苏科版初中数学九年级上册第一章《一元二次方程》单元测试卷（较易）（含答案解析）

苏科版初中数学九年级上册第一章《一元二次方程》单元测试卷

考试范围：第一章 考试时间 ：120分钟 总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为
(    )

A.  B.  C. 或 D.

2.下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.若是的一个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断

5.关于的一元二次方程为实数根的情况是
(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定

6.一元二次方程的根是(    )

A.  B. ，
C. ， D.

7.如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.若一元二次方程的两根为，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.若方程的两个实数根为，，则的值为
(    )

A.  B.  C.  D.

10.在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张图片如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为和，圆的半径为，根据题意列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

11.在开启全面建设社会主义现代化国家新征程中，人民的生活水平不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加据统计，某市年月底机动车保有量为万辆，年月底机动车保有量为万辆，如果该市机动车保有量年平均增长率为，那么，符合题意的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

12.某厂今年一月的总产量为吨，三月的总产量为吨，平均每月增长率是，列方程(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.已知是关于的一元二次方程，则的值是          ．

14.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ．

15.若方程的两根是，，则的值为          ．

16.某超市一月份的营业额为万元，已知第一季度的总营业额共万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
是不是方程的根？为什么？

18.本小题分
已知关于的一元二次方程的常数项为，求的值．

19.本小题分
已知关于的方程．
当为何值时，方程是一元二次方程；
当为何值时，方程是一元一次方程．

20.本小题分
已知关于的方程，求证：不论取何值，这个方程都有两个实数根．

21.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若是正整数，求关于的方程的根．

22.本小题分
关于的一元二次方程．
若该方程有实数根，求的取值范围；
在的条件下，取符合题意的最大整数，求一元二次方程的根．

23.本小题分
已知关于的一元二次方程，若方程的一个根是，求另一个根及值．

24.本小题分
某工厂生产一批零件，由于近年来新的技术和设备的投入，使得生产效率大大提升，年该工厂年产量为万吨，年为万吨．
求年到年该该工厂产量的年平均增长率；
若年平均增长率不变，预计年工厂生产规模是否可以达到万吨？

25.本小题分
年杭州市推出了“微公交”，“微公交”是国内首创的纯电动汽车租赁服务，它作为一种绿色出行方式，对缓解交通堵塞和停车困难，改善城市大气环境，都可以起到积极作用，据了解某租赁点用有“微公交”辆，据统计，当每辆车的年租金为千元时可全部租出，每辆车的年租金每增加千元，未租出的车将增加辆．
当每辆车的年租金定为千元时，能租出多少辆？
当每辆车的年租金增加多少元时，租赁公司的年收益不计车辆维护等其它费用可达到千元？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查对一元二次方程的解，一元二次方程的定义等知识点的理解和掌握，能得到方程是解此题的关键．先把代入方程求出的值，然后根据二次项系数不能为，把舍去．
【解答】
解：由题意得，

解得，

则，

故答案为．

2.【答案】 

【解析】解：、该方程中含有个未知数，是二元一次方程，故本选项错误；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程是分式方程，故本选项错误；
D、原方程整理得，属于一元一次方程，故本选项错误．
故选B．
本题考查一元二次方程的概念．
根据一元二次方程的概念逐项判断即可．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法得到的值．
【解答】
解：是的一个根，
，
，
．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：在方程中，
，
一元二次方程有两个相等的实数根．
故选B．
根据方程的系数结合根的判别式，计算得出，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．
本题考查根的判别式．

5.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．利用一元二次方程的根的判别式即可做出判断．
【解答】
解：由根的判别式得，，
故该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
或，
所以，．
故选：．
先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元一次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

7.【答案】 

【解析】解：，是两个不相等的实数，且满足，，
，可以看作方程的两个根，
，，，
，
故选：．
根据，是两个不相等的实数，且满足，，可以得到、的值和，然后代入所求式子计算即可．
本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确根与系数的关系，求出所求式子的值．

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以．
故选：．
根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

9.【答案】 

【解析】解：方程的两个实数根为，，
，，
；
故选：．
根据根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式变形，代入即可求解；
本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握根与系数的关系，灵活运用完全平方公式是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，
故选：．
根据圆的面积公式和矩形面积公式结合两圆的面积和是剩余面积的一半，列出方程即可．
本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
故选：．
利用年月底机动车保有量年月底机动车保有量该市机动车保有量年平均增长率为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：平均每月增率是，
二月份的总产量为：；
三月份的总产量为：；
故选：．
根据增长后的量增长前的量增长率，如果设平均每月增率是，那么根据三月份的产量可以列出方程．
此题主要考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为当增长时中间的“”号选“”，当降低时中间的“”号选“”．

13.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．利用一元二次方程定义可得：且，再解出的值即可．
【解答】
解：由题意得：且，
解得：，
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
利用判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

15.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
先根据根与系数的关系得到，，然后把展开得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】
解：根据题意得，，
所以
．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】解：一月份的营业额为万元，平均每月增长率为，
二月份的营业额为，
三月份的营业额为，
可列方程为，
即．
故答案为：．
先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额万元，把相关数值代入即可．
考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．

17.【答案】解：是方程的根．
理由如下：
当时，，
把代入方程中，方程左、右两边相等，即是方程的根． 

【解析】根据方程根的定义，将代入方程，左边为，从而确定是方程的根．
本题考查方程根的定义，将未知数的值代入方程，并通过计算判断方程左右两边是否相等是解决问题的关键．

18.【答案】解：由题意可得：，
，
解得：舍去，，
的值为． 

【解析】根据题意得，且方程的常数项为：，列出方程求解即可．
本题考查一元二次方程的一般形式及其概念，正确根据题意列出方程是解题关键．

19.【答案】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得：，
当时，方程是一元二次方程；
关于的方程是一元一次方程，
，
解得：，
当时，方程是一元一次方程 

【解析】利用一元二次方程的定义，可得出，解之即可得出结论；
利用一元一次方程的定义，可得出且，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及一元一次方程的定义，解题的关键是：牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”；牢记“只含有一个未知数元，且未知数的次数是，这样的方程叫一元一次方程”．

20.【答案】证明：，
，
即，
不论取何值方程都有两个的实数根． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而即可证出：不论取何值方程都有两个不相等的实数根．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．

21.【答案】解：根据题意得：，
解不等式得：；
由得：，
为正整数，
，
把代入原方程得：，
解得：，． 

【解析】本题主要考查根的判别式及解一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
根据方程有两个不相等的实数根知，据此列出关于的不等式，解之可得；
由中的范围且为正整数得出的值，代入方程，解之可得．

22.【答案】解：原方程可变形为：，
由已知得：，
解得：．
若该方程有两个实数根，则的取值范围为；
，且取其内的最大整数，
．
将代入原方程中得：，
解得：，． 

【解析】将原方程变形为：，根据根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
由的结论结合取其内的最大整数可得出，将代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：根据得出关于的一元一次不等式；求出的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出不等式或方程是关键．

23.【答案】解：把代入方程得，
解得，
所以方程为，
设方程的另一个根为，
根据题意得，解得，
即另一个根为，的值为． 

【解析】先把代入方程得，解方程得到，则方程为，然后利用根与系数的关系求方程的另一个根．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

24.【答案】解：设到年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为．
根据题意可得．
解得，舍．
所以．
答：到年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为；
由题意得：万元．
，
年该市数字阅读市场规模不可以达到万元．
答：年该市数字阅读市场规模不可以达到万元． 

【解析】设到年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为根据题意列出一元二次方程并求解即可．
根据题意求出年该市数字阅读市场规模，再进行判断即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

25.【答案】解：由题意：当每辆车的年租金每增加千元时，未租出的车将增加一辆，
则当每辆车的年租金定为千元时，元，
所以辆．
所以该公司有辆没有租出，即共租出辆
设每辆车的年租金增加千元时，租赁公司年收益为千元，由题意，得
，
整理，得，
解得或舍去．
答：当每辆车的年租金增加元时，租赁公司的年收益不计车辆维护等其它费用可达到千元． 

【解析】，由题意得，当租金为千元时有辆没有租出；
设每辆车的年租金增加千元时，直接根据收益千元作为等量关系列方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系是解题关键．