______；【难度】1星【解析】略【答案】、 【例2】         若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为(　  )A．　　　Ｂ．　　　Ｃ．或　　Ｄ．或【解析】 Ｄ 【巩固】等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________；【难度】1星【解析】分情况讨论【答案】或☞求周长 【例3】         等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是               ；【难度】1星【解析】略【答案】 【巩固】等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是            ；【难度】1星【解析】分情况讨论【答案】10cm或11cm 【巩固】等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是              。【难度】1星【解析】分情况讨论，同时注意三边关系【答案】19cm 【例4】         已知等腰三角形的周长为，一腰长是底边长的倍，则腰长是(      )        A．      B．        C．         D．【解析】               B 【拓展】若已知，，平分交于，若已知 ，则＝          ．【难度】2星【解析】利用等腰对等角，等腰对等腰【答案】4cm ☞等腰三角形的判定 【例5】         已知：平分的外角，且，求证：为等腰三角形【难度】2星【解析】引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明．【答案】∵∴，∵平分∴∴　∴是等腰三角形☞等腰三角形的存在性与分类讨论【例6】         如图，等腰中，底边，，的平分线交于，的平分线交于，则图中等腰三角形共有（    ）个．A．3  B．4  C．5  D．6【难度】1星【解析】图中等腰三角形有：△ABC，△ABD，△BCE，△CDE，△BCD．共5个．【答案】C 【巩固】如图，在中，，，的平分线相交于点，过作 ，交于点，交于．图中是等腰三角形有            ．【难度】2星【解析】略【答案】，，，，等腰三角形 【巩固】已知中，，.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.  【难度】2星【解析】【答案】见解析  【例7】         在正方形所在平面上找一点，使是等腰直角三角形，这样的点你能发现几个?请作出这些点．【难度】3星【解析】注意从等腰三角形边的分类入手找到完整答案.
 【答案】如图所示的6个点、、、、. ☞等腰三角形与面积法【例8】         如图，为等腰三角形的底边上的任意一点，于点，于点，点，求证：．【难度】3星【解析】略【答案】解法一：过点作于点．在和中，，，，，，又由四边形为矩形，则．．解法二：连结.∵，即，而，∴ 【巩固】如图，点为等腰三角形的底边的延长线上的一点，的延长线于点，于点，于点．、、之间存在着怎样的数量关系?【难度】3星【解析】连结，由，得：又∵，∴【答案】  模块二  等边三角形 【例9】         _____的_____叫做等边三角形．【难度】1星【解析】略【答案】三条边都相等；三角形 【例10】     等边三角形除一般的等腰三角形的性质外，它的特有性质主要有：（1）边的性质：_____；（2）角的性质：_____；（3）对称性：等边三角形是_____图形，它有_____对称轴．【难度】1星【解析】略【答案】三边相等；三个角都是；轴对称；三条． 【例11】     等边三角形的判定方法：（1）三条边_____的_____是等边三角形；（2）三个角_____的_____是等边三角形；（3）_____的等腰三角形是等边三角形．【难度】1星【解析】略【答案】（1）相等；三角形（2）相等，三角形（3）有个一角是 【巩固】含30°角的直角三角形的一个主要性质是______．【难度】1星【解析】略【答案】所对的直角边是斜边的一半 【巩固】已知：如图8－1，ΔABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，若AB∥CD，则图中60°的角有_____个．图8－1【难度】2星【解析】略【答案】5个 【巩固】如图8－2，B、C、D在一直线上，ΔABC、ΔADE是等边三角形，若CE＝15cm，CD＝6cm，则AC＝_____，∠ECD＝_____．图8－2【难度】2星【解析】略【答案】9； 【巩固】如图8－3，已知ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝_____cm.图8－3【难度】2星【解析】利用，故的长为4，然后作交于点，交于点，所以为4，又根据对称得出，所以为等边三角形，所以，所以【答案】12 【例12】     已知：如图8－4，ΔABC和ΔBDE都是等边三角形．（1）求证：AD＝CE；（2）当AC⊥CE时，判断并证明AB与BE的数量关系． 【难度】3星【解析】（1）（2）在中，所对的直角边为斜边的一半【答案】（1）略；（2）  【巩固】如图8－5，已知ΔABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）求证：AF＝BD．图8－5【难度】3星【解析】略【答案】（1）（2）为等边三角形，，故  【例13】     已知：如图8－6，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD∥AB，BC＝6cm，∠BAD＝30°，∠B＝90°．求CD的长______．图8－6【难度】2星【解析】过点作于，然后根据定理【答案】12 【例14】     如图，在等边中，点分别在边上，，与交于点．(1)求证：；(2)求的度数．【难度】3星【解析】略【答案】（1）证明：∵是等边三角形，∴，．又∵，∴≌，∴（2）解由(1)，得 ，∴． 【例15】     如图，已知为等边三角形，、、分别在边、、上，且也是等边三角形．除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的．【难度】3星【解析】略【答案】图中还有相等的线段是：，．事实上，∵△与△都是等边三角形，∴∠∠∠，∠∠∠，．又∵∠+∠，∠+∠，∴∠∠．同理得∠∠． ∴△≌△≌△，∴，．                      已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底长．【难度】3星【解析】分类讨论【答案】设这个三角形的腰长为，底长为，则，解得，或，解得，而8，8，5和6，6，9均能组成等腰三角形                    等腰三角形中一角是另一角的2倍，求各内角的度数．【难度】3星【解析】分类讨论【答案】(1)若底角是顶角的2倍，设顶角为，则，，三角形三内角依次是，，．(2)若顶角是一底角的2倍，设底角为，则，，，三角形三内角依次是，，．1．通过本堂课你学会了                                                   ．2．掌握的不太好的部分                                                   ．3．老师点评：①                                                         ．     ②                                                         ．             ③                                                         ．   1．   已知是等腰一腰上的高，且，求三个内角的度数．【难度】3星【解析】若为钝角三角形时，为顶角时，三内角大小为；若为钝角三角形时，为底角时，三内角大小为；若为锐角三角形时，为顶角，三内角大小为．【答案】或或 2．   如图，在中，，在上，，在上取一点，使得，求的度数．【解析】               由题设，，及三角形外角定理，即，有而故，即【答案】