2023年湖南省怀化市中考数学试卷(含答案解析)

这是一份2023年湖南省怀化市中考数学试卷(含答案解析)，共18页。试卷主要包含了 下列四个实数中，最小的数是， 下列计算正确的是，6B， 下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省怀化市中考数学试卷
1. 下列四个实数中，最小的数是(    )
A. −5 B. 0 C. 12 D. 2
2. 2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环(EAST)装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录.数据122254用科学记数法表示为(    )
A. 12.2254×104 B. 1.22254×104 C. 1.22254×105 D. 0.122254×106
3. 下列计算正确的是(    )
A. a2⋅a3=a5 B. a6÷a2=a3 C. (ab3)2=a2b9 D. 5a−2a=3
4. 剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀(或刻刀)为工具进行创作的艺术.民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案.下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐标系中，点P(2,−3)关于x轴对称的点P′的坐标是(    )
A. (−2,−3) B. (−2,3) C. (2,−3) D. (2,3)
6. 如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=60∘，则∠2的度数为(    )
A. 30∘
B. 60∘
C. 100∘
D. 120∘
7. 某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4.关于这组数据，下列说法正确的是(    )
A. 众数是9.6 B. 中位数是9.5 C. 平均数是9.4 D. 方差是0.3
8. 下列说法错误的是(    )
A. 成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B. 一元二次方程x2+x+3=0有两个相等的实数根
C. 任意多边形的外角和等于360∘
D. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
9. 已知压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下关系式：F=pS.当F为定值时，如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是(    )
A. B.
C. D.
10. 如图，反比例函数y=kx(k>0)的图象与过点(−1,0)的直线AB相交于A、B两点.已知点A的坐标为(1,3)，点C为x轴上任意一点.如果S△ABC=9，那么点C的坐标为(    )
A. (−3,0)
B. (5,0)
C. (−3,0)或(5,0)
D. (3,0)或(−5,0)
11. 要使代数式 x−9有意义，则x的取值范围是______ .
12. 分解因式：2x2−4x+2=__________.
13. 已知关于x的一元二次方程x2+mx−2=0的一个根为−1，则m的值为______ ，另一个根为______ .
14. 定义新运算：(a,b)⋅(c,d)=ac+bd，其中a，b，c，d为实数.例如：(1,2)⋅(3,4)=1×3+2×4=11.如果(2x,3)⋅(3,−1)=3，那么x=______ .
15. 如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE=3.则点P到直线AB的距离为______ .


16. 在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为(1,0).把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60∘，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60∘，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，….依次类推，得到△A2033OB2033，则△A2023OB2033的边长为______ ，点A2023的坐标为______ .
17. 计算：|−2|+(13)−1− 9+(sin45∘−1)0−(−1).
18. 先化简(1+3a−1)÷a2−4a−1，再从−1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值.
19. 如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F.
(1)证明：△BOF≌△DOE；
(2)连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形.

20. 为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈.大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD(碑顶到水平地面的距离)，于是师生组成综合实践小组进行测量.他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30∘，在B点处测得碑顶D的仰角为60∘，已知AB=35m，测角仪的高度是1.5m(A、B、C在同一直线上)，根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD.( 3≈1.732,结果保留一位小数)


21. 近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注.某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查.根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图.请根据图中信息解答下列问题：

(1)所抽取的学生人数为______ ；
(2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；
(3)该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数.
22. 如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点.连接PC、AC、OC，且PC=PA.
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD⋅OC=PA⋅OD；
(3)若∠CAB=30∘，OD=8，求阴影部分的面积.

23. 某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满.
(1)求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
(2)若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
(3)在(2)的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
24. 如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−8与x轴交于A(−4,0)、B(2,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)设直线l1：y=kx+k−354交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y=−374上总存在一点E，使得∠MEN为直角.
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：∵1<2，
∴ 1< 2，
即1< 2，
则12< 2，
那么−5<0<12< 2，
则最小的数为：−5，
故选：A.
正数>0>负数；一个正数越大，其算术平方根越大；据此进行判断即可．
本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

2.【答案】C 
【解析】解：122254=1.22254×105，
故选：C.
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．

3.【答案】A 
【解析】解：A.a2⋅a3=a5，故此选项符合题意；
B.a6÷a2=a4，故此选项不合题意；
C.(ab3)2=a2b6，故此选项不合题意；
D.5a−2a=3a，故此选项不合题意．
故选：A.
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则，分别判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4.【答案】C 
【解析】解：A.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
D.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C.
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

5.【答案】D 
【解析】解：点P(2,−3)关于x轴对称的点P′的坐标是(2,3).
故选：D.
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,−y)，进而得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题关键．

6.【答案】B 
【解析】解：如图，

∵平移直线AB至CD，
∴AB//CD，
∴∠BMF=∠2，
∵∠BMF=∠1=60∘，
∴∠2=60∘.
故选：B.
根据平移直线AB至CD，可得AB//CD，所以∠BMF=∠2，根据对顶角相等得∠BMF=∠1=60∘，所以∠2=60∘.
本题考查了平移的性质和平行线的性质，解决本题的关键是掌握平移的性质和平行线的性质．

7.【答案】A 
【解析】解：在这组数据中，9.6出现的次数最多，故众数是9.6，故选项A符合题意；
把这组数据从小到大排列，排在中间的数是9.5，故中位数是9.5，故选项B不符合题意；
平均数是9.6+9.2+9.6+9.7+9.45=9.5，故选项C不符合题意；
方差是：15×[2×(9.6−9.5)2+(9.2−9.5)2+(9.7−9.5)2+(9.4−9.5)2]=0.032，故选项D不符合题意．
故选：A.
根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．
本题考查的是算术平均数，方差，中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

8.【答案】B 
【解析】解：成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故选项A正确，不符合题意；
∵一元二次方程x2+x+3=0，
∴Δ=12−4×1×3=−11<0，
∴一元二次方程x2+x+3=0无实数根，故选项B错误，符合题意；
任意多边形的外角和等于360∘，故选项C正确，不符合题意；
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故选项D正确，不符合题意；
故选：B.
根据随机事件的定义可以判断A；根据根的判别式可以判断B；根据任意多边形的外角和都是360∘可以判断C；根据三角形重心的定义可以判断D.
本题考查三角形的重心、根的判别式、三角形的重心、随机事件，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．

9.【答案】D 
【解析】解：∵压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下关系式：F=pS.
∴当F为定值时，压强p与受力面积S之间函数关系是反比例函数，
故选：D.
根据函数的解析式判断函数的图形即可．
此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象．

10.【答案】D 
【解析】解：把点A(1,3)代入y=kx(k>0)得，3=k1，
∴k=3，
∴反比例函数为y=3x，
设直线AB为y=ax+b，
代入点D(−1,0)，A(1,3)得−a+b=0a+b=3，
解得a=32b=32，
∴直线AB为y=32x+32，
解y=3xy=32x+32，得x=1y=3或x=−2y=−32，
∴B(−2,−32)，
∵S△ABC=9，
∴S△ACD+S△BCD=12CD⋅(3+32)=9，
∴CD=4，
∴点C的坐标为(−5,0)或(3,0).
故选：D.
利用待定系数法求得两函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据S△ACD+S△BCD=S△ABC=9，求得CD的长度，进而即可求得点C的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点的求法，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

11.【答案】x≥9 
【解析】解：∵代数式 x−9有意义，
∴x−9≥0，
∴x≥9，
故答案为：x≥9.
根据代数式 x−9有意义，可得x−9≥0，进一步求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

12.【答案】2(x−1)2 
【解析】解：2x2−4x+2，
=2(x2−2x+1)，
=2(x−1)2.
先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．

13.【答案】−12 
【解析】解：将x=−1代入原方程可得1−m−2=0，
解得：m=−1，
∵方程的两根之积为ca=−2，
∴方程的另一个根为−2÷(−1)=2.
故答案为：−1，2.
将x=−1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于−2，即可求出方程的另一个根．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．

14.【答案】1 
【解析】解：(2x,3)⋅(3,−1)=3，
6x−3=3，
解得：x=1.
故答案为：1.
直接利用运算公式将原式变形，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确将原式变形是解题关键．

15.【答案】3 
【解析】解：过点P作PF⊥AB于点F，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠D=90∘，
∴∠PAE=45∘，
∴△AEP为等腰直角三角形，AE=PE=3，
∵PE⊥AD，PF⊥AB，
∴∠FAE=∠AEP=∠AFP=90∘，
又∵AE=PE，
∴四边形AFPE为正方形，
∴AE=PF=3，
∴点P到直线AB的距离为3.
故答案为：3.
过点P作PF⊥AB于点F，根据正方形的性质易得△AEP为等腰直角三角形，AE=PE=3，再根据有三个角为直角，且邻边相等的四边形为正方形证明四边形AFPE为正方形，以此即可求解．
本题主要考查正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．

16.【答案】22023  (22022,22022⋅ 3) 
【解析】解：由题意OA=1=2∘，OA1=2=21，OA2=4=22，OA3=8=23，…OAn=2n，
∴△A2023OB2033的边长为22023，
∵2023÷6=372…1，
∴A2023与A1都在第四象限，坐标为(22022,22022⋅ 3).
故答案为：22023，(22022,22022⋅ 3).
利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题．
本题考查相似三角形的性质，规律型-点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．

17.【答案】解：原式=2+3−3+1+1
=4. 
【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．

18.【答案】解：原式=a−1+3a−1⋅a−1(a−2)(a+2)
=a+2a−1⋅a−1(a−2)(a+2)
=1a−2，
当a=1或2时，分式无意义，
故当a=−1时，原式=−13，
当a=0时，原式=−12. 
【解析】直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．

19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EDO=∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴DO=BO，
又∵∠EOD=∠FOB，
∴△BOF≌△DOE(ASA)；
(2)证明：由(1)已证△BOF≌△DOE，
∴BF=DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，即DE//BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形． 
【解析】(1)根据矩形的对边平行得到AD//BC，于是有∠EDO=∠FBO，根据点O是BD的中点得出DO=BO，结合对顶角相等利用ASA可证得△BOF和△DOE全等；
(2)由(1)△BOF≌△DOE可得BF=DE，结合DE//BF，可得四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．

20.【答案】解：由题意得：AM=BN=CE=1.5m，AB=MN=35m，∠DEM=90∘，∠DNE=60∘，∠DME=30∘，
∵∠DNE是△DMN的外角，
∴∠MND=∠DNE−∠DMN=30∘，
∴∠DMN=∠MDN=30∘，
∴DN=MN=35m，
在Rt△DNE中，DE=DN⋅sin60∘=35× 32=35 32(m)，
∴DC=DE+CE=35 32+1.5≈35×1.7322+1.5≈31.8(m).
答：烈士纪念碑的通高CD约为31.8m. 
【解析】根据题意可得AM=BN=CE=1.5m，AB=MN=35m，∠DEM=90∘，∠DNE=60∘，∠DME=30∘，先利用三角形的外角性质可得∠DMN=∠MDN=30∘，从而可得DN=MN=35m，然后在Rt△DNE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，即可得的答案．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

21.【答案】200 
【解析】解：(1)所抽取的学生人数为：90÷45%=200.
故答案为：200；
(2)样本中“中度近视”的人数为：200×15%=30(人)，
“高度近视”的人数为：200−90−70−30=10(人)，
补全条形统计图如下：

扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：360∘×70200=126∘；
(3)3000×70200=1050(人)，
答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数约1050人．
(1)由“视力正常人数及其所占百分比可得总人数；
(2)用(1)的结论乘15%可得“中度近视”的人数，进而得出“高度近视”的人数，再补全条形统计图；用360∘乘“轻度近视”所占比例可得扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；
(3)用3000乘样本中“轻度近视”所占比例可得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

22.【答案】(1)证明：∵AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
即：∠PAO=90∘，
∵点C在⊙O上，
∴OC=OA，
在△POC和△POA中，
OC=OAPC=PAPO=PO，
∴△POC≌△POA(SSS)，
∴∠PCO=∠PAO=90∘，
即：PC⊥OC，
又OC为⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线．
(2)证明：由(1)可知：OC⊥PD，
∴∠DCO=∠DAP=90∘，
又∠ODC=∠PDA，
∴△ODC∽△PDA，
∴OCPA=ODPD，
即：PD⋅OC=PA⋅OD.
(3)解：连接BC，过点C作CE⊥OB于点E，

∵∠CAB=30∘，
∴∠COB=60∘，
又OC=OB，
∴△OCB为等边三角形，
∵CE⊥OB，
∴OE=BE，
设OE=a，显然a≠0，
则OA=OB=OC=2a，
在Rt△OCE中，OE=a，OC=2a，
由勾股定理得：CE= OC2−OE2= 3a，
∵OD=8，
∴DE=OD−OE=8−a，
在Rt△CDE中，CE= 3a，DE=8−a，
由勾股定理得：CD2=CE2+DE2=( 3a)2+(8−a)2，
在Rt△DOC中，OC=2a，OD=8，
由勾股定理得：CD2=OD2−OC2=82−(2a)2，
( 3a)2+(8−a)2=82−(2a)2，
整理得：a2−2a=0，
∵a≠0，
∴a=2，
∴OC=2a=4，CE= 3a=2 3，
∴S△DOC=12OD⋅CE=12×8×2 3=8 3，
又∵S扇形BOC=60π×42360=8π3，
∴S阴影=S△DOC−S扇形BOC=83−8π3. 
【解析】(1)先由切线的性质得∠PAO=90∘，然后依据“SSS”判定△POC和△POA全等，从而得∠PCO=∠PAO=90∘，据此即可得出结论；
(2)由∠DCO=∠DAP=90∘，∠ODC=∠PDA可判定△ODC和△PDA相似，进而根据相似三角形的性质可得出结论；
(3)连接BC，过点C作CE⊥OB于点E，先证△OCB为等边三角形，再设OE=a，则OA=OB=OC=2a，CE= 3a，在Rt△CDE和在Rt△DOC中，由勾股定理得CD2=CE2+DE2=OD2−OC2，由此可求出a的值，进而得⊙O的半径为4，然后根据S阴影=S△DOC−S扇形BOC即可得出答案．
此题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，理解切线垂直于过且点的半径；过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线；难点是在解答(3)时，设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出圆的半径．

23.【答案】解：(1)设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了(45x+30)人，
根据题意得：45x+30=60(x−6)，
解得：x=26，
∴45x+30=45×26+30=1200.
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；
(2)设租用B种客车y辆，则租用A种客车(25−y)辆，
根据题意得：45(25−y)+60y≥1200y≤7，
解得：5≤y≤7，
又∵y为正整数，
∴y可以为5，6，7，
∴该学校共有3种租车方案，
方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；
(3)选择方案1的总租金为300×5+220×20=5900(元)；
选择方案2的总租金为300×6+220×19=5980(元)；
选择方案3的总租金为300×7+220×18=6060(元).
∵5900<5980<6060，
∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算． 
【解析】(1)设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了(45x+30)人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)设租用B种客车y辆，则租用A种客车(25−y)辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的B种客车不超过7辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各租车方案；
(3)利用总租金=每辆A种客车的租金×租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金×租用B种客车的辆数，可分别求出各选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程，(3)根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需总租金．

24.【答案】(1)解：∵抛物线y=ax2+bx−8与x轴交于A(−4,0)、B(2,0)两点，
∴16a−4b−8=04a+2b−8=0，
解得：a=1b=2，
∴抛物线的函数表达式为y=x2+2x−8，
∵y=x2+2x−8=(x+1)2−9，
∴抛物线的顶点坐标为(−1,−9)；
(2)解：∵抛物线y=x2+2x−8与y轴交于点C，
∴C(0,−8)，
设直线AC的解析式为y=mx+n，则−4m+n=0n=−8，
解得：m=−2n=−8，
∴直线AC的解析式为y=−2x−8，
设P(t,t2+2t−8)，
过点P作PF//y轴，交AC于点F，如图，

则F(t,−2t−8)，
∴PF=−2t−8−(t2+2t−8)=−t2−4t，
∴S△PAC=S△PAF+S△PCF=12PF⋅(t+4)+12PF⋅(−t)=2PF=2(−t2−4t)=−2(t+2)2+8，
∵−2<0，
∴当t=−2时，S△PAC的最大值为8，此时点P(−2,−8)；
(3)证明：∵直线l1：y=kx+k−354交抛物线于点M、N，
∴x2+2x−8=kx+k−354，
整理得：x2+(2−k)x+34−k=0，
∴xM+xN=k−2，xMxN=34−k，
∵yM=kxM+k−354，yN=kxN+k−354，
∴yM−yN=k(xM−xN)，
∴MN2=(xM−xN)2+(yM−yN)2=(1+k2)(xM−xN)2=(1+k2)[(xM+xN)2−4xMxN]=(1+k2)[(k−2)2−4(34−k)]=(1+k2)2，
∵设MN的中点为O′，
∴O′(k−22,12k2−354)，
过点O′作O′E⊥直线l2：y=−374，垂足为E，如图，

∴E(k−22,−374)，
∴O′E=12k2−354−(−374)=12(1+k2)，
∴O′E=12MN，
∴以MN为直径的⊙O′一定经过点E，
∴∠MEN=90∘，
∴在直线l2：y=−374上总存在一点E，使得∠MEN为直角． 
【解析】(1)运用待定系数法，将A(−4,0)、B(2,0)代入y=ax2+bx−8，即可求得抛物线的函数表达式，再利用配方法或顶点坐标公式即可求得抛物线的顶点坐标；
(2)运用待定系数法可得直线AC的解析式为y=−2x−8，设P(t,t2+2t−8)，过点P作PF//y轴，交AC于点F，则F(t,−2t−8)，进而可得S△PAC=S△PAF+S△PCF=2(−t2−4t)=−2(t+2)2+8，运用二次函数的性质即可求得答案；
(3)由直线l1：y=kx+k−354交抛物线于点M、N，可得x2+(2−k)x+34−k=0，利用根与系数关系可得xM+xN=k−2，xMxN=34−k，利用两点间距离公式可得MN2=(xM−xN)2+(yM−yN)2=(1+k2)2，设MN的中点为O′，过点O′作O′E⊥直线l2，垂足为E，O′E=12MN，以MN为直径的⊙O′一定经过点E，所以∠MEN=90∘，即证得结论．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系，圆的性质，圆周角定理等，解题关键是证得O′E=12MN，得出以MN为直径的⊙O′一定经过点E.