2024版高考数学微专题专练26平面向量基本定理及坐标表示理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练26平面向量基本定理及坐标表示理（附解析），共6页。

[基础强化]
一、选择题
1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1＋3e2与6e2＋2e1
2．已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
3．已知a＝(2，1)，b＝(1，x)，c＝(－1，1).若(a＋b)∥(b－c)，且c＝ma＋nb，则m＋n等于( )
A．eq \f(1,4)B．1
C．－eq \f(1,3)D．－eq \f(1,2)
4．设eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－b，0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值是( )
A.2B．4
C．6D．8
5．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq \(MN,\s\up6(→))＝－3a，则点N的坐标为( )
A.(2，0) B．(－3，6)
C．(6，2) D．(－2，0)
6．已知向量m＝(sinA，eq \f(1,2))与向量n＝(3，sinA＋eq \r(3)csA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3)D．eq \f(π,2)
7．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是( )
A．2eq \r(6)B．eq \f(25,12)
C．eq \f(25,24)D．eq \f(25,6)
8．设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为( )
A．(－eq \f(6,5)，eq \f(8,5)) B．(－6，8)
C．(eq \f(6,5)，－eq \f(8,5))D．(6，－8)
9．[2022·安徽省蚌埠市质检]如图，在梯形ABCD中，AB∥DC且AB＝2DC，点E为线段BC靠近点C的一个四等分点，点F为线段AD的中点，AE与BF交于点O，且eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(BC,\s\up6(→))，则x＋y的值为( )
A．1B．eq \f(5,7)
C．eq \f(14,17)D．eq \f(5,6)
二、填空题
10．[2021·全国甲卷]已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________．
11．[2022·安徽省滁州市质检]已知a＝(1，3)，a＋b＝(－1，2)，则|a－b|＋a·b＝________．
12．已知△ABC和点M满足eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，若存在实数m，使得eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))成立，则m＝________．
[能力提升]
13．已知在Rt△ABC中，A＝eq \f(π,2)，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点(含B，C)，以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设eq \(AQ,\s\up6(→))＝aeq \(AB,\s\up6(→))＋beq \(AC,\s\up6(→))，则a＋b的最大值为( )
A．eq \f(13,12)B．eq \f(5,4)
C．eq \f(17,12)D．eq \f(19,12)
14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CE,\s\up6(→))＋μeq \(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A．eq \f(6,5)B．eq \f(8,5)
C．2D．eq \f(8,3)
15．[2022·东北三省三校模拟]在正六边形ABCDEF中，点G为线段DF(含端点)上的动点，若eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CB,\s\up6(→))＋μeq \(CD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
16．如图，已知平面内有三个向量eq \(OA,\s\up6(→))、eq \(OB,\s\up6(→))、eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
专练26 平面向量基本定理及坐标表示
1．D 选项A中，设e1＋e2＝λe1，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ，,1＝0))无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ，,－2＝2λ))无解；
选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ，,1＝－λ))无解；
选项D中，e1＋3e2＝eq \f(1,2)(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．
2．D eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＝(eq \f(1,2)，eq \f(1,2))－(eq \f(3,2)，－eq \f(3,2))＝(－1，2).
3．C ∵a＋b＝(3，1＋x)，b－c＝(2，x－1)，
∵(a＋b)∥(b－c)，∴3(x－1)＝2(x＋1)，
得x＝5，∴b＝(1，5)，又c＝ma＋nb，
∴(－1，1)＝m(2，1)＋n(1，5)
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m＋n＝－1，,m＋5n＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(2,3)，,n＝\f(1,3)，))
∴m＋n＝－eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)＝－eq \f(1,3).
4．D ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(a－1，1)，eq \(CB,\s\up6(→))＝(a＋b，－1)，
∵A，B，C三点共线，
∴(a－1)×(－1)＝1×(a＋b)，∴2a＋b＝1，
又a＞0，b＞0，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝(eq \f(1,a)＋eq \f(2,b))(2a＋b)＝4＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥4＋2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8(当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(4a,b)即a＝eq \f(1,4)，b＝eq \f(1,2)时等号成立)
5．A 设点N的坐标为(x，y)，则eq \(MN,\s\up6(→))＝(x－5，y＋6)
又eq \(MN,\s\up6(→))＝－3a＝(－3，6)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0.))
6．C ∵m∥n，∴sinA(sinA＋eq \r(3)csA)－eq \f(3,2)＝0，
∴2sin2A＋2eq \r(3)sinAcsA＝3.
可化为1－cs2A＋eq \r(3)sin2A＝3，
∴sin (2A－eq \f(π,6))＝1.
∵A∈(0，π)，
∴(2A－eq \f(π,6))∈(－eq \f(π,6)，eq \f(11π,6)).
因此2A－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，解得A＝eq \f(π,3).故选C.
7．C ∵a∥b，∴3y－5＝－2x，∴2x＋3y＝5，
又x，y均为正数，∴5＝2x＋3y≥2eq \r(2x·3y)＝2eq \r(6xy)，(当且仅当2x＝3y，即：x＝eq \f(5,4)，y＝eq \f(5,6)时等号成立)，
∴xy≤eq \f(25,24)，故选C.
8．D 由题意不妨设b＝(－3m，4m)(m