苏科版2024-2025学九年级数学上册突破提升专题1.4一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】学案(学生版+解析)

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专题1.4 一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc28968" 【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】  PAGEREF _Toc28968 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc446" 【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】  PAGEREF _Toc446 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc23813" 【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】  PAGEREF _Toc23813 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc714" 【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】  PAGEREF _Toc714 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc3745" 【题型5 由一元二次方程的两根求值】  PAGEREF _Toc3745 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc18392" 【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】  PAGEREF _Toc18392 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc18804" 【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】  PAGEREF _Toc18804 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc12938" 【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】  PAGEREF _Toc12938 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc3190" 【题型5 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】  PAGEREF _Toc3190 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc25174" 【题型10 一元二次方程中的新定义问题】  PAGEREF _Toc25174 \h 5知识点1：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．注意它的使用条件为，a≠0，Δ ≥0.【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（23-24九年级·黑龙江绥化·开学考试）已知一元二次方程x2+x=5x+6的两根分别为m、n，则1m+1n= ．【变式1-1】（23-24九年级·广西来宾·期中）若a，b是方程x2−2x−5=0的两个实数根，则a−2b−2的值为 ．【变式1-2】（23-24九年级·四川成都·阶段练习）设方程2x2+3x+1=0的根为x1、x2，则x12+x22= ．【变式1-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知 x1，x2 是方程 2x2+3x−7=0 的两个根，则 x13x2+x1x23 的值为（     ）A．214 B．−2558 C．−638 D．−1338【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】【例2】（23-24九年级·全国·单元测试）若关于x的方程3x−1x−2m=m−12x的两根之和与两根之积相等，则方程的根为 ．【变式2-1】（23-24·山东济南·二模）若关于x的一元二次方程x2+mx−6=0有一个根为x=2，则该方程的另一个根为x= ．【变式2-2】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m与2m−6，则m的值为 ，方程的根为 ．【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2=c(a≠0)的一根为2，则另一根为 ．【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】【例3】（23-24九年级·山东枣庄·期中）已知m、n是关于x的方程x2−2x−2021=0的根，则代数式m2−4m−2n+2023的值为（    ）A．2022 B．2023 C．4035 D．4040【变式3-1】（23-24·江苏南京·模拟预测）设x1、x2是方程x2−3x−2020=0的两个根，则x12−2x1+x2= ．【变式3-2】（23-24九年级·辽宁大连·期中）设α，β是x2+x+18=0的两个实数根，则α2+3α+2β的值是 ．【变式3-3】（23-24九年级·河南新乡·期末）已知a，b是方程x2−5x+7=0的两个根，则a2−4a+b−3= ．【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】【例4】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）已知a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的根，则代数式1a2+1+1b2+1的值是（　　）A．3 B．1 C．−3 D．−1【变式4-1】（23-24九年级·云南·期末）已知m,n是方程x2+x−3=0的两个实数根，则m3−3m+n+2024的值是 ．【变式4-2】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知x1,x2是方程x2−x−2024=0的两个实数根，则代数式x13−2024x1+x22的值为（    ）【变式7-2】（23-24九年级·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x2−8cx−5d=0的解，c、d是方程x2−8ax−5b=0的解，则a+b+c+d的值为 ．【变式7-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（    ）A．p是正数，q是负数 B．(p−2)2+(q−2)2＜8C．q是正数，p是负数 D．(p−2)2+(q−2)2>8【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】【例8】（23-24九年级·山东·课后作业）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2+(2m−1)x+m2+3=0的根，则m等于(     )A．−3 B．5 C．5或−3 D．−5或3【变式8-1】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知三角形的两边长分别是方程x2−11x+30=0的两个根，则该三角形第三边m的取值范围是 ．【变式8-2】（23-24九年级·安徽六安·阶段练习）已知正方形ABCD的两邻边AB，AD的长度恰为方程x2−mx+1=0的两个实数根，则正方形ABCD的周长为（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【变式8-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程x2−3x+k=0有两个实根x1和x2．(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在矩形，x1和x2是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为2？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【题型5 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】【例5】（23-24·浙江宁波·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x1，x2，且满足10且q>0 B．p>0且q<0 C．p<0且q>0 D．p<0且q<0【变式5-3】（23-24九年级·河南南阳·期中）若关于x的一元二次方程x2+2x+1−2m=0的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是（    ）A．m>0 B．m>12 C．m<12 D．m<0【题型10 一元二次方程中的新定义问题】【例10】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0a≠0的两个实数根，若满足x1−x2=x1⋅x2，则称此类方程为“差积方程”．例如：x−12x−1=0是差积方程．(1)判断方程6x2−5x+1=0是否为“差积方程”？并验证；(2)若方程x2−m+2x+2m=0是“差积方程”，直接写出m的值；(3)当方程(ax²+bx+c=0a≠0为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．【变式10-1】（23-24九年级·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 x2+x=0是“差1方程”． 已知关于 x的方程 x2−m−1x−m=0（m是常数）是“差1方程”，则 m的值为 【变式10-2】（23-24九年级·四川·阶段练习）已知对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算：a@b=aba+b，如6@15=6×156+15=31021=107，已知m，n是一元二次方程x2−21x+7=0的两个不相等的实数根，则[(m+n)@mn]@3= ．【变式10-3】（23-24九年级·江苏盐城·阶段练习）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根，若x10)的两个根分别是m与2m−6，则m的值为 ，方程的根为 ．【答案】 2 x1=2,x2=−2【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2，则x1+x2=−ba,x1·x2=ca．【详解】解：整理方程得：ax2−b=0由题意得：m+2m−6=0∴m=2故两个根为：x1=m=2,x2=2m−6=−2故答案为：2；x1=2,x2=−2【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2=c(a≠0)的一根为2，则另一根为 ．【答案】−2【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到2+m=0是解题的关键．【详解】解：设方程的另一个根为m，则2+m=0，解得：m=−2，故答案为：−2．【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】【例3】（23-24九年级·山东枣庄·期中）已知m、n是关于x的方程x2−2x−2021=0的根，则代数式m2−4m−2n+2023的值为（    ）A．2022 B．2023 C．4035 D．4040【答案】B【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出m2−2m=2021，m+n=−ba=2，将原式化简求值即可．【详解】解：∵m、n是关于x的方程x2−2x−2021=0的根，∴m2−2m=2021，m+n=−ba=2，m2−4m−2n+2023=m2−2m−2(m+n)+2023=2021−2×2+2023=4040，故选：D．【点睛】题目主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．【变式3-1】（23-24·江苏南京·模拟预测）设x1、x2是方程x2−3x−2020=0的两个根，则x12−2x1+x2= ．【答案】2023【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．首先根据根与系数关系得到x1+x2=3，之后将x1代入方程中得到x12−3x1−2020=0，变形为x12−3x1=2020，两式相加即可得到答案．【详解】解：∵x1、x2是方程x2−3x−2020=0的两个根，∴x1+x2=3，x12−3x1−2020=0∴x12−3x1=2020∴x12−2x1+x2=x12−3x1+x1+x2=2020+3=2023．故答案为：2023．【变式3-2】（23-24九年级·辽宁大连·期中）设α，β是x2+x+18=0的两个实数根，则α2+3α+2β的值是 ．【答案】−20【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．利用整体代入法是本题的关键．【详解】解：∵α，β是x2+x+18=0的两个实数根，∴α2+α=−18，α+β=−1，∴α2+3α+2β=α2+α+2α+β=−18+2×(−1)=−20，故答案为：−20．【变式3-3】（23-24九年级·河南新乡·期末）已知a，b是方程x2−5x+7=0的两个根，则a2−4a+b−3= ．【答案】−5【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握ax2+bx+c=0的两根x1，x2满足x1+x2=−ba，x1x2=ca是解题的关键．【详解】解：∵a，b是方程x2−5x+7=0的两个根，∴a2−5a=−7，a+b=5，∴a2−5a+a+b−3=−7+5−3=−5，故答案为：−5．【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】【例4】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）已知a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的根，则代数式1a2+1+1b2+1的值是（　　）A．3 B．1 C．−3 D．−1【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=3，ab=1，再整体代入求解即可．【详解】解：∵a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的根，∴a+b=3，ab=1，∴1a2+1+1b2+1=1a2+ab+1b2+ab=1aa+b+1ba+b=13a+13b=a+b3ab=33×1=1，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．【变式4-1】（23-24九年级·云南·期末）已知m,n是方程x2+x−3=0的两个实数根，则m3−3m+n+2024的值是 ．【答案】2020【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得m+n=−1，m2−3=−m，再代入求值即可．【详解】解：∵m，n是方程x2+x−3=0的两个实数根，∴m+n=−1，将x=m代入方程x2+x−3=0，得m2+m−3=0，即m2−3=−m，m2=3−m∴m3−3m+n+2024=mm2−3+n+2024=−m2+n+2024，∵m2=3−m，∴−m2+n+2024=−3+m+n+2024=m+n+2021，∵m+n=−1，∴m+n+2021=−1+2021=2020．故答案为：2020．【变式4-2】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知x1,x2是方程x2−x−2024=0的两个实数根，则代数式x13−2024x1+x22的值为（    ）A．4045 B．4048 C．2024 D．1【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：解：∵x1，x2是方程x2−x−2024=0的两个实数根，∴x12−2024=x1，x1x2=−2024，x1+x2=1x13−2024x1+x22 =x1x12−2024+x22=x12+x22=x1+x22−2x1x2=1−2×−2024 =4045故选A【变式4-3】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）已知：m、n是方程x2+3x−1=0的两根，则m3−5m+5n= ．【答案】−18【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m−1=0，即m2=−3m+1，m3=−3m2+m，再把m3−5m+5n化简为用m和n的一次式表示得到5m+n−3，再根据根与系数的关系得到m+n=−3，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵m、n是方程x2+3x−1=0的两根，∴m2+3m−1=0，且m≠0，m+n=−3，∴m2=−3m+1，∴m3=−3m2+m，∴m3−5m+5n=−3m2+m−5m+5n=−3−3m+1−4m+5n=5m+5n−3=5m+n−3，∴原式=5×−3−3=−18，故答案为：−18．【点睛】本题考查根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根时，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键，也考查一元二次方程的解的定义，运用了整体代入和恒等变换的思想．【题型5 由一元二次方程的两根求值】【例5】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m与2m−6，则m的值为 ，方程的根为 ．【答案】 2 x1=2,x2=−2【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2，则x1+x2=−ba,x1·x2=ca．【详解】解：整理方程得：ax2−b=0由题意得：m+2m−6=0∴m=2故两个根为：x1=m=2,x2=2m−6=−2故答案为：2；x1=2,x2=−2【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）已知关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x1=−2，x2=3，则b+c的值是（    ）A．-10 B．-7 C．-14 D．-2【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b，c的值即可得到结论．【详解】解：∵关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x1=−2，x2=3，∴x1+x2=−b2，x1x2=c2 ∴−2+3=−b2，−2×3=c2，即b=-2，c=-12∴b+c=−2−12=−14．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca．【变式5-2】（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝ ．【答案】﹣2【分析】根据根与系数的关系及两同学得出的结论，即可求出p，q的值．【详解】解：由小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；可得q＝1×（﹣3）＝﹣3，小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，可得﹣p＝4﹣2，解得p＝﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣ba，两根之积等于ca．”是解题的关键．【变式5-3】（23-24九年级·四川广安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+12k2﹣2＝0．设x1，x2是方程的根，且x12﹣2kx1+2x1x2＝5，则k的值为 ．【答案】±14 【分析】先计算出一元二次方程判别式，即△=2k2+8，从而得到△＞0，于是可判断不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；再利用方程的解的定义得到x12-2kx1=-12k2+2，根据根与系数的关系可得x1x2=12k2-2，则-12k2+2+2·(12k2-2)=5，然后解关于k的方程即可.【详解】（1）证明：△=(-2k)2-4(12k2-2)=2k2+8＞0，所以不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）∵x1是方程的根，∴x12-2kx1+12k2-2=0，∴x12-2kx1=-12k2+2，∵x12-2kx1+2x1x2=5，x1x2=12k2-2，∴-12k2+2+2·(12k2-2)=5，整理得k2-14=0，∴k=±14．故答案为±14.【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】【例6】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）已知s满足2s2−3s−1=0，t满足2t2−3t−1=0，且s≠t，则s+t= ．【答案】32【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到s+t=32,st=−12是解题的关键．由题意可知实数s、t是关于x的方程2x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，由此可得答案．【详解】解：∵实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，∴实数s、t是关于x的方程2x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，∴s+t=32．故答案为：32．【变式6-1】（23-24·湖南常德·一模）若两个不同的实数m、n满足m2=m+1，n2−n=1，则m2+n2= ．【答案】3【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，先根据已知条件得到m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根，然后根据根和系数的关系得到结果，再根据完全平方公式计算即可，理解m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键．【详解】解：由题可得：m2−m−1=0，n2−n−1=0，∴m、n是关于x的一元二次方程x2−x−1=0的两个不等实数根，∴m+n=1,mn=−1，∴m2+n2=m+n2−2mn=12−2×−1=3，故答案为：3．【变式6-2】（23-24九年级·全国·竞赛）已知实数a、b分别满足a=16a2+13和12b2=3b−1，那么ba+ab的值是 ．【答案】2或16【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系等，分情况讨论，当a=b时，ba+ab=2；当a≠b时， a和b是方程x2−6x+2=0的两个根，再由根与系数的关系求出a+b和ab，再将ba+ab变形为a+b2−2abab，即可求解．【详解】解：分两种情况：当a=b时，ba+ab=1+1=2；当a≠b时，∵ 12b2=3b−1，∴ b=16b2+13，∴ b2−6b+2=0，又∵ a=16a2+13，∴ a2−6a+2=0，∴a和b是方程x2−6x+2=0的两个根，∴ a+b=−−61=6，ab=2，∴ ba+ab=b2+a2ab=a+b2−2abab=62−2×22=16，故答案为：2或16．【变式6-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）若a4−3a2=1，b2−3b=1，且a2b≠1，则ba2的值是 ．【答案】−1【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意先化为1a4−3a2−1=0，b2−3b−1=0，可以得到1a2和b是方程x2−3x−1=0的两根，然后根据两根之积为ca解题即可．【详解】解：∵a4−3a2=1，∴1a4−3a2−1=0，∵a2b≠1，又∵b2−3b−1=0，∴1a2和b是方程x2−3x−1=0的两根，∴ba2=−1，故答案为：−1．【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】【例7】（23-24九年级·浙江台州·期末）若关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的一个根为m，则方程a（x−1）2+2a（x−1）+c=0的两根分别是（    ）．A．m+1，−m−1 B．m+1，−m+1 C．m+1，m+2 D．m−1 ，−m+1【答案】C【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程ax2+2ax+c=0 的另一个根，设x−1=t，根据方程ax2+2ax+c=0 的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的一个根为m，设方程另一根为n，∴n+m=−2aa=−2，解得：n=−2−m，设x−1=t，方程a（x−1）2+2a（x−1）+c=0变形为at2+2at+c=0，由一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的根可得，t1=m，t2=−2−m，∴x−1=−2−m，x−1=m，∴x1=−m−1，x2=1+m，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．【变式7-1】（23-24九年级·安徽合肥·期中）已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，则a+b+c的值是 ．【答案】-3或25【分析】设方程x2+ax+b=0的两个根为α，β，其中α，β为整数，且α≤β，则方程x2+cx+a=0的两根为α+1，β+1，根据题意列出式子，再进行变形即可求出．【详解】解：设方程x2+ax+b=0的两个根为α，β，其中α，β为整数，且α≤β，则方程x2+cx+a=0的两根为α+1，β+1，由题意得α+β=−a,(α+1)(β+1)=a，两式相加得αβ+2α+2β+1=0，即α+2β+2=3，所以{α+2=1，β+2=3；或{α+2=−3，β+2=−1.解得{α=−1，β=1；或{α=−5，β=−3.又因为a=−(α+β),b=αβ,c=−[(α+1)+(β+1)]所以a=0，b=−1，c=−2；或者a=8，b=15，c=6，故a+b+c=−3或25．故答案为-3或25【点睛】主要考查一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；【变式7-2】（23-24九年级·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x2−8cx−5d=0的解，c、d是方程x2−8ax−5b=0的解，则a+b+c+d的值为 ．【答案】648【分析】由根与系数的关系得a+b，c+d的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得a2−8ac−5d=0，代入可得a2−72a+5c−8ac=0，同理可得c2−72c+5a−8ac=0，两式相减即可得a+c的值，进而可得a+b+c+d的值．【详解】解：由根与系数的关系得a+b=8c，c+d=8a，两式相加得a+b+c+d=8a+c．    因为a是方程x2−8cx−5d=0的根，所以a2−8ac−5d=0，又d=8a−c，所以a2−72a+5c−8ac=0①            同理可得c2−72c+5a−8ac=0②            ①-②得a−ca+c−81=0．因为a≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8a+c=648．故答案为648【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键．【变式7-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（    ）A．p是正数，q是负数 B．(p−2)2+(q−2)2＜8C．q是正数，p是负数 D．(p−2)2+(q−2)2>8【答案】B【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判断B与D．【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，故选项A与C说法均错误，不符合题意；∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】【例8】（23-24九年级·山东·课后作业）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2+(2m−1)x+m2+3=0的根，则m等于(     )A．−3 B．5 C．5或−3 D．−5或3【答案】C【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2=25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO=−2m+1，AO×BO=m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，求得m的值．【详解】由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2=25，  又有根与系数的关系可得：AO+BO=−2m+1,AO×BO=m2+3，∴AO2+BO2=(AO+BO)2−2AO×BO=(−2m+1)2−2(m2+3)=25，整理得：m2−2m−15=0，  解得：m=−3或5.又∵Δ>0,∴(2m−1)2−4(m2+3)>0, 解得m<−114， ∴m=−3.故选:A.【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系以及菱形的性质，注意掌握勾股定理在解题中的应用.【变式8-1】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知三角形的两边长分别是方程x2−11x+30=0的两个根，则该三角形第三边m的取值范围是 ．【答案】154，∴k=72不符合题意，∴不存在矩形，x1和x2是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为2．【题型5 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】【例5】（23-24·浙江宁波·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x1，x2，且满足10且q>0 B．p>0且q<0 C．p<0且q>0 D．p<0且q<0【答案】C【分析】据p2－4q≥0，得出方程有两个实数根，再根据已知条件得出两根之积＞零、两根之和<零时，由此得到关于p，q的不等式，然后确定它们的取值范围即可.【详解】∵p2－4q≥0，∴方程有两个实数根.设x1，x2是该方程的两个负数根，则有x1+x2＜0，x1x2＞0，x1+x2=-p,x1x2=q，∴-p<0，,q>0.∴p>0，,q>0.故选A.【点睛】本题考查一元二次方程根的符号的确定，应利用一元二次方程根与系数的关系与根的判别式.【变式5-3】（23-24九年级·河南南阳·期中）若关于x的一元二次方程x2+2x+1−2m=0的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是（    ）A．m>0 B．m>12 C．m<12 D．m<0【答案】A【分析】利用根的判别式Δ>0及两根之积为负数，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出实数m的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1−2m=0的两个实数根之积为负数，∴Δ=22−4×1×1−2m>01−2m<0解得：m>12，∴实数m的取值范围是m>12．故选：B．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”及“两根之积等于ca”是解题的关键．【题型10 一元二次方程中的新定义问题】【例10】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0a≠0的两个实数根，若满足x1−x2=x1⋅x2，则称此类方程为“差积方程”．例如：x−12x−1=0是差积方程．(1)判断方程6x2−5x+1=0是否为“差积方程”？并验证；(2)若方程x2−m+2x+2m=0是“差积方程”，直接写出m的值；(3)当方程(ax²+bx+c=0a≠0为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．【答案】(1)是，证明见解析(2)m=23或−2(3)b2−4ac=c2【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可；（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；（3）根据求根公式求得x1，x2；根据新定义列出方程即可求解．【详解】（1）方程6x2−5x+1=0是“差积方程”，证明：6x2−5x+1=0，即(2x−1)(3x−1)=0，解得x1=12，x2=13，∵|12−13|=|12×13|，∴6x2−5x+1=0是差积方程；（2）解：x2−m+2x+2m=0，x−mx−2=0解得方程的解为：x1=2，x2=m，=21×721+7@3=14728@3=7328@3=34@3=34×334+3=32×453=25【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，实数的定义新运算，此类题型一定要严格按照题目中的定义来求解，注意过程的正确性．【变式10-3】（23-24九年级·江苏盐城·阶段练习）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根，若x1