2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练24平面向量基本定理及坐标表示

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一、选择题
1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1＋3e2与6e2＋2e1
答案：D
解析：选项A中，设e1＋e2＝λe1，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ，,1＝0))无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ，,－2＝2λ))无解；
选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ，,1＝－λ))无解；
选项D中，e1＋3e2＝ eq \f(1,2)(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．
2．已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量 eq \f(1,2)a－ eq \f(3,2)b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
答案：D
解析： eq \f(1,2)a－ eq \f(3,2)b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3,2)))＝(－1，2).
3．已知a＝(2，1)，b＝(1，x)，c(－1，1).若(a＋b)∥(b－c)，且c＝ma＋nb，则m＋n等于( )
A． eq \f(1,4) B．1
C．－ eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,2)
答案：C
解析：∵a＋b＝(3，1＋x)，b－c＝(2，x－1)，
∵(a＋b)∥(b－c)，∴3(x－1)＝2(x＋1)，
得x＝5，∴b＝(1，5)，又c＝ma＋nb，
∴(－1，1)＝m(2，1)＋n(1，5)
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m＋n＝－1，,m＋5n＝1，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(2,3)，,n＝\f(1,3)，))
∴m＋n＝－ eq \f(2,3)＋ eq \f(1,3)＝－ eq \f(1,3).
4．设 eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)， eq \(OC,\s\up6(→))＝(－b，0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则 eq \f(1,a)＋ eq \f(2,b)的最小值是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案：D
解析：∵ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＝(a－1，1)， eq \(CB,\s\up6(→))＝(a＋b，－1)，
∵A，B，C三点共线，
∴(a－1)×(－1)＝1×(a＋b)，∴2a＋b＝1，
又a＞0，b＞0，
∴ eq \f(1,a)＋ eq \f(2,b)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(2a＋b)＝4＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(4a,b)≥4＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8(当且仅当 eq \f(b,a)＝ eq \f(4a,b)即a＝ eq \f(1,4)，b＝ eq \f(1,2)时等号成立)
5．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若 eq \(MN,\s\up6(→))＝－3a，则点N的坐标为( )
A．(2，0) B．(－3，6)
C．(6，2) D．(－2，0)
答案：A
解析：设点N的坐标为(x，y)，则 eq \(MN,\s\up6(→))＝(x－5，y＋6)
又 eq \(MN,\s\up6(→))＝－3a＝(－3，6)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0.))
6．已知向量m＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin A，\f(1,2)))与向量n＝(3，sin A＋ eq \r(3)cs A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,2)
答案：C
解析：∵m∥n，∴sin A(sin A＋ eq \r(3)cs A)－ eq \f(3,2)＝0，
∴2sin2A＋2 eq \r(3)sinA cs A＝3.
可化为1－cs 2A＋ eq \r(3)sin 2A＝3，
∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6)))＝1.
∵A∈(0，π)，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6)))∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(11π,6))).
因此2A－ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,2)，解得A＝ eq \f(π,3).故选C.
7．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是( )
A．2 eq \r(6) B． eq \f(25,12) C． eq \f(25,24) D． eq \f(25,6)
答案：C
解析：∵a∥b，∴3y－5＝－2x，∴2x＋3y＝5，
又x，y均为正数，∴5＝2x＋3y≥2 eq \r(2x·3y)＝2 eq \r(6xy)，(当且仅当2x＝3y，即：x＝ eq \f(5,4)，y＝ eq \f(5,6)时等号成立)，
∴xy≤ eq \f(25,24)，故选C.
8．设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，\f(8,5))) B．(－6，8)
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，－\f(8,5))) D．(6，－8)
答案：D
解析：由题意不妨设b＝(－3m，4m)(m