第1章 一元二次方程 苏科版九年级数学上册单元提升卷（解析版）

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【单元测试】第1章 一元二次方程（提升能力）
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2022·山东济南·九年级期末）若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个解为x＝－1，则另一个解为(       )
A．3 B．1 C．－3 D．4
【答案】A
【分析】直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：设这个方程的另一个解为，
关于的一元二次方程有一个解为，
，
解得，
即方程的另一个解为，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
2．（2022·全国·九年级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（       ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】A、为一元一次方程，不符合题意；B、是分式方程，不是整式方程，不符合题意；C、为一元一次方程，不符合题意；D、为一元二次方程，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解答本题的关键是理解掌握一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．
3．（2022·全国·九年级单元测试）已知-2是关于x的一元二次方程x2-mx+2＝0的一个根，则m的值是（       ）
A．2 B．-2 C．- D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣2代入已知方程列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
【详解】解：根据题意，得
（﹣2）2﹣（﹣2）m+2＝0，即4+2m＝0，
解得，m＝﹣2；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．（2022·山东淄博·九年级期中）方程的解是（       ）．
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】先移项，然后利用提公因式法进行求解方程即可．
【详解】解：


解得：；
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
5．（2022·河南商丘·三模）关于x的方程的根的情况是（       ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据根的判别式的判断方程根的数量即可．
【详解】解：，
故方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的数量，能够熟练应用根的判别式是解决本题的关键．
6．（2022·河北廊坊·九年级期末）如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用长方形的面积计算公式，结合新长方形花坛的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设扩展的宽度为，
依题意，得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（       ）

A．5m B．（5+）m C．（5+3）m D．（5+5）m
【答案】D
【分析】根据等量关系“大圆的面积=2×小圆的面积”可以列出方程．
【详解】解：设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5）m，
根据题意得：π（x+5）2=2πx2，
解得，x=5+5或x=5﹣5（不合题意，舍去）．
故选D．
【点睛】本题考查了圆的面积计算及一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出方程并求解．
8．（2022·甘肃武威·模拟预测）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB－BC向终点C运动．设点P的运动时间为ts，△APC的面积为，图2是点P运动过程中S与t之间函数关系的图象，则AC的长为（       ）


A．10cm B．8cm C．14cm D．12cm
【答案】A
【分析】设AB=xcm，BC=ycm，由题意可得AB+BC=14，，列方程组求出AB、BC的长，再用勾股定理求出AC的长．
【详解】解：设AB=xcm，BC=ycm，
由图1结合图2可得：当点P与点C重合时，t=7，即点P经过的路程为：7×2=14（cm），
∴AB+BC=14，
即x+y=14①，
当点P与点B重合时，△APC的面积最大，为24（cm2），
∴，
即②，
由①②列方程组，
解得或（根据图形，舍去）
所以，
∴（cm），
故选：A
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
9．（2022·江苏·九年级期末）空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（       ）

A．若a＝16，S＝196，则有一种围法 B．若a＝20，S＝198，则有两种围法
C．若a＝24，S＝198，则有两种围法 D．若a＝24，S＝200，则有一种围法
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：采用图1围法，图2围法，设矩形菜园的宽为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案．
【详解】解：设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得：
此时都不符合题意，
采用图2围法，如图，

此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得   
∴
解得： 经检验不符合题意，
综上：若a＝16，S＝196，则没有围法，故A符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得： 经检验符合题意；
采用图2围法，如图，

此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得   
∴
解得： 经检验符合题意，
综上：若a＝20，S＝198，则有两种围法，故B不符合题意；
同理可得：C不符合题意，D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键．
10．（2022·山东枣庄·中考真题）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（　　）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B．y1＝和y2＝x+1
C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1
【答案】B
【分析】根据题意，令y1+y2＝1，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”．
【详解】A、令y1+y2＝1，
则x2+2x﹣x+1＝1，
整理得：x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意；
B、令y1+y2＝1，
则+x+1＝1，
整理得：x2+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故B符合题意；
C、令y1+y2＝1，
则﹣﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故C不符合题意；
D、令y1+y2＝1，
则x2+2x﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令y1+y2＝1，然后进行求解是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
11．（2022·全国·九年级单元测试）已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝________．
【答案】－1
【分析】根据一元二次方程的定义m-1≠0，且，解答即可．
【详解】∵（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，
∴m-1≠0，且，
∴m-1≠0，且，
∴，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
12．（2022·山东泰安·九年级期中）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________．
【答案】2且
【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
2且．
故答案为：2且．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的定义，以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
13．（2022·山东烟台·九年级期末）若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝－3，x2＝5，则b＋c＝________．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，由此可求出的值，再代入计算即可得．
【详解】解：由题意得：，
，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
14．（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程配方为，则k的值是______．
【答案】１
【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解．
【详解】解：



∴
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．
15．（2022·江西吉安·九年级期末）已知a、b是一元二次方程的两个实数根，求的值______．
【答案】
【分析】先根据根与系数的关系得到，将原代数式化为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得到，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，，掌握根与系数关系是解决问题的关键．
16．（2022·山西阳泉·九年级期末）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为____________________________．
【答案】
【分析】第一天为2，根据增长率为x得出第天为2(1 +x)，第三天为2(1 +x)2，根据三天累计为18，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（2022·河北秦皇岛·九年级期末）三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________．
【答案】12
【详解】试题分析：解方程，得，，
∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5=12．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．
18．（2022·山东济南·三模）如图，在一块长22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路宽为______m．

【答案】2
【分析】设小路宽为x m，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路宽为x m，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，
依题意得：(22-x)(14-x)=240，
整理得：x2-36x+68=0，
解得：x1=2，x2=34（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）
19．（2022·河南南阳·九年级期中）用适当的方法解下列方程：
(1)4（1﹣3x）2﹣1＝0；
(2)x2+2x﹣399＝0；
(3)3x（x﹣3）＝2（x﹣1）（x+1）．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）用直接开平方解方程即可；
（2）用配方法解方程即可；
（3）先将方程化为一般形式，再用求根公式法解方程即可．
【详解】（1）解：
原方程可化为
直接开平方，得
∴
（2）
移项，得
即
直接开平方，得
∴；
（3）
整理，得
∵
∴，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握直接开平方法，配方法，求根公式法，因式分解法解一元二次方程是解题关键．
20．（2022·山东烟台·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m﹣1＝0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)设方程的两个根为x1，x2，且，求．
【答案】(1)见解析；(2)4或16
【分析】（1）通过证根的判别式△≥0即可得出结论；
（2）通过两根之积与两根之和的关系将x12+x22=10通过配方得，代入即可得10，求解得出m值，然后由=，最后把m值代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m＋4＝（m﹣2）2≥0，
∴一元二次方程总有两个实数根．
（2）解：∵x1，x2是方程x2＋mx＋m﹣1＝0的两个根
∴
∵        
∴
∴10     
∴   
∴＝
当时：＝4
当时：
∴的值为4或16
【点睛】本题考查一元二次方程综合应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与系数的关系．
21．（2021·广东·肇庆市颂德学校九年级期中）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为18m），另外三边用32m的篱笆围成．

(1)若苗圃园的面积为96m2，求垂直于墙的一边长为多少米？
(2)苗圃园的面积能否达到150m2？请说明理由．
【答案】(1)垂直于墙的一边长为12m
(2)这个苗圃园的面积不能达到150m2．
【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，然后根据苗圃的面积为96m2列方程求解即可；
（2）由题意可得x（32−2x）＝150，然后化成一般式，最后运用一元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为x米，则有x（32−2x）＝96，解得：x1＝2，x2＝12，当x＝4时，30−2x＝22＞18，不符合题意舍去，∴取x＝12答：垂直于墙的一边长为12m．
（2）解：苗圃园的面积不能达到150m2．理由如下：由题意得：x（32−2x）＝150，化简得：x2-16x+75=0．∵△=（-16）2-4×1×75＜0，∴方程无实数根．故这个苗圃园的面积不能达到150m2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，理解一元二次方程根的判别式与根的关系是解答本题的关键．
22．（2021·江苏泰州·九年级期中）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以/秒的速度运动，同时，点从点出发沿边向点以/秒的速度移动．如果、两点在分别到达、两点后就停止移动，回答下列问题：

(1)点运动开始后第几秒时，的面积等于；
(2)设点运动开始后第秒时，五边形的面积为，写出与的函数关系式，并指出的取值范围．
【答案】(1)秒或秒；(2)
【分析】（1）根据秒时，、两点的运动路程，分别表示、的长度，可得的面积，后令其为，求出的值即可；
（2）用求面积即可．
【详解】（1）解：第秒钟时，，，
∴，
∴，
当面积等于时，得：，
解得：，，
∴点运动开始后第秒或第秒时，的面积等于．
（2）∵在矩形中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，矩形的性质，三角形的面积．解题关键是根据所设字母，表示相关线段的长度，再计算面积．
23．（2022·山东临沂·九年级期末）为提高应急处置能力，某社区计划搭建一个临时物资储备仓库，用来放置应急物资．如图，仓库的两边靠墙墙足够长，另外两边用总长为米的铁皮围成，两面墙的夹角为，铁皮与墙面均垂直，其中边上留有宽米的通道，且边的长不小于米．若仓库的面积是平方米，则的长应为多少米？

【答案】20米
【分析】设米，则米，根据仓库的面积是平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合的长不小于米，即可确定的值，再将其代入中即可求出结论．
【详解】解：设米，则米，
依题意得：，
整理得：，
解得：不符合题意，舍去，，
．
答：的长应为米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（2022·重庆市第七中学校一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
【答案】(1)甲最多施工2500米；(2)a的值为6
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】(1)解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
(2)依题意，得： ，
整理，得：，
解得：，，
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴符合题意；
答：a的值为6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
【答案】(1)；；(2)；(3)或
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，∴，．故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，∴，，∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，∴，，∵∴或，当时，，当时，，综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
26．（2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨
(2)的值20
(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元
【分析】（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
【详解】（1）解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，由题意得：，解得：，∴，答：4月份再生纸的产量为500吨；
（2）解：由题意得：，解得：或（不合题意，舍去）∴，∴的值20；
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，∴答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．