统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练25平面向量的概念及其线性运算理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练25平面向量的概念及其线性运算理，共5页。

[基础强化]
一、选择题
1．给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|，且a∥b.其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①②
C．③④ D．②④
2．设非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．|a|＝|b| B．a∥b
C．|a|>|b| D．a⊥b
3．[2022·新高考Ⅰ卷，3] 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记 eq \(CA,\s\up6(→))＝m， eq \(CD,\s\up6(→))＝n，则 eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
4．[2023·河北唐山三模]已知菱形ABCD的边长为2， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝2，则| eq \(BD,\s\up6(→))|＝( )
A． eq \r(3) B．2 eq \r(3)
C．1 D．2
5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， eq \(CO,\s\up6(→))＝λ( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))，则实数λ＝( )
A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2)
C．2 D．－2
6．[2023·江苏一模]平面内三个单位向量a，b，c满足a＋2b＋3c＝0，则( )
A．a，b方向相同
B．a，c方向相同
C．b，c方向相同
D．a，b，c两两互不共线
7．[2023·湖南怀化一模]已知平面向量a、b(a≠b)满足|a|＝3，且b与b－a的夹角为30°，则|b|的最大值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
8．已知平面内一点P及△ABC，若 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))，则点P与△ABC的位置关系是( )
A.点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC内部
9．在△ABC中，点P满足 eq \(BP,\s\up6(→))＝2 eq \(PC,\s\up6(→))，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若 eq \(AM,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AN,\s\up6(→))＝n eq \(AC,\s\up6(→))(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为( )
A．3 B．4
C． eq \f(8,3) D． eq \f(10,3)
二、填空题
10．在△ABC中，D是AB边上一点， eq \(AD,\s\up6(→))＝3 eq \(DB,\s\up6(→))，且 eq \(CD,\s\up6(→))＝λ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4) eq \(CB,\s\up6(→))，则λ的值为________．
11．在△OAB中，点C满足 eq \(AC,\s\up6(→))＝－4 eq \(CB,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))，则y－x＝________．
12．[2023·贵州省普通高等学校测试]在平行四边形ABCD中， eq \(AE,\s\up6(→))＝2 eq \(ED,\s\up6(→)).若 eq \(CE,\s\up6(→))＝λ eq \(BA,\s\up6(→))＋μ eq \(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________．
[能力提升]
13．已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足3 eq \(PA,\s\up6(→))＋5 eq \(PB,\s\up6(→))＋2 eq \(PC,\s\up6(→))＝0，已知△ABC的面积为6，则△PAC的面积为( )
A． eq \f(9,2) B．4
C．3 D． eq \f(12,5)
14．如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线AC于K，其中， eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,5) eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(AK,\s\up6(→))＝λ eq \(AC,\s\up6(→))，则λ的值为( )
A． eq \f(2,9) B． eq \f(2,7)
C． eq \f(2,5) D． eq \f(2,3)
15．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且 eq \(BC,\s\up6(→))＝a， eq \(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：① eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a－b；② eq \(BE,\s\up6(→))＝a＋ eq \f(1,2)b；③ eq \(CF,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b；④ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \(CF,\s\up6(→))＝0.其中正确命题的序号为________．
16．在△ABC中， eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若 eq \(AP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,11) eq \(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为________．
专练25 平面向量的概念及其线性运算
1．A 当|a|＝|b|时，a与b的方向不确定，故①不正确；对于②，∵A，B，C，D是不共线的点为大前提， eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))⇔ABCD为平行四边形，故②正确；③显然正确；对于④由于当|a|＝|b|且a∥b时a与b的方向可能相反，此时a≠b，故|a|＝|b|且a∥b是a＝b的必要不充分条件，故④不正确．
2．D 由|a＋b|＝|a－b|的几何意义可知，以a、b为邻边的平行四边形为矩形，故a⊥b.
3．B 因为BD＝2DA，所以 eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋3 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋3( eq \(CD,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→)))＝－2 eq \(CA,\s\up6(→))＋3 eq \(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故选B.
4．B 根据题意可得 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))，
∵ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝2，即 eq \(AB,\s\up6(→))·( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))＝ eq \(AB,\s\up6(→))2＋ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝2
∴ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝－2，
| eq \(BD,\s\up6(→))|2＝( eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))2＝ eq \(AD,\s\up6(→))2－2 eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))2＝12，即| eq \(BD,\s\up6(→))|＝2 eq \r(3).
5．A 由平行四边形法则可知，
eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))，
又O为AC与BD的交点，
∴ eq \(AC,\s\up6(→))＝－2 eq \(CO,\s\up6(→))，
∴ eq \(CO,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))，∴λ＝－ eq \f(1,2).
6．A 因为a＋2b＋3c＝0，
所以3c＝－a－2b，
所以(3c)2＝(－a－2b)2，
所以9c2＝a2＋4b2＋4a·b，
所以9＝1＋4＋4|a||b|cs 〈a，b〉，
所以4＝4×1×1cs 〈a，b〉，
所以cs 〈a，b〉＝1，
所以〈a，b〉＝0，
所以a，b方向相同．
7．C
以|a|，|b|为邻边作平行四边形ABCD，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b，
则 eq \(BD,\s\up6(→))＝b－a，
由题意∠ADB＝30°，设∠ABD＝θ，(0°<θ<150°)，
∵|a|＝3，
在△ABD中，由正弦定理可得 eq \f(AB,sin 30°)＝ eq \f(AD,sin θ)，
∴AD＝6sin θ≤6，
即|b|的最大值为6.
8．C ∵ eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(PB,\s\up6(→))－ eq \(PA,\s\up6(→))，∴ eq \(PC,\s\up6(→))＝－2 eq \(PA,\s\up6(→))，∴点P在线段AC上．
9．A 因为 eq \(BP,\s\up6(→))＝2 eq \(PC,\s\up6(→))，所以 eq \(AP,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝2( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AP,\s\up6(→)))，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))，又 eq \(AM,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AN,\s\up6(→))＝n eq \(AC,\s\up6(→))，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3m) eq \(AM,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3n) eq \(AN,\s\up6(→)).因为M，P，N三点共线，所以 eq \f(1,3m)＋ eq \f(2,3n)＝1，所以m＋2n＝(m＋2n)( eq \f(1,3m)＋ eq \f(2,3n))＝ eq \f(1,3)＋ eq \f(4,3)＋ eq \f(2,3)( eq \f(n,m)＋ eq \f(m,n))≥ eq \f(5,3)＋ eq \f(2,3)×2 eq \r(\f(n,m)·\f(m,n))＝ eq \f(5,3)＋ eq \f(4,3)＝3，当且仅当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)＝\f(m,n)，,\f(1,3m)＋\f(2,3n)＝1，))即m＝n＝1时等号成立．所以m＋2n的最小值为3.故选A.
10．－ eq \f(1,4)
解析：∵ eq \(AD,\s\up6(→))＝3 eq \(DB,\s\up6(→))，∴ eq \(CD,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→))＝3( eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CD,\s\up6(→)))，
∴4 eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋3 eq \(CB,\s\up6(→))，
∴ eq \(CD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4) eq \(CB,\s\up6(→)).
又 eq \(CD,\s\up6(→))＝λ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4) eq \(CB,\s\up6(→))，∴λ＝－ eq \f(1,4).
11. eq \f(5,3)
解析：根据向量加法的三角形法则得到 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4)( eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))，化简得到 eq \(OC,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(4,3) eq \(OB,\s\up6(→))，所以x＝－ eq \f(1,3)，y＝ eq \f(4,3)，则y－x＝ eq \f(4,3)＋ eq \f(1,3)＝ eq \f(5,3).
12. eq \f(2,3)
解析：由 eq \(AE,\s\up6(→))＝2 eq \(ED,\s\up6(→))，得 eq \(DE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(DA,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))，
所以 eq \(CE,\s\up6(→))＝ eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(DE,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))，
即λ＝1，μ＝－ eq \f(1,3)，
所以λ＋μ＝1－ eq \f(1,3)＝ eq \f(2,3).
13．C ∵3 eq \(PA,\s\up6(→))＋5 eq \(PB,\s\up6(→))＋2 eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
∴3( eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→)))＋2( eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→)))＝0，
取AB的中点D，BC的中点E，连接PD，PE，则 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＝2 eq \(PD,\s\up6(→))， eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝2 eq \(PE,\s\up6(→))，
∴3 eq \(PD,\s\up6(→))＋2 eq \(PE,\s\up6(→))＝0，
∴D、P、E三点共线，∴P到AC的距离为B到AC的距离h的一半，
∵S△ABC＝ eq \f(1,2)AC·h＝6，
∴S△PAC＝ eq \f(1,2)AC× eq \f(h,2)＝ eq \f(1,2)×6＝3.
14．A ∵ eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,5) eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))，
则 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(5,2) eq \(AE,\s\up6(→))， eq \(AD,\s\up6(→))＝2 eq \(AF,\s\up6(→))，
∴ eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))，
∴ eq \(AK,\s\up6(→))＝λ eq \(AC,\s\up6(→))＝λ( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))＝λ( eq \f(5,2) eq \(AE,\s\up6(→))＋2 eq \(AF,\s\up6(→)))＝ eq \f(5,2)λ eq \(AE,\s\up6(→))＋2λ eq \(AF,\s\up6(→))，
由E，F，K三点共线可得 eq \f(5,2)λ＋2λ＝1，解得λ＝ eq \f(2,9)，故选A.
15．②③④
解析：∵ eq \(BC,\s\up6(→))＝a， eq \(CA,\s\up6(→))＝b， eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)a－b，故①不正确；对于②， eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→))＝a＋ eq \f(1,2)b，正确；对于③， eq \(CF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)(－a＋b)＝－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b，故③正确；对于④， eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \(CF,\s\up6(→))＝－b－ eq \f(1,2)a＋a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)b－ eq \f(1,2)a＝0，故④正确，故正确的有②③④.
16. eq \f(5,11)
解析：
∵N，P，B三点共线，
∴ eq \(AP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,11) eq \(AC,\s\up6(→))
＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(6,11) eq \(AN,\s\up6(→))，
∴m＋ eq \f(6,11)＝1，∴m＝ eq \f(5,11).