2023年湖南省怀化市中考数学试卷

这是一份2023年湖南省怀化市中考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列四个实数中，最小的数是
A．B．0C．D．
2．（4分）2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．（4分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
4．（4分）剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
5．（4分）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是
A．B．C．D．
6．（4分）如图，平移直线至，直线，被直线所截，，则的度数为
A．B．C．D．
7．（4分）某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4．关于这组数据，下列说法正确的是
A．众数是9.6B．中位数是9.5C．平均数是9.4D．方差是0.3
8．（4分）下列说法错误的是
A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B．一元二次方程有两个相等的实数根
C．任意多边形的外角和等于
D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
9．（4分）已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当为定值时，如图中大致表示压强与受力面积之间函数关系的是
A．B．
C．D．
10．（4分）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为
A．B．
C．或D．或
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．（4分）要使代数式有意义，则的取值范围是 ．
12．（4分）分解因式： ．
13．（4分）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ，另一个根为 ．
14．（4分）定义新运算：，，，其中，，，为实数．例如：，，．如果，，，那么 ．
15．（4分）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．
16．（4分）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把△按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到△；第二次旋转将△绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为△边长的2倍，得到△，．依次类推，得到△，则△的边长为 ，点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入求值．
19．（10分）如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．
（1）证明：；
（2）连接、，证明：四边形是菱形．
20．（10分）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是、、在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．，结果保留一位小数）
21．（12分）近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）所抽取的学生人数为 ；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；
（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．
22．（12分）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．
（1）求证：为的切线；
（2）延长与的延长线交于点，求证：；
（3）若，，求阴影部分的面积．
23．（12分）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若种客车租金为每辆220元，种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
24．（14分）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
2023年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．（4分）下列四个实数中，最小的数是
A．B．0C．D．
【分析】正数负数；一个正数越大，其算术平方根越大；据此进行判断即可．
【解答】解：，
，
即，
则，
那么，
则最小的数为：，
故选：．
2．（4分）2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：，
故选：．
3．（4分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则，分别判断得出答案．
【解答】解：．，故此选项符合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意．
故选：．
4．（4分）剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
5．（4分）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案．
【解答】解：点关于轴对称的点的坐标是．
故选：．
6．（4分）如图，平移直线至，直线，被直线所截，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据平移直线至，可得，所以，根据对顶角相等得，所以．
【解答】解：如图，
平移直线至，
，
，
，
．
故选：．
7．（4分）某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4．关于这组数据，下列说法正确的是
A．众数是9.6B．中位数是9.5C．平均数是9.4D．方差是0.3
【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．
【解答】解：在这组数据中，9.6出现的次数最多，故众数是9.6，故选项符合题意；
把这组数据从小到大排列，排在中间的数是9.6，故中位数是9.6，故选项不符合题意；
平均数是，故选项不符合题意；
方差是：，故选项不符合题意．
故选：．
8．（4分）下列说法错误的是
A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B．一元二次方程有两个相等的实数根
C．任意多边形的外角和等于
D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
【分析】根据随机事件的定义可以判断；根据根的判别式可以判断；根据任意多边形的外角和都是可以判断；根据三角形重心的定义可以判断．
【解答】解：成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故选项正确，不符合题意；
一元二次方程，
△，
一元二次方程无实数根，故选项错误，符合题意；
任意多边形的外角和等于，故选项正确，不符合题意；
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故选项正确，不符合题意；
故选：．
9．（4分）已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当为定值时，如图中大致表示压强与受力面积之间函数关系的是
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的解析式判断函数的图形即可．
【解答】解：压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．
当为定值时，压强与受力面积之间函数关系是反比例函数，
故选：．
10．（4分）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为
A．B．
C．或D．或
【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组求得点的坐标，根据，求得的长度，进而即可求得点的坐标．
【解答】解：把点代入得，，
，
反比例函数为，
设直线为，
代入点，得，
解得，
直线为，
解，得或，
，
，
，
，
点的坐标为或．
故选：．
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．（4分）要使代数式有意义，则的取值范围是 ．
【分析】根据代数式有意义，可得，进一步求解即可．
【解答】解：代数式有意义，
，
，
故答案为：．
12．（4分）分解因式： ．
【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．．
【解答】解：，
，
．
13．（4分）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ，另一个根为 ．
【分析】将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再结合两根之积等于，即可求出方程的另一个根．
【解答】解：将代入原方程可得，
解得：，
方程的两根之积为，
方程的另一个根为．
故答案为：，2．
14．（4分）定义新运算：，，，其中，，，为实数．例如：，，．如果，，，那么 1 ．
【分析】直接利用运算公式将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：，，，
，
解得：．
故答案为：1．
15．（4分）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 3 ．
【分析】过点作于点，根据正方形的性质易得为等腰直角三角形，，再根据有三个角为直角，且邻边相等的四边形为正方形证明四边形为正方形，以此即可求解．
【解答】解：过点作于点，
四边形为正方形，
，，
，
为等腰直角三角形，，
，，
，
又，
四边形为正方形，
，
点到直线的距离为3．
故答案为：3．
16．（4分）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把△按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到△；第二次旋转将△绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为△边长的2倍，得到△，．依次类推，得到△，则△的边长为 ，点的坐标为 ．
【分析】利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题．
【解答】解：由题意，，，，，
△的边长为，
，
与都在第四象限，坐标为，．
故答案为：，，．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．（8分）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
18．（8分）先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入求值．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
当或2时，分式无意义，
故当时，原式，
当时，原式．
19．（10分）如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．
（1）证明：；
（2）连接、，证明：四边形是菱形．
【分析】（1）根据矩形的对边平行得到，于是有，根据点是的中点得出，结合对顶角相等利用可证得和全等；
（2）由（1）可得，结合，可得四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
点是的中点，
，
又，
；
（2）证明：由（1）已证，
，
四边形是矩形，
，即，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
20．（10分）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是、、在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．，结果保留一位小数）
【分析】根据题意可得，，，，，先利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可得的答案．
【解答】解：由题意得：，，，，，
是的外角，
，
，
，
在中，，
．
答：烈士纪念碑的通高约为．
21．（12分）近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）所抽取的学生人数为 200 ；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；
（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．
【分析】（1）由“视力正常人数及其所占百分比可得总人数；
（2）用（1）的结论乘可得“中度近视”的人数，进而得出“高度近视”的人数，再补全条形统计图；用乘“轻度近视”所占比例可得扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；
（3）用3000乘样本中“轻度近视”所占比例可得答案．
【解答】解：（1）所抽取的学生人数为：．
故答案为：200；
（2）样本中“中度近视”的人数为：（人，
“高度近视”的人数为：（人，
补全条形统计图如下：
扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：；
（3）（人，
答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数约1050人．
22．（12分）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．
（1）求证：为的切线；
（2）延长与的延长线交于点，求证：；
（3）若，，求阴影部分的面积．
【分析】（1）先由切线的性质得，然后依据“”判定和全等，从而得，据此即可得出结论；
（2）由，可判定和相似，进而根据相似三角形的性质可得出结论；
（3）连接，过点作于点，先证为等边三角形，再设，则，，在和在中，由勾股定理得，由此可求出的值，进而得的半径为4，然后根据即可得出答案．
【解答】（1）证明：为的直径，为的切线，
，
即：，
点在上，
，
在和中，
，
，
，
即：，
又为的半径，
为的切线．
（2）证明：由（1）可知：，
，
又，
，
，
即：．
（3）解：连接，过点作于点，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
设，显然，
则，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
整理得：，
，
，
，，
，
又，
．
23．（12分）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若种客车租金为每辆220元，种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
【分析】（1）设原计划租用种客车辆，则这次研学去了人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的种客车不超过7辆”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金每辆种客车的租金租用种客车的辆数每辆种客车的租金租用种客车的辆数，可分别求出各选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设原计划租用种客车辆，则这次研学去了人，
根据题意得：，
解得：，
．
答：原计划租用种客车26辆，这次研学去了1200人；
（2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为5，6，7，
该学校共有3种租车方案，
方案1：租用5辆种客车，20辆种客车；
方案2：租用6辆种客车，19辆种客车；
方案3：租用7辆种客车，18辆种客车；
（3）选择方案1的总租金为（元；
选择方案2的总租金为（元；
选择方案3的总租金为（元．
，
租用5辆种客车，20辆种客车最合算．
24．（14分）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
【分析】（1）运用待定系数法，将、代入，即可求得抛物线的函数表达式，再利用配方法或顶点坐标公式即可求得抛物线的顶点坐标；
（2）运用待定系数法可得直线的解析式为，设，过点作轴，交于点，则，进而可得，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）由直线交抛物线于点、，可得，利用根与系数关系可得，，利用两点间距离公式可得，设的中点为，过点作直线，垂足为，，以为直径的一定经过点，所以，即证得结论．
【解答】（1）解：抛物线与轴交于、两点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：抛物线与轴交于点，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
设，
过点作轴，交于点，如图，
则，
，
，
，
当时，的最大值为8，此时点；
（3）证明：直线交抛物线于点、，
，
整理得：，
，，
，，
，
，
设的中点为，
，，
过点作直线，垂足为，如图，
，，
，
，
以为直径的一定经过点，
，
在直线上总存在一点，使得为直角．