统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练25平面向量基本定理及坐标表示文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练25平面向量基本定理及坐标表示文，共7页。
[基础强化]
一、选择题
1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A.e1与e1＋e2
B.e1－2e2与e1＋2e2
C.e1＋e2与e1－e2
D.e1＋3e2与6e2＋2e1
2．已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量 eq \f(1,2)a－ eq \f(3,2)b＝( )
A.(－2，－1) B．(－2，1)
C.(－1，0) D．(－1，2)
3．已知a＝(2，1)，b＝(1，x)，c＝(－1，1).若(a＋b)∥(b－c)，且c＝ma＋nb，则m＋n＝( )
A. eq \f(1,4)B．1
C.－ eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,2)
4．设 eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)， eq \(OC,\s\up6(→))＝(－b，0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则 eq \f(1,a)＋ eq \f(2,b)的最小值是( )
A.2 B．4 C．6 D．8
5．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若 eq \(MN,\s\up6(→))＝－3a，则点N的坐标为( )
A.(2，0) B．(－3，6)
C.(6，2) D．(－2，0)
6．已知向量m＝(sin A， eq \f(1,2))与向量n＝(3，sin A＋ eq \r(3)cs A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为( )
A. eq \f(π,6) B． eq \f(π,4)
C. eq \f(π,3) D． eq \f(π,2)
7．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是( )
A.2 eq \r(6) B． eq \f(25,12)
C. eq \f(25,24) D． eq \f(25,6)
8．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则x＋y＝( )
A.0 B．1
C.2 D．－2
9．[2023·安徽省蚌埠市质检] 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC且AB＝2DC，点E为线段BC的靠近点C的一个四等分点，点F为线段AD的中点，AE与BF交于点O，且 eq \(AO,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(BC,\s\up6(→))，则x＋y的值为( )
A.1 B． eq \f(5,7)
C. eq \f(14,17) D． eq \f(5,6)
二、填空题
10．已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．
11．[2023·安徽省滁州市检测]已知a＝(1，3)，a＋b＝(－1，2)，则|a－b|＋a·b＝________．
12．已知△ABC和点M满足 eq \(MA,\s\up6(→))＋ eq \(MB,\s\up6(→))＋ eq \(MC,\s\up6(→))＝0，若存在实数m，使得 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝m eq \(AM,\s\up6(→))成立，则m＝________．
[能力提升]
13．给定两个长度为1的平面向量 eq \(OA,\s\up6(→))和 eq \(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动，若 eq \(OC,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是( )
A.3 B．4
C.2 D．8
14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若 eq \(CA,\s\up6(→))＝λ eq \(CE,\s\up6(→))＋μ eq \(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A. eq \f(6,5) B． eq \f(8,5)
C.2 D． eq \f(8,3)
15．[2023·东北三省三校模拟] 在正六边形ABCDEF中，点G为线段DF(含端点)上的动点，若 eq \(CG,\s\up6(→))＝λ eq \(CB,\s\up6(→))＋μ eq \(CD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
16．如图，已知平面内有三个向量 eq \(OA,\s\up6(→))、 eq \(OB,\s\up6(→))、 eq \(OC,\s\up6(→))，其中 eq \(OA,\s\up6(→))与 eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°， eq \(OA,\s\up6(→))与 eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且| eq \(OA,\s\up6(→))|＝| eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，| eq \(OC,\s\up6(→))|＝2 eq \r(3).若 eq \(OC,\s\up6(→))＝λ eq \(OA,\s\up6(→))＋μ eq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
专练25 平面向量基本定理及坐标表示
1．D 选项A中，设e1＋e2＝λe1，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ，,1＝0))无解；
选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ，,－2＝2λ))无解；
选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ，,1＝－λ))无解；
选项D中，e1＋3e2＝ eq \f(1,2)(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．
2．D eq \f(1,2)a－ eq \f(3,2)b＝( eq \f(1,2)， eq \f(1,2))－( eq \f(3,2)，－ eq \f(3,2))＝(－1，2)
3．C ∵a＋b＝(3，1＋x)，b－c＝(2，x－1)，
∵(a＋b)∥(b－c)，∴3(x－1)＝2(x＋1)，
得x＝5，∴b＝(1，5)，又c＝ma＋nb，
∴(－1，1)＝m(2，1)＋n(1，5)
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m＋n＝－1，,m＋5n＝1，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(2,3)，,n＝\f(1,3)，))
∴m＋n＝－ eq \f(2,3)＋ eq \f(1,3)＝－ eq \f(1,3).
4．D ∵ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＝(a－1，1)， eq \(CB,\s\up6(→))＝(a＋b，－1)，
∵A，B，C三点共线，
∴(a－1)×(－1)＝1×(a＋b)，∴2a＋b＝1，
又a＞0，b＞0，
∴ eq \f(1,a)＋ eq \f(2,b)＝( eq \f(1,a)＋ eq \f(2,b))(2a＋b)＝4＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(4a,b)≥4＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8(当且仅当 eq \f(b,a)＝ eq \f(4a,b)即a＝ eq \f(1,4)，b＝ eq \f(1,2)时等号成立)
5．A 设点N的坐标为(x，y)，则 eq \(MN,\s\up6(→))＝(x－5，y＋6)
又 eq \(MN,\s\up6(→))＝－3a＝(－3，6)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0.))
6．C ∵m∥n，∴sin A(sin A＋ eq \r(3)cs A)－ eq \f(3,2)＝0，
∴2sin2A＋2 eq \r(3)sinA cs A＝3.
可化为1－cs 2A＋ eq \r(3)sin 2A＝3，
∴sin (2A－ eq \f(π,6))＝1.
∵A∈(0，π)，
∴2A－ eq \f(π,6)∈(－ eq \f(π,6)， eq \f(11π,6)).
∴2A－ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,2)，解得A＝ eq \f(π,3).
7．C ∵a∥b，∴3y－5＝－2x，∴2x＋3y＝5，
又x，y均为正数，∴5＝2x＋3y≥2 eq \r(2x·3y)＝2 eq \r(6xy)，(当且仅当2x＝3y，即：x＝ eq \f(5,4)，y＝ eq \f(5,6)时等号成立)，
∴xy≤ eq \f(25,24).
8．A 因为a⊥c，所以2x－4＝0，
因为b∥c，所以－4－2y＝0，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))所以x＋y＝0.
9．C 根据向量的线性运算法则，可得 eq \(AO,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(BC,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y( eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))
＝x eq \(AB,\s\up6(→))－y eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))＝(x－y) eq \(AB,\s\up6(→))＋y·( eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→)))
＝(x－y) eq \(AB,\s\up6(→))＋y·(2 eq \(AF,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)))＝(x－y) eq \(AB,\s\up6(→))＋2y eq \(AF,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)y eq \(AB,\s\up6(→))＝(x－ eq \f(y,2)) eq \(AB,\s\up6(→))＋2y eq \(AF,\s\up6(→))，
因为B，O，F三点共线，可得x－ eq \f(y,2)＋2y＝1，即2x＋3y－2＝0；
又由 eq \(BO,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))－x eq \(BA,\s\up6(→))＋y· eq \f(4,3) eq \(BE,\s\up6(→))＝(1－x) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(4y,3) eq \(BE,\s\up6(→))，
因为A，O，E三点共线，可得1－x＋ eq \f(4y,3)＝1，即3x－4y＝0，
联立方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y－2＝0,3x－4y＝0))，解得x＝ eq \f(8,17)，y＝ eq \f(6,17)，所以x＋y＝ eq \f(14,17).
10．答案： eq \f(8,5)
解析：通解 因为a∥b，所以a＝kb，即(2，5)＝k(λ，4)，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kλ＝2,4k＝5))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(8,5),k＝\f(5,4))).
光速解 因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝ eq \f(8,5).
11．答案：0
解析：a＝(1，3)，a＋b＝(－1，2)，b＝(－1，2)－(1，3)＝(－2，－1)，a－b＝(3，4)，
|a－b|＋a·b＝ eq \r(9＋16)＋(－2－3)＝0.
12．答案：3
解析：∵ eq \(MA,\s\up6(→))＋ eq \(MB,\s\up6(→))＋ eq \(MC,\s\up6(→))＝0，∴M为△ABC的重心，
则 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))× eq \f(2,3)＝ eq \f(1,3)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝3 eq \(AM,\s\up6(→))，∴m＝3.
13．C 建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1，0)，B(cs 120°，sin 120°)，即
B(－ eq \f(1,2)， eq \f(\r(3),2)).设∠AOC＝α，则 eq \(OC,\s\up6(→))＝(cs α，sin α)，
∵ eq \(OC,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))＝(x，0)＋(－ eq \f(y,2)， eq \f(\r(3),2)y)＝(cs α，sin α)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－\f(y,2)＝cs α，,\f(\r(3),2)y＝sin α，))∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(sin α,\r(3))＋cs α，,y＝\f(2sin α,\r(3))，))
∴x＋y＝ eq \r(3)sin α＋cs α＝2sin (α＋30°).
∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°.
∴当α＝60°时，x＋y有最大值2.
14．B 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴ eq \(CA,\s\up6(→))＝(－2，2)， eq \(CE,\s\up6(→))＝(－2，1)， eq \(DB,\s\up6(→))＝(1，2)，
∵ eq \(CA,\s\up6(→))＝λ eq \(CE,\s\up6(→))＋μ eq \(DB,\s\up6(→))，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得λ＝ eq \f(6,5)，μ＝ eq \f(2,5)，则λ＋μ＝ eq \f(8,5).
15．答案：[1，4]
解析：根据题意，不妨设正六边形ABCDEF的边长为2 eq \r(3)，以中心O为原点建立平面直角坐标系，如图所示：
则可得F(－2 eq \r(3)，0)，D( eq \r(3)，3)，C(2 eq \r(3)，0)，B( eq \r(3)，－3)，
设点G的坐标为(m，n)，则 eq \(CG,\s\up6(→))＝(m－2 eq \r(3)，n)， eq \(CB,\s\up6(→))＝(－ eq \r(3)，－3)， eq \(CD,\s\up6(→))＝(－ eq \r(3)，3)，
由 eq \(CG,\s\up6(→))＝λ eq \(CB,\s\up6(→))＋μ eq \(CD,\s\up6(→))可得：m－2 eq \r(3)＝－ eq \r(3)λ－ eq \r(3)μ，
即λ＋μ＝－ eq \f(\r(3),3)m＋2，
数形结合可知：m∈[－2 eq \r(3)， eq \r(3)]，则－ eq \f(\r(3),3)m＋2∈[1，4]，即λ＋μ的取值范围为[1，4].
16．答案：6
解析：解法一：如图，作平行四边形OB1CA1，则 eq \(OC,\s\up6(→))＝OB1＋OA1，因为 eq \(OA,\s\up6(→))与 eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°， eq \(OA,\s\up6(→))与 eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2 eq \r(3)，
所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，
所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以 eq \(OC,\s\up6(→))＝4 eq \(OA,\s\up6(→))＋2 eq \(OB,\s\up6(→))，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
解法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，
B(－ eq \f(1,2)， eq \f(\r(3),2))，C(3， eq \r(3)).
由 eq \(OC,\s\up6(→))＝λ eq \(OA,\s\up6(→))＋μ eq \(OB,\s\up6(→))，
得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝4，,μ＝2.))所以λ＋μ＝6.