2023年湖南省怀化市中考模拟数学试题（含解析）

2023年湖南省怀化市中考模拟数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的倒数是（    ）

A． B．2023 C． D．

2．2022年怀化市全力加快陆港建设，架起了对接东盟的开放桥梁．设施功能不断完善，全年完成投资98亿元．其中数据98亿元用科学记数法表示是（    ）

A． B． C． D．

3．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ）

A． 绿色饮品 B． 绿色食品

C． 有机食品 D． 速冻食品

4．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

5．下列立体图形中，三视图都一样的是（    ）

A． B． C． D．

6．如图，直线，直线与，分别相交于，两点，交于点，，的度数是（    ）

A． B． C． D．

7．要了解怀化市九年级学生的视力状况，从中随机抽查了500名学生的视力状况，下列说法不正确的是（    ）

A．本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生

B．本次调查是抽样调查

C．本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生的视力状况

D．本次抽查的样本容量是500

8．如图，是由绕点旋转得到的像，则其旋转的方向和旋转的角度可能有（    ）

A．顺时针旋转 B．逆时针旋转  C．逆时针旋转 D．逆时针旋转

9．如图，在中，，用直尺和圆规在边上确定一点，使点到边、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（    ）

A．     B．   C．     D．  

10．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、两点，为轴上一动点，连接、，当取得最小值时，的面积为（    ）

A．1 B． C． D．

二、填空题

11．分解因式：______．

12．一组数据1，2，5，3，a的平均数是3，则中位数是_______．

13．函数中，自变量的取值范围是________．

14．如图，在中，点分别在上，且．若，，，则的长为___．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是_____．

16．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为________．

三、解答题

17．计算：

18．先化简，再求值：，其中．

19．如图，在中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形是正方形．

(1)求证：；

(2)已知的面积为20，，求的长．

20．某学校为了绿化校园环境，计划分两次购进樟树和桂花树两种树苗，第一次购进樟树苗20棵，桂花树苗10棵，共花费3000元；第二次购进樟树苗24棵，桂花树苗8棵，共花费2800元．（两次购进的两种树苗各自的单价均不变）

(1)两种树苗的单价分别是多少元？

(2)学校准备再次购进两种树苗共40棵，但总费用不超过3800元，且购买樟树苗的数量不超过桂花树苗数量的3倍．问：共有哪几种购买方案？至少要用多少钱？

21．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：

(1)共有　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是　度；

(2)补全调查结果条形统计图；

(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

22．使方程（组）与不等式（组）同时成立的末知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．

例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0，当x＝2时，2x﹣3＝2×2﹣3＝1，x+3＝2+3＝5＞0同时成立，则称x＝2是方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0的“理想解”．

（1）已知①，②2（x+3）＜4，③＜3，试判断方程2x+3＝1的解是否是它们中某个不等式的“理想解”，写出过程；

（2）若是方程x﹣2y＝4与不等式的“理想解”，求x0+2y0的取值范围．

23．已知，如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，点D为的延长线上一点，且．

(1)求证：是的切线；

(2)连接，求证：；

(3)若的半径为10，，求的长．

24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，抛物线经过点、，是线段的中点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点是抛物线上的动点，当时，求点的横坐标；

(3)在抛物线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．

(4)抛物线上（下方）是否存在点，使得？若存在，求出点到轴的距离，若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．C

【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．

【详解】解：的倒数是，

故选：C．

【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．

2．D

【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．

【详解】98亿．

故选：D．

【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．

3．D

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别判断选项即可得出答案．

【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查轴对称图形以及中心对称图形的判断，熟练掌握两种特殊图形的概念是解题关键，做题时注意看清楚题目要选的是哪种图形.

4．B

【分析】分别根据整式的运算以及完全平方公式逐一判断即可．

【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；

B．，故本选项符合题意；

C．，故本选项不合题意；

D．，故本选项符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了整式的运算、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握整式的运算法则、完全平方公式和平方差公式．

5．A

【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．

【详解】解：A、球的主视图、左视图和俯视图都是圆形，故本选项正确；

B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项错误；

C、圆柱主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项错误；

D、三棱柱的主视图是矩形，左视图是三角形，故本选项错误．

故选：A．

【点睛】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．

6．C

【分析】根据垂直的定义得出，根据平行线的性质即可求解．

【详解】解：∵，

∴

∴

∵，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．

7．A

【分析】个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，样本容量则是指样本中个体的数目，据此进行逐一判断即可．

【详解】A. 本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生的视力状况，故此项错误；

B.由于是从九年级学生中随机抽查了500名学生的视力状况，所以是抽样调查，故此项正确；

C.由样本的定义得，此项正确；

D.由样本容量的定义可得，此项正确．

故选：A．

【点睛】考查了抽样调查、个体、样本容量的定义，理解定义是解题的关键．

8．B

【分析】由图可知，根据旋转角，是绕点逆时针旋转得到，进行判断即可．

【详解】解：由图可知，旋转角，是绕点逆时针旋转得到，

∴旋转的方向和旋转的角度可能为：逆时针旋转，

故选：B．

【点睛】本题考查了旋转中心，旋转角，旋转方向．解题的关键在于对知识的熟练掌握以及数形结合．

9．C

【分析】点P到、的距离相等，说明点P在的角平分线上，作出角平分线即可得到答案．

【详解】解：∵需要在边上确定一点P，使点P到、的距离相等，

∴点P是的平分线与的交点，

故选：C．

【点睛】本题考查尺规作角的平分线，懂得把问题转化成角平分线的问题是解题关键．

10．D

【分析】联立，解得，，则，，如图，作关于轴的对称点，则，连接，连接与轴交点为，连接，由，可知当三点共线时，取得最小值，待定系数法求直线的解析式为，当，，即，根据，计算求解即可．

【详解】解：联立，解得，，

∴，，

如图，作关于轴的对称点，则，连接，连接与轴交点为，连接，

由，可知当三点共线时，取得最小值，

设直线的解析式为，

将代入得，，解得，

∴，

当，，

∴，

∴

，

故选：D．

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，轴对称的性质，一次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

11．

【分析】根据提公因式法解答即可．

【详解】解：

故答案为：

【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题型，熟练掌握提公因式的方法是解此题的关键．

12．3

【分析】先根据平均数是3，求出a的值，然后根据中位数的定义求出结果即可．

【详解】解：根据题意，1，2，5，3，a的平均数是3，

，

解得，，

将这组数据从小到大排列为：1，2，3，4，5，

最中间的数是3，则这组数据的中位数是3．

故答案为：3．

【点睛】本题主要考查了平均数和中位数，解题的关键是根据平均数的定义求出，并熟练掌握中位数的定义．

13．且

【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件列出不等式组，求解即可．

【详解】解：根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件可得，

解得且，

故答案为：且．

【点睛】本题考查求函数自变量的范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决问题的关键．

14．6

【分析】由DE∥BC可得出∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，

再利用相似三角形的性质可得出，代入即可求出BC的长．

【详解】解：∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，

∴△ADE∽△ABC，

∴，即，

∴BC=6．

故答案为6．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质.

15．

【详解】试题分析：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．∴∠A=∠BCD．∴tan∠BCD=tan∠A=．故答案为．

考点：解直角三角形．

16．

【分析】由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表达式中得：，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．

【详解】∵p=5，c=4，

∴a+b=2p-c=6

∴

由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：

设，当取得最大值时，S也取得最大值

∵

∴当a=3时，取得最大值4

∴S的最大值为

故答案为：

【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．

17．

【分析】根据题意利用特殊角的三角函数值和零、负指数幂的性质以及去绝对值的方法进行化简运算即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查含特殊三角函数值的实数运算，熟练掌握利用特殊角的三角函数值和零、负指数幂的性质以及去绝对值的方法进行化简是解题的关键．

18．

【分析】先做括号内的减法，确定最简公分母进行通分，做除法时把除法运算转化为乘法运算，做乘法运算时，要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分，最后代值进行化简计算即可．

【详解】解：原式

；

当时，

原式

．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．

19．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，，再根据正方形的性质，可得，再根据“角角边”，即可解答．

（2）根据平行四边形的面积，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出，再根据全等三角形的性质，即可解答．

【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，

，，

四边形是正方形，

，

，

在与中，

，

．

（2）解：的面积为20，，，

，

四边形是正方形，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，内容覆盖面广，熟练运用相关性质是解题的关键．

20．(1)樟树苗的单价为50元/棵；桂花树苗的单价为200元/棵

(2)共有3种购买方案：方案一，购买28棵樟树苗、12棵桂花树苗；方案二，购买29棵樟树苗、11棵桂花树苗；方案三，购买30棵樟树苗、10棵桂花树苗．至少要用3500元

【分析】（1）设樟树苗的单价为元/棵；桂花树苗的单价为元/棵，根据题意列出二元一次方程组求解即可；

（2）设购进樟树苗棵，则购进桂花树苗棵，根据题意列出不等式组求解即可．

【详解】（1）解：设樟树苗的单价为元/棵；桂花树苗的单价为元/棵．

则：，

解得：．

答：樟树苗的单价为50元/棵；桂花树苗的单价为200元/棵．

（2）设购进樟树苗棵，则购进桂花树苗棵．

由题意：

解得：

所以，共有3种购买方案：

方案一，购买28棵樟树苗、12棵桂花树苗；

方案二，购买29棵樟树苗、11棵桂花树苗；

方案三，购买30棵樟树苗、10棵桂花树苗．至少要用3500元．

【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，掌握实际问题中的数量关系是解题关键．

21．(1)120，99

(2)见解析

(3)

【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；

（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；

（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．

【详解】（1）解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名），

则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，

故答案为：120，99；

（2）解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名），

则选修“园艺”的学生人数为：（名），

补全条形统计图如下：

（3）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，

画树状图如下：

共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，

小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．

【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

22．（1）2x+3＝1的解是不等式＜3的理想解，过程见解析；（2）2＜x0+2y0＜8

【分析】（1）解方程2x+3＝1的解为x＝﹣1，分别代入三个不等式检验即可得到答案；

（2）由方程x﹣2y＝4得x0＝2y0+4，代入不等式解得﹣＜y0＜1，再结合x0＝2y0+4，通过计算即可得到答案．

【详解】（1）∵2x+3＝1

∴x＝﹣1，

∵x﹣＝﹣1﹣＝﹣＜

∴方程2x+3＝1的解不是不等式的理想解；

∵2（x+3）＝2（﹣1+3）＝4，

∴2x+3＝1的解不是不等式2（x+3）＜4的理想解；

∵＝＝﹣1＜3，

∴2x+3＝1的解是不等式＜3的理想解；

（2）由方程x﹣2y＝4得x0＝2y0+4，代入不等式组，得；

∴﹣＜y0＜1，

∴﹣2＜4y0＜4，

∵

∴2＜x0+2y0＜8．

【点睛】本题考查了一元一次不等式、一元一次方程、代数式、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式、代数式的性质，从而完成求解．

23．(1)见解析

(2)见解析

(3)15

【分析】（1）先由圆周角定理和已知条件说明，再证，进而证得即可证明结论；

（2）如图：连接，由垂径定理得出得出、，再由公共角可得，由相似三角形的性质可得即可得出结论；

（3）如图：连接，由圆周角定理得出，由三角函数求出，再根据勾股定理求出，得出，由（2）的结论求出，然后根据勾股定理求出即可．

【详解】（1）解：，，

，

，

，

，

，即，

，

是的半径，

是的切线；

（2）解：如图：连接，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

∵

∴；

（3）解：如图：连接BE，

∵是⊙O的直径，

∴，

∵⊙O的半径为10，

∴AB=20，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系定理，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造三角形相似成为解答本题的关键．

24．(1)抛物线解析式为

(2)点横坐标为或

(3)存在，

(4)存在，到轴的距离为

【分析】（1），，把，两点坐标代入即可求解；

（2）过点作的平行线交抛物线左侧于点，可求直线的解析式为，

，即可求解；作关于轴对称的直线交抛物线左侧于点，同理可求；

（3）设，由，即可求解；

（4）过点作于点，延长至点，使得，连接，并延长交抛物线于点，作轴于，可求， ，可证，可求，从而可求，过作轴，交轴于，可求，直线解析式为，即可求解．

【详解】（1）解：当时，；

当时，，

解得：；

，，

把，两点坐标代入得，

解得：，

∴抛物线解析式为．

（2）解：如图，过点作的平行线交抛物线左侧于点，此时

是的中点，

，

设直线的解析式为，

，

解得：，

直线的解析式为，

令，

整理得：，

解得：，（舍去），

作关于轴对称的直线交抛物线左侧于点，此时

同理可求直线的解析式：，

令，

整理得：

解得：，（舍去），

∴点横坐标为或．

（3）解：存在，理由如下：

设，

又∵，，

∴，

，

，

，

，

即：

整理得：，

解得：，（舍去），

∴．

（4）解：存在，

如图，过点作于点，延长至点，使得，连接，并延长交抛物线于点，作轴于．

，，

，，

，，

，

又，

，

，

，

，

，

，

，

，  

，

，

∴，

，

，

过作轴，交轴于，

，

，

，

，

，，  

，

设直线解析式为，则有

，

解得： ，

直线解析式为，

令，

整理得：，

解得：，（舍去），

∴到轴的距离为．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握求法，判定方法及性质是解题的关键．