2023年湖南省永州市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年湖南省永州市中考数学试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1．（4分）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“﹣30”表示（　　）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食
C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
2．（4分）企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美．下列企业标志图为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）下列多边形中，内角和等于360°的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（4分）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为 x＝1，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
5．（4分）下列各式计算结果正确的是（　　）
A．3x+2x＝5x2 B． C．（2x）2＝2x2 D．
6．（4分）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7
8．（4分）今年2月，某班准备从《在希望的田野上》、《我和我的祖国》、《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（　　）
A． B． C． D．1
9．（4分）已知点M（2，a）在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的定长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E，则下列结论不正确的是（　　）

A．BC＝BE B．CD＝DE
C．BD＝AD D．BD一定经过△ABC的内心
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．（4分）﹣0.5，3，﹣2三个数中最小的数为 　 　．
12．（4分）2a2与4ab的公因式为 　 　．
13．（4分）已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x值是 　 　．
14．（4分）甲、乙两队学生参加学校拉拉队选拔，两队队员的平均身高均为1.72m，甲队队员的身高的方差为1.2，乙队队员身高的方差为5.6．若要求拉拉队身高比较整齐，应选择 　 　队较好．
15．（4分）如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80，则∠D＝　 　度．

16．（4分）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 　 　．
17．（4分）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 　 　度．
18．（4分）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为 　 　cm．

三、解答题（本大题共8个小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解关于x的不等式组：．
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2．
21．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5．
（1）△AOB是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．

22．（10分）今年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防溺水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有18360名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了n名学生的成绩x（成绩均为整数，满分为100分）分成四个组：1组（60≤x＜70）、2组（70≤x＜80）、3组（80≤x＜90）、4组（90≤x≤100），并绘制如图所示频数分布图．

（1）n＝　 　；所抽取的n名学生成绩的中位数在第 　 　组；
（2）若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率为 　 　；
（3）试估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数．
23．（10分）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国举命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．

24．（10分）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
时间t
（单位：分钟）
1
2
3
4
5
…
总水量y
（单位：毫升）
7
12
17
22
27
…
（1）探究：根据上表中的数据，请判断和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
25．（12分）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；
（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．

26．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），
顶点坐标为（2，9），点P（x1，y1）为抛物线上的动点，PH⊥x轴于H，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线OP：交BF于点G，求的最大值；
（3）如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E，BC交FM的延长线于C，且BC⊥BE，PH＝FC，求点P的横坐标．


2023年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1．（4分）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“﹣30”表示（　　）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食
C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
【分析】根据正数和负数的含义求解即可．
【解答】解：“﹣30”表示运出30吨粮食，
故选：A．
【点评】本题考查了正数和负数，数字常识，熟练掌握正数和负数的含义是解题的关键．
2．（4分）企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美．下列企业标志图为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（4分）下列多边形中，内角和等于360°的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形内角和，四边形的内角和与多边形内角和将各图形的内角和计算后进行判断即可．
【解答】解：A．三角形的内角和为180°，
则A不符合题意；
B．四边形的内角和为360°，
则B符合题意；
C．五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
则C不符合题意；
D．六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．（4分）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为 x＝1，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【分析】根据方程的解的定义把x＝1代入方程即可求出m的值．
【解答】解：∵x＝1是关于x的一元一次方程2x+m＝5的解，
∴2×1+m＝5，
∴m＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
5．（4分）下列各式计算结果正确的是（　　）
A．3x+2x＝5x2 B． C．（2x）2＝2x2 D．
【分析】分别利用合并同类项法则，算术平方根的意义，积的乘方法则和负指数幂的意义对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：∵3x+2x＝5x≠5x2，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵（2x）2＝4x2≠2x2，
∴选项C不符合题意；
∵，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，算术平方根的意义，积的乘方法则和负指数幂的意义，掌握这些法则和意义是解决问题的关键．
6．（4分）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面和左面看所得到的图形，得出主视图和左视图均是三角形的即可．
【解答】解：A、主视图和左视图都为矩形的，所以A选项不符合题意；
B、主视图和左视图都为矩形的，所以B选项不符合题意；
C、主视图为矩形，左视图为圆，所以C选项不符合题意；
D、主视图和左视图均为等腰三角形，所以D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．记住常见的几何体的三视图．
7．（4分）某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7
【分析】利用2022年间每年人均可支配收入＝2020年间每年人均可支配收入×（1+每年人均可支配收入的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得2.36（1+x）2＝2.7．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（4分）今年2月，某班准备从《在希望的田野上》、《我和我的祖国》、《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【分析】列出表格，得出所有等可能的结果共有6种，其中恰好选中前面两首歌曲的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：设A《在希望的田野上》、B《我和我的祖国》、C《十送红军》．
列表如下：
歌曲
A
B
C
A

（A，B）
（A，C）
B
（B，A）

（B，C）
C
（C，A）
（C，B）

由上表可知，所有可能结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，其中恰好选中前面两首歌曲的结果有2种，
则恰好选中前面两首歌曲的概率为＝．
故选：B．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（4分）已知点M（2，a）在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】把点（2，a）代入反比例函数解析式，可得a＝，由k＞0可知a＞0，可得点M一定在第一象限．
【解答】解：∵点M（2，a）在反比例函数的图象上，
∴a＝，
∴k＞0，
∴a＞0，
∴点M一定在第一象限．
故选：A．
方法二：
∵反比例函数中，k＞0，
∴图象的两个分支在一、三象限，
∵点M（2，a）在反比例函数的图象上，
∴点M一定在第一象限．
故选：A．
【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于0，图象的两个分支在一、三象限；关键是得到反比例函数的比例系数的符号．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的定长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E，则下列结论不正确的是（　　）

A．BC＝BE B．CD＝DE
C．BD＝AD D．BD一定经过△ABC的内心
【分析】由作图知，BD平分∠ABC，根据角平分线的性质得到CD＝DE，BD一定经过△ABC的内心，故B不符合题意，故D不符合题意；根据全等三角形的性质得到BC＝BE，故A不符合题意；无法证明BD＝AD，故C符合题意．
【解答】解：由作图知，BD平分∠ABC，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE，BD一定经过△ABC的内心，故B不符合题意，故D不符合题意；
在Rt△BCD与Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC＝BE，故A不符合题意；无法证明BD＝AD，故C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．（4分）﹣0.5，3，﹣2三个数中最小的数为 　﹣2　．
【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小求解即可．
【解答】解：﹣2＜﹣0.5＜3，
∴最小的数是﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了有理数大小比较，熟练掌握有理数大小比较的法则是解题的关键．
12．（4分）2a2与4ab的公因式为 　2a　．
【分析】根据公因式的定义解答即可．
【解答】解：2a2与4ab的公因式是2a．
故答案为：2a．
【点评】本题考查了公因式，能熟记公因式的定义是解此题的关键．
13．（4分）已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x值是 　1（答案也可以是2）　．
【分析】根据二次根式没有意义即被开方数小于0求解即可．
【解答】解：要使在实数范围内没有意义，
则x﹣3＜0，
∴x＜3，
∵x为正整数，
∴x的值是1（答案也可以是2）．
故答案为：1（答案也可以是2）．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，则a≥0，若没有意义，则a＜0．本题较简单，属于基础题．
14．（4分）甲、乙两队学生参加学校拉拉队选拔，两队队员的平均身高均为1.72m，甲队队员的身高的方差为1.2，乙队队员身高的方差为5.6．若要求拉拉队身高比较整齐，应选择 　甲　队较好．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝1.2，S乙2＝5.6，
∴S甲2＜S乙2，
∴若要求拉拉队身高比较整齐，应选择甲队较好．
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
15．（4分）如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80，则∠D＝　100　度．

【分析】首先由AB∥CD得出∠BCD＝∠B＝80°，再由BC∥ED得出∠D+∠BCD＝180°，据此可得出此题的答案．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝80，
∴∠BCD＝∠B＝80°，
∵BC∥ED，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴∠D＝100°．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
16．（4分）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 　x＝4　．
【分析】根据关于x的分式方程（m为常数）有增根，可知x﹣4＝0，进一步计算即可．
【解答】解：∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴x﹣4＝0，
∴x＝4，
故答案为：x＝4．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
17．（4分）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 　60　度．
【分析】设扇形圆心角的度数为n°，根据扇形面积公式列方程并解方程即可．
【解答】解：设扇形圆心角的度数为n°，
则＝6π，
解得：n＝60，
即扇形圆心角的度数为60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查扇形的面积公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18．（4分）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为 　16　cm．

【分析】过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，由垂径定理可得AC＝BC，然后在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC的长，即可得出AB的长．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，
∴，
由题意知，OA＝10cm，CD＝4cm，
∴OC＝6cm，
在Rt△AOC中，cm，
∴AB＝2AC＝16cm，
故答案为：16．

【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，同时需熟练掌握勾股定理．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解关于x的不等式组：．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【解答】解：解不等式2x﹣2＞0得，x＞1，
解不等式3（x﹣1）﹣7＜﹣2x得，x＜2，
所以不等式组的解集为1＜x＜2．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2．
【分析】先把括号里面进行通分，再把除法化为乘法，进行约分，最后代入求值．
【解答】解：（1﹣）÷
＝•
＝•
＝x+1，
当x＝2时，
原式＝2+1＝3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5．
（1）△AOB是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．

【分析】（1）由平行四边形的性质得OB＝4，再证OA2+OB2＝AB2，然后由勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）由∠AOB＝90°得AC⊥BD，再由菱形的判定定理即可得出结论．
【解答】（1）解：△AOB是直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，
∴OB＝OD＝BD＝4，
∵OA＝3，OB＝4，AB＝5，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°；
（2）证明：由（1）可知，∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判定，由勾股定理的逆定理证出△AOB为直角三角形是解题的关键．
22．（10分）今年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防溺水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有18360名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了n名学生的成绩x（成绩均为整数，满分为100分）分成四个组：1组（60≤x＜70）、2组（70≤x＜80）、3组（80≤x＜90）、4组（90≤x≤100），并绘制如图所示频数分布图．

（1）n＝　600　；所抽取的n名学生成绩的中位数在第 　3　组；
（2）若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率为 　0.25　；
（3）试估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数．
【分析】（1）用四组的频数相加可得n的值，再根据中位数的定义解答即可；
（2）根据“频率＝频数÷总数”解答即可；
（3）用18360乘样本中成绩大于或等于70分的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）由题意得，n＝90+160+200+150＝600，
所抽取的n名学生成绩的中位数在第3组．
故答案为：600；3；
（2）若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率为＝0.25．
故答案为：0.25；
（3）18360×＝15606（名），
答：估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数约15606名．
【点评】本题考查频数分布直方图，样本估计总体的思想，中位数等知识，解决此题的关键是明确“频率＝频数÷总数”．
23．（10分）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国举命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．

【分析】根据题意可得：AB⊥BN，AH⊥HN，BH＝CD＝MN＝0.9米，AB＝2.9米，CM＝DN，从而可得AH＝2米，然后在Rt△AHC中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，再在Rt△AHM中，利用锐角三角函数的定义求出HM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AB⊥BN，AH⊥HN，BH＝CD＝MN＝0.9米，AB＝2.9米，CM＝DN，
∴AH＝AB﹣BH＝2.9﹣0.9＝2（米），
在Rt△AHC中，∠ACH＝45°，
∴CH＝＝2（米），
在Rt△AHM中，∠AMH＝30°，
∴HM＝＝＝2（米），
∴CM＝HM﹣HC＝2﹣2≈1.5（米），
∴DN＝CM＝1.5米，
∴D、N两点间的距离约为1.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（10分）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
时间t
（单位：分钟）
1
2
3
4
5
…
总水量y
（单位：毫升）
7
12
17
22
27
…
（1）探究：根据上表中的数据，请判断和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
【分析】（1）根据上表中的数据，可知y与t成一次函数关系，根据点的坐标利用待定系数法即可求出该函数关系式；
（2）①当t＝20时，求出y的值即可；
②当t＝24×60＝1440分钟时，求出y的值，即可求出答案．
【解答】解：（1）根据上表中的数据，y＝kt+b（k，b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系，
∵当t＝1时，y＝7，当t＝2时，y＝12，
∴，
∴，
∴y＝5t+2；
（2）①当t＝20时，y＝100+2＝102，
即估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升；
②当t＝24×60＝1440分钟时，y＝5×1440+2＝7202（毫升），
当t＝0时，y＝2，
∴＝144（天），
答：估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
25．（12分）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；
（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．

【分析】（1）由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，故∠BAC+∠ABC＝90°，由∠BAC＝∠BDA得∠BDA+∠ABC＝90°，有∠BAD＝90°，即可得证；
（2）证明△ACB∽△DCA，则 ，可得 ，解得BC＝2 或BC＝3，由AC＞CD即可得到BC的长；
（3）先证明△ABC∽△DAC，则 ，得到AC•AD＝CD•AB，由 DE•AM＝AC•AD得到DE•AM＝CD•AB，故 ，由同角的余角相等得∠BAM＝∠CDE，有△AMBB∽△DCE，得∠E＝∠ABM，进一步得到∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，则∠BNG＝90°，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝∠BDA，
∴∠BDA+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DCA＝90°，
∴△ACB∽△DCA，
∴，
∴，
解得BC＝2或BC＝3，
当BC＝2时，CD＝BD﹣BC＝3，
当BC＝3时，CD＝BD﹣BC＝2，
∵AC＞CD，即＞CD，
∴BC＝3；
（3）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠DCA＝90°，
∵∠BAC＝∠BDA，
∴△ABC∽△DAC，
∴，
∴AC•AD＝CD•AB，
∵DE•AM＝AC•AD，
∴DE．AM＝CD•AB，
∴，
∵∠BAM+∠CAD＝∠CDE+∠CAD＝90°，
∴∠BAM＝∠CDE，
∴△AMB∽△DCE，
∴∠E＝∠ABM，
∵∠EGA＝∠BGN，
∴∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，
∴∠BNG＝90°，
∴BM⊥CE．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），
顶点坐标为（2，9），点P（x1，y1）为抛物线上的动点，PH⊥x轴于H，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线OP：交BF于点G，求的最大值；
（3）如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E，BC交FM的延长线于C，且BC⊥BE，PH＝FC，求点P的横坐标．

【分析】（1）由顶点式坐标公式和待定系数法分别求出a，b，c值，即可求出抛物线解析式；
（2）利用抛物线的解析式可得B的坐标，求出直线BF的解析式，设G（m，﹣m+5），根据直线OP的解析式 得 ，用 x1，y1 表达GT长度，根据＝＝1，将GT和PH长度代入，可将面积比转化成二次函数的形式，根据P横坐标取值范围和此二次函数的图象性质即可求出 的最大值；
（3）根据正方形的性质和FC＝PH可求出PT＝MC，再利用△EOB∽△CMB相似和OB＝MB可推出OE＝MC，设E（0，a），可求出直线AP的解析式，用a表达P点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，解方程可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），顶点坐标为（2，9），
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过点G作GT⊥x轴于点T，如图所示，

在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得0＝﹣x2+4x+5，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∵F（0，5），
∴BO＝FO＝5，
设直线BF的解析式为：y＝kx+5，
∴y＝5k+5，
解得k＝﹣1，
∴直线BF的解析式为y＝﹣x+5，
由G在直线BF上，设G（m，﹣m+5），
∵G在直线OP上，直线OP为，
∴﹣m+5＝m，
∴，
∴，
由P（x1，y1） 在抛物线 y＝﹣x2+4x+5上，知P（x1，﹣+4x1+5），
∴，
∵S△BPG＝S△BPO﹣S△BOG，
∴＝＝﹣1＝﹣1＝﹣1，
∵＝＝，
∴＝﹣1＝﹣1＝﹣1＝﹣（x1﹣）2+，
∵，，
∴当 时，取最大值，最大值为；
（3）设MF交PH于T，如图：

∵OBFM为正方形，F（0，5），
∴FM＝BM＝OF＝BO＝5，∠MBO＝90°，FC∥OB，
∵PH⊥x，∠MBO＝90°，FC∥OB，
∴MTBH为矩形，
∴TH＝MB＝FM＝5，
∵PH＝FC，
∴PT＝MC，
∵BC⊥BE，
∴∠MBC+∠MBE＝90°，
∵∠MBO＝90°，
∴∠OBE+∠MBE＝90°，
∴∠OBE＝∠MBC，
∴∠CMB＝∠EOB＝90°，
∴△EOB∽△CMB，
∴，
∵OB＝MB，
∴EO＝MC，
∵PH＝FC，
∴PT＝MC，
∴EO＝MC＝PT，
设 EO＝MC＝PT＝a，
∴PH＝PT+TH＝5+a，E（0，a），
∵A（﹣1，0），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
则，
∴，
∴直线AP的解析式为y＝ax+a，
∵PH＝a+5，P在直线AP上，
∴a+5＝ax+a，
∴，即P点横坐标为 ，
∴x1＝，y1＝a+5，
∴a＝，y1＝+5
∴+5＝﹣+4x1+5，
∴﹣4+5＝0，
∴（x1+1）（﹣5x1+5）＝0，
解得x1＝1或x1＝或x1＝，
∵x1≥，
∴x1＝，
∴点P的横坐标为．
【点评】本题考查的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合．
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