2023年湖南省怀化市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年湖南省怀化市中考数学试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．（4分）下列四个实数中，最小的数是（　　）
A．﹣5 B．0 C． D．
2．（4分）2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（　　）
A．12.2254×104 B．1.22254×104
C．1.22254×105 D．0.122254×106
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．a6÷a2＝a3
C．（ab3）2＝a2b9 D．5a﹣2a＝3
4．（4分）剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）
6．（4分）如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．60° C．100° D．120°
7．（4分）某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4．关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．众数是9.6 B．中位数是9.5
C．平均数是9.4 D．方差是0.3
8．（4分）下列说法错误的是（　　）
A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B．一元二次方程x2+x+3＝0有两个相等的实数根
C．任意多边形的外角和等于360°
D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
9．（4分）已知压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝pS．当F为定值时，如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABC＝9，那么点C的坐标为（　　）

A．（﹣3，0） B．（5，0）
C．（﹣3，0）或（5，0） D．（3，0）或（﹣5，0）
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．（4分）要使代数式有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．（4分）分解因式：2x2﹣4x+2＝　 　．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为 　 　，另一个根为 　 　．
14．（4分）定义新运算：（a，b）•（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c，d为实数．例如：（1，2）•（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）•（3，﹣1）＝3，那么x＝　 　．
15．（4分）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3．则点P到直线AB的距离为 　 　．

16．（4分）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2033OB2033，则△A2023OB2033的边长为 　 　，点A2023的坐标为 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．（8分）计算：|﹣2|+（）﹣1﹣+（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）．
18．（8分）先化简（1+）÷，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
19．（10分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）证明：△BOF≌△DOE；
（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．

20．（10分）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（≈1.732，结果保留一位小数）

21．（12分）近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：

（1）所抽取的学生人数为 　 　；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；
（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC＝PA．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD•OC＝PA•OD；
（3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求阴影部分的面积．

23．（12分）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
24．（14分）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）设直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y＝﹣上总存在一点E，使得∠MEN为直角．

2023年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．（4分）下列四个实数中，最小的数是（　　）
A．﹣5 B．0 C． D．
【分析】正数＞0＞负数；一个正数越大，其算术平方根越大；据此进行判断即可．
【解答】解：∵1＜2，
∴＜，
即1＜，
则＜，
那么﹣5＜0＜＜，
则最小的数为：﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（4分）2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（　　）
A．12.2254×104 B．1.22254×104
C．1.22254×105 D．0.122254×106
【分析】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：122254＝1.22254×105，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．a6÷a2＝a3
C．（ab3）2＝a2b9 D．5a﹣2a＝3
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则，分别判断得出答案．
【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；
B．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；
C．（ab3）2＝a2b6，故此选项不合题意；
D．5a﹣2a＝3a，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（4分）剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（2，3）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题关键．
6．（4分）如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．60° C．100° D．120°
【分析】根据平移直线AB至CD，可得AB∥CD，所以∠BMF＝∠2，根据对顶角相等得∠BMF＝∠1＝60°，所以∠2＝60°．
【解答】解：如图，

∵平移直线AB至CD，
∴AB∥CD，
∴∠BMF＝∠2，
∵∠BMF＝∠1＝60°，
∴∠2＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质和平行线的性质，解决本题的关键是掌握平移的性质和平行线的性质．
7．（4分）某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4．关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．众数是9.6 B．中位数是9.5
C．平均数是9.4 D．方差是0.3
【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．
【解答】解：在这组数据中，9.6出现的次数最多，故众数是9.6，故选项A符合题意；
把这组数据从小到大排列，排在中间的数是9.6，故中位数是9.6，故选项B不符合题意；
平均数是＝9.5，故选项C不符合题意；
方差是：[2×（9.6﹣9.5）2+（9.2﹣9.5）2+（9.7﹣9.5）2+（9.4﹣9.5）2]＝0.032，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是算术平均数，方差，中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
8．（4分）下列说法错误的是（　　）
A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B．一元二次方程x2+x+3＝0有两个相等的实数根
C．任意多边形的外角和等于360°
D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
【分析】根据随机事件的定义可以判断A；根据根的判别式可以判断B；根据任意多边形的外角和都是360°可以判断C；根据三角形重心的定义可以判断D．
【解答】解：成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故选项A正确，不符合题意；
∵一元二次方程x2+x+3＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，
∴一元二次方程x2+x+3＝0无实数根，故选项B错误，符合题意；
任意多边形的外角和等于360°，故选项C正确，不符合题意；
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查三角形的重心、根的判别式、多边形的外角和、随机事件，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
9．（4分）已知压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝pS．当F为定值时，如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的解析式判断函数的图形即可．
【解答】解：∵压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝pS．
∴当F为定值时，压强p与受力面积S之间函数关系是反比例函数，
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象．
10．（4分）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABC＝9，那么点C的坐标为（　　）

A．（﹣3，0） B．（5，0）
C．（﹣3，0）或（5，0） D．（3，0）或（﹣5，0）
【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据S△ACD+S△BCD＝S△ABC＝9，求得CD的长度，进而即可求得点C的坐标．
【解答】解：把点A（1，3）代入y＝（k＞0）得，3＝，
∴k＝3，
∴反比例函数为y＝，
设直线AB为y＝ax+b，
代入点D（﹣1，0），A（1，3）得，
解得，
∴直线AB为y＝x+，
解，得或，
∴B（﹣2，﹣），
∵S△ABC＝9，
∴S△ACD+S△BCD＝，
∴CD＝4，
∴点C的坐标为（﹣5，0）或（3，0）．
故选：D．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点的求法，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．（4分）要使代数式有意义，则x的取值范围是 　x≥9　．
【分析】根据代数式有意义，可得x﹣9≥0，进一步求解即可．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x﹣9≥0，
∴x≥9，
故答案为：x≥9．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．（4分）分解因式：2x2﹣4x+2＝　2（x﹣1）2　．
【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【解答】解：2x2﹣4x+2，
＝2（x2﹣2x+1），
＝2（x﹣1）2．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为 　﹣1　，另一个根为 　2　．
【分析】将x＝﹣1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于﹣2，即可求出方程的另一个根．
【解答】解：将x＝﹣1代入原方程可得1﹣m﹣2＝0，
解得：m＝﹣1，
∵方程的两根之积为＝﹣2，
∴方程的另一个根为﹣2÷（﹣1）＝2．
故答案为：﹣1，2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
14．（4分）定义新运算：（a，b）•（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c，d为实数．例如：（1，2）•（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）•（3，﹣1）＝3，那么x＝　1　．
【分析】直接利用运算公式将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：（2x，3）•（3，﹣1）＝3，
6x﹣3＝3，
解得：x＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确将原式变形是解题关键．
15．（4分）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3．则点P到直线AB的距离为 　3　．

【分析】过点P作PF⊥AB于点F，根据正方形的性质易得△AEP为等腰直角三角形，AE＝PE＝3，再根据有三个角为直角，且邻边相等的四边形为正方形证明四边形AFPE为正方形，以此即可求解．
【解答】解：过点P作PF⊥AB于点F，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴∠PAE＝45°，
∴△AEP为等腰直角三角形，AE＝PE＝3，
∵PE⊥AD，PF⊥AB，
∴∠FAE＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
又∵AE＝PE，
∴四边形AFPE为正方形，
∴AE＝PF＝3，
∴点P到直线AB的距离为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
16．（4分）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2033OB2033，则△A2023OB2033的边长为 　22023　，点A2023的坐标为 　（22022，22022）　．

【分析】利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题．
【解答】解：由题意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OAn＝2n，
∴△A2023OB2033的边长为22023，
∵2023÷6＝372…1，
∴A2023与A1都在第四象限，坐标为（22022，22022•）．
故答案为：22023，（22022，22022）．
【点评】本题考查相似三角形的性质，规律型﹣点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．（8分）计算：|﹣2|+（）﹣1﹣+（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝2+3﹣3+1+1
＝4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（8分）先化简（1+）÷，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当a＝1或2时，分式无意义，
故当a＝﹣1时，原式＝﹣，
当a＝0时，原式＝﹣．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
19．（10分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）证明：△BOF≌△DOE；
（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．

【分析】（1）根据矩形的对边平行得到AD∥BC，于是有∠EDO＝∠FBO，根据点O是BD的中点得出DO＝BO，结合对顶角相等利用ASA可证得△BOF和△DOE全等；
（2）由（1）△BOF≌△DOE可得BF＝DE，结合DE∥BF，可得四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴DO＝BO，
又∵∠EOD＝∠FOB，
∴△BOF≌△DOE（ASA）；
（2）证明：由（1）已证△BOF≌△DOE，
∴BF＝DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．
20．（10分）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（≈1.732，结果保留一位小数）

【分析】根据题意可得AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，先利用三角形的外角性质可得∠DMN＝∠MDN＝30°，从而可得DN＝MN＝35m，然后在Rt△DNE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，即可得的答案．
【解答】解：由题意得：AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，
∵∠DNE是△DMN的外角，
∴∠MND＝∠DNE﹣∠DMN＝30°，
∴∠DMN＝∠MDN＝30°，
∴DN＝MN＝35m，
在Rt△DNE中，DE＝DN•sin60°＝35×＝（m），
∴DC＝DE+CE＝+1.5≈+1.5≈31.8（m）．
答：烈士纪念碑的通高CD约为31.8m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．（12分）近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：

（1）所抽取的学生人数为 　200　；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；
（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．
【分析】（1）由“视力正常人数及其所占百分比可得总人数；
（2）用（1）的结论乘15%可得“中度近视”的人数，进而得出“高度近视”的人数，再补全条形统计图；用360°乘“轻度近视”所占比例可得扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；
（3）用3000乘样本中“轻度近视”所占比例可得答案．
【解答】解：（1）所抽取的学生人数为：90÷45%＝200．
故答案为：200；
（2）样本中“中度近视”的人数为：200×15%＝30（人），
“高度近视”的人数为：200﹣90﹣70﹣30＝10（人），
补全条形统计图如下：

扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：360°×＝126°；
（3）3000×＝1050（人），
答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数约1050人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC＝PA．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD•OC＝PA•OD；
（3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求阴影部分的面积．

【分析】（1）先由切线的性质得∠PAO＝90°，然后依据“SSS”判定△POC和△POA全等，从而得∠PCO＝∠PAO＝90°，据此即可得出结论；
（2）由∠DCO＝∠DAP＝90°，∠ODC＝∠PDA可判定△ODC和△PDA相似，进而根据相似三角形的性质可得出结论；
（3）连接BC，过点C作CE⊥OB于点E，先证△OCB为等边三角形，再设OE＝a，则OA＝OB＝OC＝2a，，在Rt△CDE和在Rt△DOC中，由勾股定理得CD2＝CE2+DE2＝OD2﹣OC2，由此可求出a的值，进而得⊙O的半径为4，然后根据S阴影＝S△DOC﹣S扇形BOC即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
即：∠PAO＝90°，
∵点C在⊙O上，
∴OC＝OA，
在△POC和△POA中，
，
∴△POC≌△POA（SSS），
∴∠PCO＝∠PAO＝90°，
即：PC⊥OC，
又OC为⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线．
（2）证明：由（1）可知：OC⊥PD，
∴∠DCO＝∠DAP＝90°，
又∠ODC＝∠PDA，
∴△ODC∽△PDA，
∴，
即：PD•OC＝PA•OD．
（3）解：连接BC，过点C作CE⊥OB于点E，

∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝60°，
又OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，
∵CE⊥OB，
∴OE＝BE，
设OE＝a，显然a≠0，
则OA＝OB＝OC＝2a，
在Rt△OCE中，OE＝a，OC＝2a，
由勾股定理得：，
∵OD＝8，
∴DE＝OD﹣OE＝8﹣a，
在Rt△CDE中，，DE＝8﹣a，
由勾股定理得：，
在Rt△DOC中，OC＝2a，OD＝8，
由勾股定理得：CD2＝OD2﹣OC2＝82﹣（2a）2，
，
整理得：a2﹣2a＝0，
∵a≠0，
∴a＝2，
∴OC＝2a＝4，，
∴，
又∵，
∴．
【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，理解切线垂直于过且点的半径；过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线；难点是在解答（3）时，设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出圆的半径．
23．（12分）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
【分析】（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的B种客车不超过7辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金＝每辆A种客车的租金×租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金×租用B种客车的辆数，可分别求出各选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，
根据题意得：45x+30＝60（x﹣6），
解得：x＝26，
∴45x+30＝45×26+30＝1200．
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，
根据题意得：，
解得：5≤y≤7，
又∵y为正整数，
∴y可以为5，6，7，
∴该学校共有3种租车方案，
方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；
（3）选择方案1的总租金为300×5+220×20＝5900（元）；
选择方案2的总租金为300×6+220×19＝5980（元）；
选择方案3的总租金为300×7+220×18＝6060（元）．
∵5900＜5980＜6060，
∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程，（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需总租金．
24．（14分）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）设直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y＝﹣上总存在一点E，使得∠MEN为直角．
【分析】（1）运用待定系数法，将A（﹣4，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣8，即可求得抛物线的函数表达式，再利用配方法或顶点坐标公式即可求得抛物线的顶点坐标；
（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，设P（t，t2+2t﹣8），过点P作PF∥y轴，交AC于点F，则F（t，﹣2t﹣8），进而可得S△PAC＝S△PAF+S△PCF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）由直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，可得x2+（2﹣k）x+﹣k＝0，利用根与系数关系可得xM+xN＝k﹣2，xMxN＝﹣k，利用两点间距离公式可得MN2＝（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2＝（1+k2）2，设MN的中点为O′，过点O′作O′E⊥直线l2，垂足为E，O′E＝MN，以MN为直径的⊙O′一定经过点E，所以∠MEN＝90°，即证得结论．
【解答】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣8，
∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣9）；
（2）解：∵抛物线y＝x2+2x﹣8与y轴交于点C，
∴C（0，﹣8），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，
设P（t，t2+2t﹣8），
过点P作PF∥y轴，交AC于点F，如图，

则F（t，﹣2t﹣8），
∴PF＝﹣2t﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝﹣t2﹣4t，
∴S△PAC＝S△PAF+S△PCF＝PF•（t+4）+PF•（﹣t）＝2PF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴当t＝﹣2时，S△PAC的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣8）；
（3）证明：∵直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，
∴x2+2x﹣8＝kx+k﹣，
整理得：x2+（2﹣k）x+﹣k＝0，
∴xM+xN＝k﹣2，xMxN＝﹣k，
∵yM＝kxM+k﹣，yN＝kxN+k﹣，
∴yM﹣yN＝k（xM﹣xN），
∴MN2＝（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2＝（1+k2）（xM﹣xN）2＝（1+k2）[（xM+xN）2﹣4xMxN]＝（1+k2）[（k﹣2）2﹣4（﹣k）]＝（1+k2）2，
∵设MN的中点为O′，
∴O′（，k2﹣），
过点O′作O′E⊥直线l2：y＝﹣，垂足为E，如图，

∴E（，﹣），
∴O′E＝k2﹣﹣（﹣）＝（1+k2），
∴O′E＝MN，
∴以MN为直径的⊙O′一定经过点E，
∴∠MEN＝90°，
∴在直线l2：y＝﹣上总存在一点E，使得∠MEN为直角．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系，圆的性质，圆周角定理等，解题关键是证得O′E＝MN，得出以MN为直径的⊙O′一定经过点E．
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