3.5-函数的奇偶性（解析版）-2023-2024学年初升高（新高一）数学暑假衔接教材（人教版）

这是一份3.5-函数的奇偶性（解析版）-2023-2024学年初升高（新高一）数学暑假衔接教材（人教版），共24页。试卷主要包含了函数的奇偶性，函数的奇偶性的判断，函数的奇偶性的性质，利用奇偶性性质比较大小等内容，欢迎下载使用。

❊3.5 函数的奇偶性
考点先知

知 识
考 点
函数的奇偶性及其性质
1.函数奇偶性的判断
2.函数奇偶性图像特点的应用
3.利用奇偶性性质求参数的值
4.利用奇偶性性质求函数值
5.利用奇偶性性质比较大小
6.利用奇偶性求分段函数的解析式
7.利用奇偶性解函数不等式

题型精析

知识点一 函数的奇偶性


内容
定义
若函数的定义域关于原点对称，且满足，则称函数为偶函数；若满足，则称函数为奇函数．
【注意】函数的奇偶性的前提是定义域关于原点对称，所以，若函数的定义域没有关于原点对称，则函数不可能有奇偶性．
知识点二 函数的奇偶性的判断

判断方法
要点
次数法
通过判断次数来判断函数的奇偶性
定义法
若，则函数为偶函数；若，则函数为奇函数
结论法
①奇±奇=奇；②偶±偶=偶；③奇×奇=偶（奇÷奇=偶）；④奇×偶=奇
（奇÷偶=奇）；⑤；⑥；⑦为偶函数；⑧为偶函数
特别提醒：1.判断函数奇偶性的第一步是看定义域是否关于原点对称；2.奇±偶=非奇非偶函数.
知识点三 函数的奇偶性的性质

函数类型
函数性质
奇函数
①图像关于原点对称；②；③原点左右单调性相同；
④若可为，则
偶函数
①图像关于轴对称；②；③原点左右单调性相反




题型一 函数奇偶性的判断

例1

判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）
（3）


（4）
（5）
（6）


（7）
（8）



【答案】奇；奇；偶；奇；偶；非奇非偶；非奇非偶；偶

变1
判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）
（3）


（4）
（5）



【答案】偶；非奇非偶；奇；偶；非奇非偶


例2

1．若函数是偶函数，则的值是_______．
2．已知函数是偶函数，且其定义域为，求，的值．

3．已知函数是奇函数，则的值是_______．
【答案】0；；0
变2
已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

【答案】B
变2
（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数是奇函数
C．若，则函数是奇函数
D．若，则函数是偶函数

【答案】BC

例3

判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）


（3）
（4）



【答案】偶；偶；奇；偶
变3
判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）


（3）
（4）



【答案】奇；偶；奇；奇



例4

判断下列函数的奇偶性：
【易错警示】注意判断函数的定义域是否关于原点对称．所以，第一步应先求出函数的定义域.
（1）
（2）



（3），①；②
（4）

【答案】奇；偶；非奇非偶，既奇又偶；非奇非偶




变4
判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2），


（3）
（4），



【答案】偶；非奇非偶；奇；奇




变5
下列函数中既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
例5

1.若函数是奇函数，是偶函数，则是_____函数；是_____函数；
是_____函数；是_____函数；是_____函数；是_____函数；是_____函数.
2.①已知是偶函数，则函数是_____函数（奇/偶）；
②已知是奇函数，则函数是_____函数（奇/偶）；
③已知是奇函数，则函数是_____函数（奇/偶）.
【答案】1.非奇非偶；奇；奇；偶；偶；偶；偶；2.偶；奇；偶

变6
设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（　　）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．是奇函数
D．是奇函数
【思路分析】由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．
【答案】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（﹣x）为奇函数，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．
再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，
可得 f（x）g（x）为奇函数，|f（x）|g（x）为奇函数，
故选：C．
题型二 函数奇偶性的性质

类型一 奇偶函数图像特点的应用

例1

已知定义在上的奇函数在单调递增，那么函数在上的单调性是_______．
【答案】单调递增
例2

已知定义在上的偶函数在上有最小值，最大值，那么函数在上有最大值_______，最小值_______．
【答案】5；2

变1
已知定义在上的偶函数在单调递增，那么函数在上的单调性是_______．
【答案】单减
变2
已知定义在上的奇函数在上有最小值，最大值，那么函数在上有最大值_______，最小值_______．
【答案】10；-3

类型二 利用奇偶性性质求参数的值

例1

已知函数为上的奇函数，求的值．
【答案】1



例2

已知函数（为常数）若为奇函数，求的值．
【答案】1



例3

已知函数是偶函数，求实数的值．
【答案】3



变1
若为奇函数，求值．
【答案】1




变2
已知函数是其定义域内的奇函数，且，求 的表达式．

变3
为上的偶函数，求的值．
【答案】1


类型三 利用奇偶性性质求函数的值

例1

已知，．若，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
例2

定义在函数满足，且当时，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
变1
已知函数，．若，则的值等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
例3

已知，若，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A

例4

已知，若，则_______．
【答案】14
变2
已知，若，则_______．
【答案】-26
变3
已知函数，若，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
类型四 利用奇偶性性质比较大小

例1

设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为函数是偶函数，所以
因为时，是增函数，所以，所以.故选：A
例2

已知函数是偶函数，当时， 恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】当时，，则，
所以，函数为上的增函数，
由于函数是偶函数，可得，
，
，因此，.故选：A.

变1
已知定义在R上的偶函数在上是减函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】先化简，再利用函数的单调性判断得解.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以.
因为函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，
所以函数在上是增函数，
因为.
故选：D.
变2
已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为为偶函数，所以，
又因为且在上单调递增，所以，
所以，故选：B.
变3
设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，试确定，，之间的大小关系．
【答案】
【解析】
【分析】
先比较、、的大小，再根据奇偶性可得题设中三者之间的大小.
【详解】
因为当时，是减函数，故，
而为偶函数，故，
故.
题型三 利用奇偶性求函数的解析式

我们可利用函数的对称变换来快速的求解分段函数的解析式，即①f(x)→f(-x)，函数关于y轴对称（偶函数）；②f(x)→-f(-x)，函数关于原点对称（奇函数）.例如例1（1）题中，函数为奇函数，则x、y都要添上负号，即可快速选出答案A.
例1

（1）为定义在R上的奇函数，当时，，则时，（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）已知)是R上的奇函数，且当时，，则的解析式___________．
【答案】（1）A（2）
【解析】（1）设，则，
因为函数为定义在上的奇函数，且时，，
可得，即当时，.故选：A.
（2）由题得，
设，则，
又是奇函数，，
故答案为：．
例2

已知函数，，是奇函数，且当时，，则时，___________．
【答案】.
【解析】当时，，所以，
因为是奇函数，
所以.
故答案为：.
变1
已知是定义在R上的奇函数，时，，则在，上的表达式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为时，，
设，则，
所以，
又因为是定义在R上的奇函数，
所以，
故选： A.
变2
已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，___________．
【答案】
【解析】当时，，
则，
又因为是定义在上的奇函数，所以，
故答案为：.
变3
已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则函数的解析式为___________．
【答案】
【解析】设，
所以，
因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，
所以.
所以函数的解析式为.
故答案为：

题型四 利用奇偶性解函数不等式

解函数不等式需要：1．函数的单调性；2．不等式两边都必须要上函数f(x)的形式．
若函数为偶函数，解不等式f(a)>f(b)：1.若函数在(0，+∞)上单增，那么只需满足|a|>|b|（或两边平方）；
2.若函数在(0，+∞)上单减，那么只需满足|a|<|b|.
例1

函数在单调递增，且为奇函数．已知，，则满足的的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A

例2

已知为上偶函数，且在上为增函数，则满足的范围为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B

例3

已知函数是定义在上的奇函数，且在上为单调增函数．若，则满足的的取值范围是________．
【答案】x≤2

变1
已知偶函数在区间上单调递减，且，则满足的的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D


变2
已知定义域为的偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为________．
【答案】

例4

已知函数为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则满足的的取值范围（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D

变3
定义在上的函数是减函数，且是奇函数，若，求实数的取值范围．






变4
为上的奇函数且单调递减，若，求的范围．


例5

已知R上的单增函数，则关于的不等式的解集为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
例6

设函数，则使成立的的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
变5
已知函数，则不等式的解集是_______．
【答案】略

课后强化

1．下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.
【详解】
解析：A项，B项均为定义域上的奇函数，排除；
D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除；
C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减.
故选：C.
2.（多选）下列哪个函数是其定义域上的偶函数（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
先求得函数定义域，根据偶函数的定义，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
对于A：定义域为R，令，则，
所以为定义域上偶函数，故A正确；
对于B：定义域为R，令，则，
所以为定义域上偶函数，故B正确；
对于C：令，解得，定义域为，定义域关于原点对称，令，
则，
所以为定义域上偶函数，故C正确；
对于D：定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，故D错误.
故选：ABC
3.（多选）下列函数中是偶函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由偶函数的概念对选项逐一判断
【详解】
对于A，函数定义域为R，，故A正确
对于B，函数定义域为，故B错误
对于C，函数定义域为R，，故C正确
对于D，函数定义域为R，，故D正确
故选：ACD
4.（多选）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的有（       ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值3
C．若在上为减函数，则在上是增函数
D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
依据奇函数性质判断选项ABD；举反例否定选项C.
【详解】
选项A：函数是定义在R上的奇函数，则，则.判断正确；
选项B：奇函数的图像关于原点中心对称，故若在上有最小值，则在上有最大值3.判断正确；
选项C：奇函数在上为减函数，但在上依旧是减函数.判断错误；
选项D：函数是定义在R上的奇函数，则.判断错误.
故选：AB
5.若是偶函数，且定义域为，则_____ ，_____.
【答案】 0
【解析】因为是偶函数，且定义域为，
所以，解得，
且，
所以.
故.
6.若函数在上为奇函数，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用区间关于原点对称求出，再根据恒成立求出，即可得解.
【详解】
因为函数在上为奇函数，
所以，得，
又，即，即恒成立，
所以，所以.
故答案为：.
7.若函数在上是奇函数，则的解析式为____________．
【答案】
【解析】在上是奇函数，，，．
又，，即，．
8.已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据以及可求出结果.
【详解】
因为函数为R上的奇函数，当时，，
所以．
而，∴．
故选：C．
9.函数（已知函数sinx为奇函数），若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令，进而根据其奇偶性得，进而得答案.
【详解】
解：令，
由于，
所以函数为奇函数，
因为，即，所以，
所以，
所以.
故选：A
10.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，且，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵是上的奇函数，
∴，即，．
，∴．
故选：A．
11.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为是定义在上的奇函数，且当时，，
所以．故当时，，所以．故选：.
12.已知函数，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，构造新函数 ，判断其奇偶性，结合，即可求得答案.
【详解】
由函数，
令，则，
由可知：奇函数，
故，则，
所以，
故选：C
13.设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】是偶函数，，，
当时，是增函数，且，
，
.
故选：B.
14.已知偶函数在上单调递减，若，，，则的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为是偶函数，，，
又在上单调递减，，
，即.
故选：C.
15.定义在上的偶函数满足：对任意的有则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性，再利用函数的奇偶性得解.
【详解】
解：因为对任意的有
所以函数在区间上单调递减，
所以，又因为函数是偶函数，
所以.
故选：A
16.已知是定义在R上的偶函数，当时，．求的解析式；
【答案】
【解析】
【分析】
根据时，，可得的表达式，然后根据偶函数即可得.
解:当时，所以；
因为为R上的偶函数，所以；
又，所以

17.若是定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则当时，___________.
【答案】
【解析】是定义在R上的奇函数，则，故，
时，，则.
故答案为：.
18.已知，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数为偶函数可得，再由函数单调性建立不等式求解即可.
【详解】
因为的定义域为,关于原点对称，且，
所以是偶函数，
故由可得，
当时，是增函数，
所以，解得，
故选：B
19.已知偶函数在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式．
【详解】
因为偶函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，
因为，
所以，解得：.
故选：A．
20.函数，若，则实数m的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出函数的图象，根据图象可得，从而可求出实数m的取值范围
【详解】
因为
所以是偶函数，作出的图象如下：

由得，，
∴．
故答案为：
21.函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定的解析式；
（2）证明在上的单调性；
（3）解关于t的不等式．
【答案】(1)

(2)证明见解析；
(3)不等式解集为.
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数的定义与性质列方程求解
（2）由函数的单调性的定义证明
（3）由函数奇偶性和单调性，化简不等式后再求解
(1)
根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解可得；
又由，则有，解可得；
则
(2)
由（1）的结论，，
设，
则

又由，
则，，，，
则，即
则函数在上为增函数.
(3)
由（1）（2）知为奇函数且在上为增函数.
，
解可得：，
即不等式的解集为.
22.已知函数是R上的奇函数，当时，.
（1）当时，求解析式；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数性质求解即可；
（2）先判断函数在上的增减性，再由奇函数性质得到，
根据单调性解抽象不等式即可.
(1)
因为函数是上的奇函数，当时，，
所以当时，， 所以，
因为，所以，
故当时， .
(2)
由（1）知，，
当时，，易知此时函数单调递增，由奇函数性质得，
当时，也单调递增，所以函数是上的增函数，
因为，所以，
即，又因为函数是上的增函数，
所以，解得.
故实数的取值范围为：.