8初中数学.二次函数的应用.第08讲

0？

模块一  二次函数与利润最大化

【例1】         某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加元（为10的正整数倍）

（1）          设一天订住的房间数为，直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；

（2）          设宾馆一天的利润为元，求与的函数关系式；

（3）          一天订住多少个房间，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

【难度】2星

【解析】在实际生活中，求二次函数的最大值或最小值时，要先用配方法。并要注重自变量的取值范围。

【答案】（1）房价每增加10元，就会空出一个房间，则增加元，可以空出房间间

故

       （，且是10的正整数倍）

       （2）

       （3）

【小结】在实际应用中，求二次函数的最大值或最小值时，先用配方法求出当自变量为何值时函数有最大值或最小值，然后观察自变量的取值范围，若在此范围内，则该最大值或最小值符合题意，若不在此范围内，应根据自变量的取值范围求它的最大值或最小值。

【巩固】某民俗旅游村为了接待游客的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可以全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应地减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费为多少元？

【难度】2星

【解析】求利润的最大化，要用配方法来解题。本题最关键的是解出的是奇数，而题目需要的是偶数，所以需要对答案进行取舍。

【答案】设每张床位每天最合适的收费为元

        则总租金

        因为要使租出的床位少且租金高，所以

【例2】         （2001 河北）某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg,购进价格为30，物价部门规定其销售单价不得高于70，也不得低于30，市场调查发现:单价定于70元时，日均销售60kg，单价每降低1元，日均多售出2kg，在销售过程每天还要支出其它费用500元，（不足一天时,按整天计算），设销售单价为元，日均获利为元，

（1）求关于的二次函数关系式，并注明的取值范围。

（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，指出单价定为多少时日均获利最多，是多少？

（3）将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高，这两种销售方式，哪一种获总利最多，多多少？

【难度】2星

【解析】求利润的最大化。

【答案】（1）若销售单价为元，则每千克降低元，日均多售出千克，日均销售量为千克，每千克获利为元

依题意得：

（2）

顶点坐标为

当单价定为65元时，日均获利最多是1950元

（3）当日均获利最多时，单价为65元

日均销售千克

那么获总利为元

当销售单价最高时单价为70元，日均销售60千克

将这种化工原料全部售完需≈117天

那么获总利为元

因为，且元

所以，销售单价最高时获总利较多，且多获利26500元。

【巩固】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。

（1）          假设每台冰箱降价元，商场每天销售这种冰箱的利润是元，请写出与之间的函数关系式；

（2）          商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）          每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

【难度】3星

【解析】利用二次函数的性质求出最大利润。

【答案】（1）根据题意，得

        即

       （2）由题意知

        解得，

        因为要使百姓得到实惠，故取

所以每台冰箱应降价200元

       （3）对于，

当时

所以，每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5000元

模块二  二次函数与增长率问题

【难度】2星

【解析】二次函数思想解决增长率问题时，要明确基数，增长次数。

【答案】依题意，得

【难度】3星

【解析】运用待定系数法求二次函数解析式，并研究二次函数图象上点的坐标特征。

【答案】（1）

月销售金额故7月销售金额最大，最大值是10125万元

（2）列方程得

化简得：

 解得 ，

因为舍去，所以

模块三  二次函数与面积最大化

【例5】         张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形．设边的长为米．矩形的面积为平方米．

（1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．

（2）当为何值时，有最大值？并求出最大值．

【难度】2星

【解析】利用二次函数顶点公式来确定函数的极值。

【答案】由题意得

∴

由

∴

∴时，有最大值是128

【巩固】矩形窗户的周长是6cm，写出窗户的面积与窗户的宽之间的函数关系式，判断此函数是不是二次函数。如果是，请求出自变量的取值范围

【难度】1星

【解析】利用二次函数顶点公式来确定函数的极值。

【答案】；是二次函数，

【例6】         如图所示，有长24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的边长为，花圃的面积为米2．

（1）请求出与的函数关系式．

（2）按照题中要求，所围的花圃面积能否是48．若能，求出的值；若不能，请说明理由．

【难度】2星

【解析】先用长方形的面积计算公式求出函数关系式，再用一元二次方程求得解，结合实际情况得出答案。

【答案】（1）根据题意得

∴

（2）不能；把代入得

解得

即

∴

这与墙的最大长度为10米矛盾，不合实际．

∴所围的花圃面积不能是48．

【巩固】如图，、分别是边长为的正方形的边上的点，,直线交的延长线于，过线段上的一个动点作，，垂足分别为，设，矩形的面积为

⑴ 求与之间的函数关系式；

⑵ 当为何值时，矩形的面积最大，最大面积为多少？

【难度】2星

【解析】先求出函数关系式，再用一元二次方程求得解，结合实际情况得出答案。

【答案】⑴ ∵正方形的边长为，，

           ∴

           又，

           又

           ∴，

           ∴

           ∴

         ⑵ ∵

            ∴当时，矩形面积最大，最大面积为

模块四  二次函数与拱形图

【例7】         一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度与水平距离之间的关系用如图所示的二次函数图象表示．（铅球从点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）

（1）由已知图象上的三点，求与之间的函数关系式；

（2）求出铅球被推出的距离；

（3）若铅球到达的最大高度的位置为点，落地点为，求四边形的面积．

【难度】2星

【解析】考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

【答案】（1）设与之函数关系式为

由图象得，图象经过，，三点，则：

解得：，，

∴与之间的函数关系式为

（2）令，则

解得：，（不合题意，舍去）

∴铅球被推出的距离是10米；

过作于

∵

∴点坐标

由（2）得点坐标是（10，0）

∴

【巩固】小强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线、满足抛物线，其中是球的飞行高度，是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有．

（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．

（2）请求出球飞行的最大水平距离．

（3）若小强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．

【难度】2星

【解析】考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题

【答案】（1）

∴抛物线开口向下，顶点为，对称轴为.

（2）令，得：，解得：，，

∴球飞行的最大水平距离是8m．

（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m

∴抛物线的对称轴为，顶点为

设此时对应的抛物线解析式为，

又∵点在此抛物线上，

∴， ．

【例8】         有一个截面边缘为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．如图把它的截面边缘的图形放在所示的直角坐标系中．

（1）直接写出抛物线的顶点坐标；

（2）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（3）如图，在对称轴右边2m处，桥洞离水面的高是多少？

【难度】2星

【解析】考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题。

【答案】由题意得：

（1）抛物线的顶点坐标为（5，4）；

（2）设这条抛物线所对应的函数关系式为

因为图象经过（0，0），

所以

解得

函数关系式为：

（3）当x=7时，桥洞离水面的高度为．

【巩固】如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面宽AB为12米，如图建立直角坐标系．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中）

【难度】2星

【解析】本题考查了根据抛物线在坐标系的位置，适当设抛物线解析式的方法，以及二次函数的实际运用。

【答案】（1）设函数解析式为

将代入解析式，

解得

∴抛物线的函数解析式为．

（2）当时，，

解得，．

当水位上1米时，水面宽约为10米．

【例9】         某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．

（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．

（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？

【难度】2星

【解析】本题考查了根据抛物线在坐标系的位置，适当设抛物线解析式的方法，以及二次函数的实际运用。

【答案】（1）设抛物线的表达式为 点在抛物线的图象上．

∴，，

 ∴抛物线的表达式为

（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐标为

已知窗户高1.6m，

∴

，（舍去）

∴

设最多可安装扇窗户

∴

∴最多可安装4扇窗户．

模块五  二次函数与图象信息题

【例10】     如图，在矩形矩形中，动点从点出发，沿，，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的面积是                                             (        )

A．10           B．16

C．18           D．20

【难度】1星

【解析】二次函数的应用。

【答案】A

【巩固】如图，点、、在直线上，点、、、在直线上，若，从如图所示的位置出发，沿直线向右匀速运动，直到与重合．运动过程中与矩形重合部分的面积随时间变化的图象大致是（      ）

【难度】1星

【解析】二次函数的应用。

【答案】B

【例11】     矩形中，．动点从点开始沿边向点以2cm/s的速度运动至点停止，动点从点同时出发沿边向点以1cm/s的速度运动至点停止．如图可得到矩形，设运动时间为（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为 (单位：)，则与之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（      ）

【难度】2星

【解析】二次函数的应用。

【答案】A

1. 兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格（元/平方米）随楼层数（楼）的变化而变化（）；已知点都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为              元/平方米．

【难度】2星

【解析】考查二次函数的性质特点

【答案】2080

2. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．

（2）如图，在对称轴右边1m处，桥洞离桥面的高是多少？

【难度】2星

【解析】考查二次函数的性质特点

【答案】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（5，4）

所以设此桥洞所对应的二次函数关系式为

由图象知该函数过原点，将代入上式，

得：

解得

故该二次函数解析式为

（2）对称轴右边1米处即，此时

因此桥面距离水面米

3. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．

（1）求一次函数的表达式；

（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．

【难度】2星

【解析】求利润的最大化

【答案】(1)根据题意得

解得

所求一次函数的表达式为

（2）

抛物线的开口向下

∴当时，随的增大而增大，

而，

∴当时，．

∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．

（3）由，得，

整理得，，

解得，，．

由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，

而，所以，销售单价的范围是．

4. 已知某种商品去年售价为每件元，可售出件．今年涨价成（1成=10%），则售出的数量减少成（是正常数）．试问：

（1）如果涨价1.25成价格，营业额将达到，求；

（2）如果适当的涨价，能使营业额增加，求应在什么范围内？

【难度】2星

【解析】二次函数的应用

【答案】（1）涨价成后，营业额为

则

当时，

则，解得．

（2由于

未涨价的营业额为，则适当涨价，且使营业额增加，

有，且，，得．

5. 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系.

（1）直接写出点及抛物线顶点的坐标；

（2）求这条抛物线的解析式；

（3）若要搭建一个矩形“支撑架”，使、点在抛物线上，、点在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

【难度】2星

【解析】二次函数的应用

【答案】（1），

（2）设抛物线解析式为：. 

∵抛物线经过点(0，0)，

∴，即

∴抛物线解析式为：

即

(3) 设，则， ，.

∴“支撑架”总长

. 

        ∵ 此二次函数的图象开口向下.

∴ 当米时，有最大值为15米.

1．通过本堂课你学会了                                                   ．

2．掌握的不太好的部分                                                   ．

3．老师点评：①                                                         ．

     ②                                                         ．

             ③                                                         ．

1. 正方形边长为3，若边长增加，则面积增加．求与之间的函数关系式？

【难度】1星

【解析】用二次函数描述变化．

【答案】由题意知：

化简得：

2. 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则与之间的函数关系式为？

【难度】1星

【解析】用二次函数描述变化．

【答案】

3. 已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图所示．

（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．

（2）写出批发该种水果的资金金额（元）与批发量（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．

（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大。

①                                   ②

【难度】3星

【解析】用二次函数描述变化．

【答案】（1）图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发；

图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发．

（2）解：由题意得：，函数图象如图所示．

由图可知资金金额满足时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．

（3）解法一：

设当日零售价为元，销售量为，由图可得日最高销量

当时，

由题意，销售利润为

当时，，此时

即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元．

解法二： 

设日最高销售量为（）

则由图②日零售价满足：，于是

销售利润

当时，，此时

即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元．

4. 足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度关于飞行时间的函数图象（不考虑空气的阻力），已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s．

（1）求关于的函数关系式；

（2）足球的飞行高度能否达到4.88米？请说明理由；

（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44m（如图所示，足球的大小忽略不计）．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框？

【难度】3星

【解析】用二次函数描述变化．

【答案】（1）设关于的函数关系式

依题可知：

当时，

当时，

∴

∴

∴

（2）不能．

∵

∴

∴

∵

∴方程无解

∴足球的飞行高度不能达到4.88m．

（3）∵

∴

∴

∴（不合题意，舍去），

∴平均速度至少为6（m/s）

5. 甲、乙两个蔬菜基地，分别向、、三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向提供，向提供，向提供．甲基地可安排，乙基地可安排．甲、乙与、、的距离千米数如表所示，设运费为1元/（）．问如何安排使总运费最低？求出最小的总运费值．

【难度】3星

【解析】用二次函数描述变化．

【答案】设乙基地向提供，向提供，向提供

则甲基地向提供，向提供，向提供．

依题意，总运费为

．

因为，，

当且仅当，时，有最小值，则

元．