统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练23高考大题专练二三角函数与解三角形的综合运用文

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(1)求bc；
(2)若 eq \f(a cs B－b cs A,a cs B＋b cs A)－ eq \f(b,c)＝1，求△ABC面积．
2．[2022·全国乙卷(文)，17]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A).
(1)若A＝2B，求C；
(2)证明：2a2＝b2＋c2.
3．[2022·新高考Ⅰ卷，18]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 eq \f(cs A,1＋sin A)＝ eq \f(sin 2B,1＋cs 2B).
(1)若C＝ eq \f(2π,3)，求B；
(2)求 eq \f(a2＋b2,c2)的最小值．
4．[2023·江西省南昌市模拟]如图，锐角△OAB中，OA＝OB，延长BA到C，使得AC＝3，∠AOC＝ eq \f(π,4)，sin ∠OAC＝ eq \f(2\r(2),3).
(1)求OC；
(2)求sin ∠BOC.
5．[2023·江西省重点中学联考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c从条件①：b sin eq \f(B＋C,2)＝a sin B，条件②：b＝a cs C＋ eq \f(1,2)c，条件③：b tan A＝(2c－b)tan B这三个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求角A；
(2)若 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝3，求a的最小值．
专练23 高考大题专练(二) 三角函数与解三角形的综合运用
1．解析：(1)由余弦定理知cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
代入 eq \f(b2＋c2－a2,cs A)＝2，得2bc＝2，
故bc＝1.
(2)由正弦定理及 eq \f(a cs B－b cs A,a cs B＋b cs A)－ eq \f(b,c)＝1，
得 eq \f(sin A cs B－sin B cs A,sin A cs B＋sin B cs A)－ eq \f(sin B,sin C)＝1，
化简得 eq \f(sin （A－B）,sin （A＋B）)－ eq \f(sin B,sin C)＝1.
∵A＋B＝π－C，∴sin (A＋B)＝sin C，
∴sin (A－B)－sin B＝sin C＝sin (A＋B)，
∴sin A cs B－cs A sin B－sin B＝sin A cs B＋cs A sin B，
∴－2cs A sin B＝sin B.
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cs A＝－ eq \f(1,2).
∵A∈(0，π)，∴sin A＝ eq \r(1－cs2A)＝ eq \f(\r(3),2).
由(1)知bc＝1，故△ABC的面积S＝ eq \f(1,2)bc sinA＝ eq \f(1,2)×1× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(\r(3),4).
2．解析：(1)∵A＝2B，
∴由sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)，
得sin C sin B＝sin B sin (C－A).
∵sin B≠0，∴sin C＝sin (C－A).
显然C≠C－A，∴C＋C－A＝π.
又C＋A＋B＝C＋ eq \f(3,2)A＝π，解得C＝ eq \f(5π,8).
(2)证明：∵sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)，
∴sin C sin A cs B－sin C cs A sin B＝sin B sin C cs A－sin B cs C sin A，
∴sin C sin A cs B＝2sin B sin C cs A－sin B cs C sin A.
由正弦定理，得ac cs B＝2bc cs A－ab cs C.
由余弦定理，得 eq \f(a2＋c2－b2,2)＝b2＋c2－a2－ eq \f(a2＋b2－c2,2).
整理，得2a2＝b2＋c2.
3．解析：(1)由已知条件，得sin 2B＋sin A sin 2B＝cs A＋cs A cs 2B.
所以sin 2B＝cs A＋cs A cs 2B－sin A sin 2B＝cs A＋cs (A＋2B)＝cs [π－(B＋C)]＋cs [π－(B＋C)＋2B]＝－cs (B＋C)＋cs [π＋(B－C)]＝－2cs B cs C，
所以2sin B cs B＝－2cs B cs C，
即(sin B＋cs C)cs B＝0.
由已知条件，得1＋cs 2B≠0，则B≠ eq \f(π,2)，
所以cs B≠0，所以sin B＝－cs C＝ eq \f(1,2).
又0＜B＜ eq \f(π,3)，所以B＝ eq \f(π,6).
(2)由(1)知sin B＝－cs C＞0，则B＝C－ eq \f(π,2)，
所以sin A＝sin (B＋C)＝sin (2C－ eq \f(π,2))＝－cs 2C.
由正弦定理，得 eq \f(a2＋b2,c2)＝ eq \f(sin2A＋sin2B,sin2C)＝ eq \f(cs22C＋cs2C,sin2C)＝ eq \f(（1－2sin2C）2＋（1－sin2C）,sin2C)＝ eq \f(2＋4sin4C－5sin2C,sin2C)＝ eq \f(2,sin2C)＋4sin2C－5≥2 eq \r(\f(2,sin2C)·4sin2C)－5＝4 eq \r(2)－5，
当且仅当sin2C＝ eq \f(\r(2),2)时，等号成立，所以 eq \f(a2＋b2,c2)的最小值为4 eq \r(2)－5.
4．解析：(1)在△OAC中，由正弦定理知
eq \f(OC,sin∠OAC)＝ eq \f(AC,sin ∠AOC)，
所以，OC＝ eq \f(3sin ∠OAC,sin \f(π,4))＝4.
(2)设∠OAB＝α，则α为锐角，
sin α＝sin (π－∠OAC)＝sin ∠OAC＝ eq \f(2\r(2),3)，
所以cs α＝ eq \r(1－sin2α)＝ eq \f(1,3)，
所以sin∠AOB＝sin (π－2α)＝sin 2α＝2sin αcs α＝ eq \f(4\r(2),9)，
则cs ∠AOB＝cs (π－2α)＝－cs 2α＝2sin2α－1＝ eq \f(7,9)，
所以sin∠BOC＝sin (∠AOB＋ eq \f(π,4))＝sin ∠AOB cs eq \f(π,4)＋cs ∠AOB sin eq \f(π,4)＝ eq \f(\r(2),2)× eq \f(4\r(2),9)＋ eq \f(\r(2),2)× eq \f(7,9)＝ eq \f(8＋7\r(2),18).
5．解析：(1)若选条件①，由正弦定理得sin B sin eq \f(π－A,2)＝sin A sin B，
∵B∈(0，π)⇒sin B＞0，∴sin eq \f(π－A,2)＝sin A，
∴cs eq \f(A,2)＝2sin eq \f(A,2)cs eq \f(A,2)，
又 eq \f(A,2)∈(0， eq \f(π,2))，∴cs eq \f(A,2)≠0，∴sin eq \f(A,2)＝ eq \f(1,2)，
∴ eq \f(A,2)＝ eq \f(π,6)⇒A＝ eq \f(π,3)；
若选条件②，△ABC中，b－a cs C＝ eq \f(c,2)，由正弦定理知sin B－sin A cs C＝ eq \f(1,2)sin C，
∵A＋B＋C＝π，∴sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin A cs C＋cs A sin C，
∴sin A cs C＋cs A sin C－sin A cs C＝ eq \f(1,2)sin C，
∴cs A sin C＝ eq \f(1,2)sin C，
∵sin C＞0，
∴cs A＝ eq \f(1,2)，
又∵0＜A＜π，∴A＝ eq \f(π,3)；
若选条件③，由b tan A＝(2c－b)tan B，
得sin B eq \f(sin A,cs A)＝(2sin C－sin B) eq \f(sin B,cs B)，
B∈(0，π)，所以sin B＞0，
∴sin A cs B＝2sin C cs A－sin B cs A，
∴sin (A＋B)＝2sin C cs A，
∴sin C＝2sin C cs A，
∵C∈(0，π)，∴sin C＞0，∴cs A＝ eq \f(1,2)，
∵A∈(0，π)，∴A＝ eq \f(π,3).
(2)由(1)及 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝3得bc＝6，
∴a2＝b2＋c2－2bc cs A＝b2＋c2－bc≥bc＝6，
当且仅当b＝c＝ eq \r(6)时取等号，∴a的最小值为 eq \r(6).