统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练15定积分与微积分基本定理理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练15定积分与微积分基本定理理，共5页。


[基础强化]
一、选择题
1. eq \i\in(1,2,)(x－2)dx的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－ eq \f(1,2)
2．若f(x)＝x2＋2 eq \i\in(0,1,)f(x)dx，则 eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝( )
A.－1 B．－ eq \f(1,3)
C． eq \f(1,3) D．1
3．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2 eq \r(2) B．4 eq \r(2)
C．2 D．4
4．若a＝ eq \i\in(0,2,)x2dx，b＝ eq \i\in(0,2,)x3dx，c＝ eq \i\in(0,2,)sin xdx，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．c5. eq \i\in(－1,1,)( eq \r(1－x2) ＋sin x)dx＝( )
A． eq \f(π,4) B． eq \f(π,2)
C．πD． eq \f(π,2) ＋2
6．设k＝ eq \i\in(0,π,)(sin x－cs x)dx，若(1－kx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a8＝( )
A.－1 B．0
C．1 D．256
7．设f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(1－x2)，x∈[－1，1），,x2－1，x∈[1，2]，)) 则 eq \i\in(－1,2,)f(x)dx的值为( )
A. eq \f(π,2) ＋ eq \f(4,3) B． eq \f(π,2) ＋3
C． eq \f(π,4) ＋ eq \f(4,3) D． eq \f(π,4) ＋3
8．如图是函数y＝cs (2x－ eq \f(5π,6) )在一个周期内的图像，则阴影部分的面积是( )
A． eq \f(3,4) B． eq \f(5,4)
C． eq \f(3,2) D． eq \f(3,2) － eq \f(\r(3),4)
9．已知等差数列{an}中，a5＋a7＝ eq \i\in(0,π,)sin xdx，则a4＋2a6＋a8的值为( )
A．8 B．6
C．4 D．2
二、填空题
10．设f(x)＝ex，则 eq \i\in(0,1,)[f′(x)＋2x]dx________．
11．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________.
12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图像如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为 eq \f(27,4)，则a的值为________.
13．由曲线y＝ eq \r(x)，直线y＝x－2及y轴所围成的平面图形的面积为________．
14．如图，在矩形ABDC中，AB＝1，AC＝2，O为AC中点，抛物线的一部分在矩形内，点O为抛物线顶点，点B，D在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为________．
15. eq \i\in(－1,1,)(ex＋|x|)dx＝________．
16．在棱长为2的正方体ABCD ­ A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则在侧面ABB1A1上动点P的轨迹与棱AB、BB1所围成的图形面积是________．
专练15 定积分与微积分基本定理
1．D eq \i\in(1,2,)(x－2)dx＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2－2x)) | eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝ eq \f(1,2) ×22－2×2－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－2)) ＝－ eq \f(1,2) .
2．B 令 eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝m，则f(x)＝x2＋2m，∴ eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝ eq \i\in(0,1,)x2dx＋ eq \i\in(0,1,)2mdx＝( eq \f(1,3) x2＋2mx)| eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(0)) ＝m，得m＝－ eq \f(1,3) .
3．D 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝4x，,y＝x3，)) 得x＝0或x＝2或x＝－2(舍)，
∴S＝ eq \i\in(0,2,)(4x－x3)dx＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x2－\f(1,4)x4)) | eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝4.
4．D a＝ eq \i\in(0,2,)x2dx＝ eq \f(1,3)x3| eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(8,3)，
b＝ eq \i\in(0,2,)x3dx＝ eq \f(1,4)x4| eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝4，
c＝ eq \i\in(0,2,)sin xdx＝(－cs x)| eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝1－cs 2，
∵1－cs 2< eq \f(8,3)<4，∴c5．B eq \i\in(－1,1,)( eq \r(1－x2)＋sin x)dx＝ eq \i\in(－1,1,) eq \r(1－x2)dx＋ eq \i\in(－1,1,)sin xdx，∵y＝sin x为奇函数，∴ eq \i\in(－1,1,)sin xdx＝0，
又 eq \i\in(－1,1,) eq \r(1－x2)dx表示以坐标原点为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，∴ eq \i\in(－1,1,) eq \r(1－x2)dx＝ eq \f(π,2)，
∴ eq \i\in(－1,1,)( eq \r(1－x2)＋sin x)dx＝ eq \f(π,2).
6．B 因为k＝ eq \i\in(0,π,)(sin x－cs x)dx＝ eq \i\in(0,π,)sin xdx－ eq \i\in(0,π,)cs xdx＝－cs x| eq \\al(\s\up1(π),\s\d1(0)) －sin x| eq \\al(\s\up1(π),\s\d1(0)) ＝2，所以(1－kx)8＝(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(1－2)8＝1，令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝(a0＋a1＋a2＋…＋a8)－a0＝1－1＝0.故选B.
7．A eq \i\in(－1,2,)f(x)dx＝ eq \i\in(－1,1,) eq \r(1－x2) dx＋ eq \i\in(1,2,)(x2－1)dx＝ eq \f(1,2) π×12＋( eq \f(1,3) x3－x)| eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝ eq \f(π,2) ＋ eq \f(4,3) .故选A.
9．C ∵a5＋a7＝ eq \i\in(0,π,)sin xdx＝(－cs x)| eq \\al(\s\up1(π),\s\d1(0)) ＝－(csπ－cs 0)＝2，
又{an}为等差数列，
∴a5＋a7＝2a6＝2，∴a6＝1，
∴a4＋2a6＋a8＝4a6＝4.
10．e
解析：因为f(x)＝ex，
所以 eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\i\in(0,1,)[f′（x）＋2x]dx＝（ex＋x2）)) eq \s\up12(1) 0＝e＋1－1＝e.
11. eq \f(1,6)
解析：如图，阴影部分的面积即为所求．
解 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y＝x，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，)) 则A(1，1).
故所求面积为
S＝ eq \i\in(0,1,)(x－x2)dx＝( eq \f(1,2)x2－ eq \f(1,3)x3)| eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(0)) ＝ eq \f(1,6).
12．－3
解析：由已知得f′(0)＝0，因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以b＝0，则f(x)＝x3＋ax2，令f(x)＝0，得x1＝0，x2＝－a.由切线y＝0与函数图像所围区域(题图中阴影部分)的面积为 eq \f(27,4) ，得
－ eq \i\in(0,－a,)f(x)dx＝ eq \f(27,4) ，
即－ eq \i\in(0,－a,)(x3＋ax2)dx＝ eq \f(27,4) ，
即－( eq \f(1,4) x4＋ eq \f(a,3) x3) eq \\al(\s\up1(－a),\s\d1(0)) ＝ eq \f(27,4) ，
所以－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a4,4)＋\f(a,3)×（－a）3)) ＝ eq \f(27,4) ，即 eq \f(a4,12) ＝ eq \f(27,4) ，
解得a＝±3，由题图可知a<0，∴a＝－3.
13. eq \f(16,3)
解析：由定积分知
S＝ eq \i\in(0,4,) eq \r(x) －(x－2)dx＝( eq \f(2,3) x eq \s\up6(\f(3,2)) － eq \f(1,2) x2＋2x)| eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(0))
＝( eq \f(2,3) ×8－8＋8)－0＝ eq \f(16,3) .
14. eq \f(1,3)
解析：由题可知矩形面积为2，
建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线方程为y2＝2x(0≤x≤1)，
抛物线及BD围成的面积为2(1－ eq \i\in(0,1,) eq \r(x) dx)＝ eq \f(2,3) ，
点落在阴影部分的概率为 eq \f(\f(2,3),2) ＝ eq \f(1,3) .
15．e－ eq \f(1,e) ＋1
解析： eq \i\in(－1,1,)(ex＋|x|)dx＝ eq \i\in(－1,0,)(ex－x)dx＋ eq \i\in(0,1,)(ex＋x)dx＝(ex－ eq \f(x2,2) )| eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(－1)) ＋(ex＋ eq \f(x2,2) )| eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(0)) ＝(e0－0)[e－1－ eq \f(（－1）2,2) ]＋(e1＋ eq \f(12,2) )－[e0＋0]
＝1－ eq \f(1,e) ＋ eq \f(1,2) ＋e＋ eq \f(1,2) －1＝e－ eq \f(1,e) ＋1.
16. eq \f(4,3)
解析：以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设点P(x，0，z)，则0≤x≤2，0≤z≤2，则点P到直线A1B1的距离为2－z，
因为BC⊥平面AA1B1B，BP⊂平面AA1B1B，
所以，BC⊥BP，
所以，点P到直线BC的距离为| eq \(BP,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（x－2）2＋z2) ，
由已知可得 eq \r(（z－2）2＋z2) ＝2－z，化简可得z＝x－ eq \f(x2,4) ，
当x＝2时，z＝1，即点P的轨迹交棱BB1于点(2，0，1)，
因此，在侧面ABB1A1上动点P的轨迹与棱AB、BB1所围成的图形面积是 eq \i\in(0,2,)(x－ eq \f(x2,4) )dx＝( eq \f(1,2) x2－ eq \f(x3,12) )| eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(4,3) .