苏科版初中数学九年级上册第一章《一元二次方程》单元测试卷（标准困难）（含答案解析）

苏科版初中数学九年级上册第一章《一元二次方程》单元测试卷

考试范围：第一章  考试时间 ：120分钟 总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.关于的方程为常数的根的情况，下列结论中正确的是(    )

A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根

2.已知是一元二次方程的一个根，则的值为(    )

A.  B. 或 C.  D.

3.如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是
(    )

A.  B. 且 C. 且 D.

4.一元二次方程用配方法解可变形为
(    )

A.  B.  C.  D.

5.下列方程中有两个相等的实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.若，则等于
(    )

A.  B. 或 C.  D. 以上都不对

7.小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是他核对时发现所抄的比原方程的值小则原方程的根的情况是(    )

A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根

8.已知是关于的方程的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则的周长为
(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

9.方程的根的情况，下列结论中正确的是(    )

A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根

10.关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，则的值为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

11.为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为平方米的矩形绿地，并且长比宽多米，设绿地长为米，根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

12.某白酒专卖店销售一种白酒，这种白酒每瓶的进价为元，若以每瓶元的价格出售，每天可售出瓶．为了促进销售，店长决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，当这种白酒每瓶每降价元时，每天可多售出瓶．若为了让利于消费者，且日销售利润要达到元，则这种白酒的销售单价为(    )

A. 元 B. 元 C. 元或元 D. 无法确定

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.代数学中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解是          ．

 

14.若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为          ．

15.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第          象限．

16.对于实数，，定义运算“”如下：若，则          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

 为何值时，关于 的方程：

是一元二次方程；

是一元一次方程，并求出对应方程的解．

18.本小题分
已知方程的一个根，求方程的另一个根及的值．

19.本小题分
已知是一元二次方程的两个实数根中较小的根．
求的值；
化简求值：．

20.本小题分

已知一元二次方程．

证明：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

当其中一个根为时，求另一个根．

21.本小题分

已知关于的一元二次方程．

 证明：无论取何值，此方程必有实数根；

 等腰三角形中，，、的长是此方程的两个根，求的值．

22.本小题分

已知一元二次方程．

求证：方程有两个不相等的实数根；

若的两边、的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为当是等腰三角形时，求的值．

23.本小题分
某农户计划利用现有的长为的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水池，来培育不同品种的鱼苗，他已备足可以修高为，长的墙材料并准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为，即不考虑墙的厚度
 

则          用含的代数式表示，长方体水池的容积          用含的代数式表示

若水池的总容积为，应等于多少

24.本小题分
用长为米的竹篱笆围一个面积为平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙墙长米，另三边用竹篱笆围成，求鸡场的长与宽各为多少米？

25.本小题分
商场某种商品进价每件元，售价每件元，平均每天可销售件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件设每件商品降价元据此规律，请回答：
商场日销售量增加______ 件，每件商品盈利______ 元用含的代数式表示；
在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
先把方程化为，再根据，可得方程有两个不相等的实数根，由即可得出结论．
【解答】
解：关于的方程为常数，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
两个根的积为，
一个正根，一个负根，
故选C．

2.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的解和定义，以及一元二次方程的解法，关键是注意方程二次项的系数不等于首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得的值．
【解答】
解：把代入得：
，
，
解得：，，
是关于的一元二次方程，
，
，
，
故选：．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．根据关于的一元二次方程有两个实数根，知且，解之可得．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，
解得且，
故答案为：且

4.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是注意：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先把常数项移到等号的右边，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可求解．

【解答】

解：移项得：，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
即．

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
原方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B.，，，
，
原方程有两个相等的实数根，符合题意；
C.，，，
，
原方程没有实数根，不符合题意；
D.，，，
，
原方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
故选：．
由根的判别式，可分别求出各选项中方程的根的判别式的值，再取的选项即可．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查解一元二次方程，将看作一个整体，利用直接开平方法求解，保留符合题意的结果即可．

【解答】
解：可将看作一个整体，
则 ，
或．
 ，
．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查一元二次方程的解，根的判别式，正确得出的值是解题关键．
直接把已知数据代入进而得出原方程的值，再根据判别式求出答案．
【解答】
解：小刚在解关于的方程时，
只抄对了，，解出其中一个根是，
小刚解的方程是，
，
解得：，
故原方程中，
原方程中，，
原方程不存在实数根．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了等腰三角形的性质．
先把代入方程得，则方程为，利用因式分解法解方程得到，，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长．
【解答】
解：把代入方程得，解得，
则方程为，
，
所以，，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，
所以这个等腰三角形三边分别为、、；、、，
所以的周长为或．
故选：．

9.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
方程整理为一般形式，表示出根的判别式，判断解的情况，并利用根与系数关系判断即可．
【解答】
解：方程整理得：，
，
方程有两个不相等的实数根，设为，，
，，
方程一个正根，一个负根，且正根绝对值大于负根绝对值．
故选：．

10.【答案】 

【解析】【分析】
设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可；
本题考查一元二次方程根与系数的关系，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
【解答】
解：设，是的两个实数根，
，
，
，，
，
或；
；
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：设绿地长为米，则宽为米，根据题意得：
，故B正确．
故选：．
设绿地长为米，则宽为米，根据矩形绿地的面积为平方米列出方程即可．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握矩形的面积公式．

12.【答案】 

【解析】【分析】设这种白酒的销售单价为元，则每瓶白酒的销售利润为元，根据日销售利润要达到元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．

【解答】解：设这种白酒的销售单价为元，则每瓶白酒的销售利润为元，

由题意得：，

整理得：，

解得：，不符合题意，舍去，

即这种白酒的销售单价为元，

故选：．

【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：阴影部分的面积四个小正方形的面积大正方形的面积，
，
即，
解方程得，
的正数解为：，
故答案为：．
根据阴影部分的面积四个正方形的面积大正方形的面积，得出，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，借助数形结合的思想得出方程是解决本题的关键．

14.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程的根，一元二次方程的概念，
根据是方程的一个根，可将代入方程，再根据二次项系数不为可得结论．
【解答】
解：根据题意，将  代入方程可得 ，

解得： 或 ，

，即 ，

．

故答案为：．

15.【答案】四 

【解析】【分析】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，由的取值范围可得出，，进而可得出点在第四象限，此题得解．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：且．
，，
点在第四象限．
故答案为：四．

16.【答案】或 

【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
【解答】
解：根据题意得，
，
，
或，
所以，．
故答案为或．

17.【答案】
解：，
整理得：，
当，即时，方程为一元二次方程．
解：由知，方程为：，
当，即时，方程为一元一次方程，
此时方程变为：，
，解得：．
 

【解析】本题考查一元二次方程和一元一次方程的定义，以及解一元一次方程熟练掌握相关概念，正确的求出的值，是解决本题的关键．
将方程整理为：，当二次项系数不为时，方程为
一元二次方程
将方程整理为的形式，当二次项系数为时，方程为一元一
次方程，求出的值，再解一元一次方程即可．

18.【答案】解：方程的一个根，
，
解得：，
方程为，
解得：，，
，． 

【解析】首先将方程的根代入方程求得的值，然后代入方程求得方程的另一根即可．
本题考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是能够了解方程的定义并将方程的根代入求得的值，难度不大．

19.【答案】解：根据题意，可得，，，
，
；
，
，
又是一元二次方程的两个实数根中较小的根，
，
原式． 

【解析】根据题意可得，代入原式计算即可；
根据题意确定的值及取值范围，化简原式并代入求值即可得到结果．
本题主要考查了解一元二次方程及二次根式的化简求值，熟练掌握相关计算法则是解题关键．

20.【答案】解：，
不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
将  代入方程  得，，解得，，
方程为 ，即 ，
 ，
设另一根为 ，则 ． 

【解析】本题考查了根的判别式，方程的解以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证出：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
将代入方程得到关于的方程，解出并代入原方程解出方程的另一根即可．

21.【答案】解：
；
又，
，
原方程必有两个实数根；
原方程可变为，
则方程的两根为，，
、的长为，；
若为等腰三角形的腰时，，
，
，
不能组成三角形，
若为等腰三角形的底边时，则：
． 

【解析】此题考查利用根的判别式探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透．

利用根的判别式求出关于的代数式，整理成非负数的形式即可判定；
把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为腰，利用等腰三角形的性质解决问题．

22.【答案】证明：，
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
解：，
，
、中有一个数为．
当时，原方程为：，即，
解得：，．
当时，原方程为，
，．
、、能围成等腰三角形，
符合题意；
当时，原方程为，
解得：，．
、、能围成等腰三角形，
符合题意．
综上所述：的值为或． 

【解析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；代入求出值．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
由可知，代入可求出的值，将值代入原方程，解方程可得出、的长度，由三角形的三边关系可确定两个值均符合题意，此题得解．

23.【答案】解：；，
当时，，
即，
解得：或，
时，，
舍去，
答：应为． 

【解析】【分析】
本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确列出方程是解答关键．
根据求出的长度，再利用体积公式求解；
当时得到，解方程求解，再判定的值．
【解答】
解：，
水池的总容积为；
故答案为：；；
见答案．

24.【答案】解：设鸡场的长为米，则宽为米，
，
解得：，，
墙长米，
，
，，
答：鸡场的长为米，宽为米． 

【解析】设鸡场的长为米，则宽为米，根据“面积为平方米”列出方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．

25.【答案】   

【解析】解：由题意，可得商场日销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为；；
由题意得：，
化简得：，
解得，．
要尽快减少库存，
每件商品降价元时，商场日盈利可达到元．
答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元．
每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，可得日销售量增加：件，每件商品盈利为：元；
根据等量关系为：每件商品的盈利可卖出商品的件数，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
本题考查了一元二次方程与实际销售问题，解题的关键是找到数量关系，列出方程，解方程．